指数函数性质

指数函数有一位大学毕业生到一家私营企业工作，试用期过后，老板对这位大学生很赞赏，有意留下他，就让这位大学生提出待遇方面的要求，这位学生提出了两种方案让老板选择，其一：月薪五千元；其二：第一个月的工资为20元，以后每个月的工资是上月工资的2倍，那么这位老板选择了哪一种方案呢？如果签约一年呢？第二年再签约时，老板变聪明了，你能为这位贪婪的大学生想出什么新的方案呢？用清水漂洗含1个质量单位污垢的衣服，若每次能洗去残留污垢的，则漂洗x次后，衣服上的残留污垢y与x的函数关系是什么？问题1某种细胞分裂时，由1个细胞分裂成2个细胞，2个分裂成4个……一个这样的细胞分裂X次，得到的细胞分裂个数Y与X的函数关系是什么？细胞分裂过程:分裂次数x分裂个数y1232482x……x问题2

据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平均增长率可望达到7。3%，那么在2001～2020年，各年的GDP可望为2000年的多少倍？情景分析问题3:设x年后我国的GDP为2000年的y倍,那么想一想：正整数指数幂的含义是什么？若把2000年的GDP看成是1个单位，2001年为第1年，则：1年后:我们的GDP可望为2000的倍2年后:我们的GDP可望为2000的倍3年后:我们的GDP可望为2000的倍4年后:我们的GDP可望为2000的倍问题4:

当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”。根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系式为_________;想一想：，这几个函数有什么共同特征？

函数y=2x指数函数义

一般地，函数

(a>0,a1)叫做指数函数，其中x是自变量.

函数的定义域是R..函数解析式三大特征：①指数是自变量x

；②底数是非1的正数；③系数为1

我们要求a>0,a1，是因为：1)如果a=0,当x>0时，恒等于0，当x0时，无意义.2）如果a<0，比如，这时对于等，有时会没意义.3）如果a=1，是一个常量，对它就没有研究的必要.例1、判断下列函数是否为指数函数

已知函数y=

是指数函数，那么a的取值范围你能算出吗？x……-3-2-1-0.500.5123……y=2x……0.130.250.50.7111.4248……xy-3-2-1012387654321作出函数y=2x

的图象y=2x…………0.1330.2520.510.710.5102-0.52-14-28-3…………y=()xx

-3-2-10123yy=2xx87654321

作出函数的图象作出与的图象xyy=10xⅠⅡⅢⅣy=2xOxy(0,1)y=1Oxy(0,1)y=1定义域：值域：奇偶性：在R上是增函数在R上是减函数单调性：

R

非奇非偶函数定点：过点（0，1）x>0时，y>1;x<0时,0<y<1

x>0时，0<y<1;x<1时,y>1

图象性质定义域：R值域：奇偶性：非奇非偶函数定点：过点(0，1)单调性：1YXO例3、如图，曲线是指数函的图象，已知取四个值，则相应于曲线的依次为（）D小结：指数函数的图象如下图所示，则底数与正整数11共五个数，从小到大的顺序是：

.

xy01a,b,c,d(1)底数大于1时,底数越大图象越靠近y轴；(2)底数小于１时,底数越小越靠近y轴．练.若函数是减函数，则a的取值范围是例2、判断下列函数的定义域和值域.（1）（2）

分析:(1)只要指数位置上的有意义，则原函数有意义.(2)只要指数位置的有意义，则原函数有意义.解:(1)由有意义得，又，故原函数的定义域为，值域为.

(2)由有意义得，又，故原函数的定义域为，值域为.例2、判断下列函数的定义域和值域.（3）1:比较下列各组数的大小：（1）1.7和1.7(2)0.8和0.8

2.53-0.1-0.2Oxy(0，1)y=0.8x-0.1-0.2yx(0，1)y=1.7x2.53课堂练习:(1)与(2)与(4)与

(3)与1->><>比较大小(3)

2，解下列不等式2014-10-124.函数恒过定点3，函数f(x)的定义域是（0，1），则函数的定义域是定义域4正解定义域Oxy(0,1)y=1Oxy(0,1)y=1定义域：值域：奇偶性：在R上是增函数在R上是减函数单调性：

