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文档简介
代数方程组求根的同伦算法的中期报告一、算法背景代数方程组求根是计算机数学中的重要问题，对于需要进行数据建模和分析的科学研究工作和工业生产应用中的数据处理流程具有重要的指导性作用。同伦算法（Homotopyalgorithm）是一类计算代数方程组中的所有实根的有效算法。它是通过构造一族具有性质良好的参数方程，使得其起点具有已知的解，终点具有需要求解的根，不断调整参数，从而链接起起点和终点，完成整个求根过程。同伦算法具有计算速度快、绝对精度高、计算效率高等优点，能够应用于各种实际情况，得到广泛的应用。二、算法目标本次同伦算法的目的是在理解代数方程组求根的基础上，设计并实现一种高效的、可扩展的同伦算法，能够计算出给定实系数代数方程组的所有实根。三、算法过程1.预处理为了保证算法的高效执行，需要对输入的代数方程组进行预处理，包括:（1）检测输入的代数方程组是否有实解，并将无解情况处理好。（2）计算多项式的导数和导数的根，以便于后续调整水平方向上的参数。2.构造同伦函数此阶段需要确定同伦函数的格式。我们选择一种相对简单但有效的同伦函数形式，即通过引入水平方向上的调整参数t，将原来的方程组转化为带参的形式$x=g(x,t)$，使得当t取值在[0,1]时，方程组的解线性地从已知的初始解到目标解。同伦函数分为两部分,$$f(x,t)=(1-t)F(x)+tH(x)$$其中$F(x)$是初始方程组，$H(x)$是引入新的附加项，可以通过调整$t$使$F(x)$在$H(x)$的作用下逐渐变化，从而得到新的根$x_1,x_2,...x_m,t=1$，这样就能得到所有的实根。3.求解函数零点同伦函数的求解可以通过迭代的方式完成。我们通过实现五种常见的求解方法，包括迭代算法（如牛顿迭代和Halley迭代）、Newton-Landsberg迭代、Chebyshev求解法、Bezier曲线求解法、单纯形法等。选择不同的求解器可以根据方程组的特点调整。四、算法进展（1）已经完成了代数方程组的预处理，包括无解检测和导数根计算。（2）已经确定了同伦函数形式，即$f(x,t)=(1-t)F(x)+tH(x)$，初始解为方程组$F(x)$的近似解，目标解为$H(x)$的实根。（3）已经实现了牛顿迭代、Newton-Landsberg迭代、Chebyshev求解法和Bezier曲线法