R

非奇非偶函数定点：过点（0，1）x>0时，y>1;x<0时,0<y<1

x>0时，0<y<1;x<1时,y>1

图象性质定义域：R值域：奇偶性：非奇非偶函数定点：过点(0，1)单调性：同增异减单调性同增异减单调性值域值域9，已知函数(a>1为常数).求的值.值域奇偶性11，已知函数，试推断是否存在常数a，使f(x)为奇函数?若存在，求a的值；若不存在，说明理由.奇偶性讨论函数f(x)=的奇偶性和单调性并求值域分析：函数的定义域为R(1)∵f(-x)==－＝－f(x)∴f(x)在R上是奇函数例.综合（2）设x1,x2∈R,且x1<x2∵f(x)==1－则f(x1)－f(x2)=(1－）－（1－）＝－＝∵x1<x2

∴上式的分子小于0，分母大于0即：f(x1)<f(x2)故函数f(x)大R上是增函数。6.函数满足且,则判断的大小关系单调性

设是定义在R上的函数.（1）f（x）可能是奇函数吗？（2）若f（x）是偶函数，试研究其单调性.解(1)方法一假设f(x)是奇函数,由于定义域为R,∴f（-x）=-f（x）,即整理得即即a2+1=0,显然无解.∴f（x）不可能是奇函数.

综合方法二若f(x)是R上的奇函数，则f(0)=0,即∴f(x)不可能是奇函数.(2)因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x),即整理得又∵对任意x∈R都成立，∴有得a=±1.当a=1时，f(x)=e-x+ex,以下讨论其单调性，任取x1,x2∈R且x1<x2,当f(x1)<f(x2),f(x)为增函数,此时需要x1+x2>0，即增区间为[0,+∞),反之(-∞,0]为减区间.当a=-1时，同理可得f(x)在（-∞，0］上是增函数，在［0，+∞）上是减函数.1，说明下列函数的图象与指数函数的图象的关系，并画出它们的示意图：1）2）（1）将指数函数的图象向左平移1个单位长度就得到函数的图象（2）将指数函数的图象向右平移2个单位长度就得到函数的图象图像变换2，画出函数y＝2|x＋1|的图象．思路分析：通过分类讨论可去掉绝对值符号，变为分段函数，进而作出图象．另外，也可把函数y＝2|x＋1|看作由y＝2|x|左移一个单位得到，而y＝2|x|的图象，可由y＝2x的图象经对称变换得到．图像变换3，方程的实根个数为2图像变换3，已知当x>1时，不等式(a>0,a≠1)恒成立，求a的取值范围.xyo121图像变换4，如果对于一切成立，则正数的大小关系为：图像变换图像变换图像变换函数y=f(x)y=f(x+a)y=f(x)+ay=f(-x)y=-f(x)y=-f(-x)y=f(|x|)y=|f(x)|对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法作出：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，这种方法我们遇到的有以下几种形式：a>0时向左平移a个单位；a<0时向右平移|a|个单位.a>0时向上平移a个单位；a<0时向下平移|a|个单位.y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.与y=f(x)的图象关于直线y=x对称.Thanksforlistening!让我们的梦想飞翔3.f(x)=-x2+2ex+m-1,(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围;(2)试确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.解析：(1)方法一:由等号成立的条件是x=e,故g(x)的值域是[2e,+∞).因而只需m≥2e,则g(x)=m就有零点.方法三:解方程g(x)=m,得x2-mx+e2=0(x>0).此方程有大于零的根,故等价于方法二:作出(x＞0)的图象如图所示.若使g(x)=m有零点,则只需m≥2e.其对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2,故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.则m的取值范围是m>-e2+2e+1.

(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点作出(x>0)的图象如图.f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2.3.f(x)=-x2+2ex+m-1,(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围;(2)试确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.综合【思路点拨】由f(－x)＝－f(x)恒成立可得a的值；第(2)问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可；第(3)问利用单调性脱掉“f”可求得M的取值范围．∴当x1＜x2时，2x1＜2x2，∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x)在R上是增函数．(3)由f(1－m)＋f(1－m2)＜0，得f(1－m)＜－f(1－m2)＝f(m2－1)，∴1－m＜m2－1，即m2＋m－2＞0，解得m＜－2或m＞1.∴m的取值范围为(－∞，－2)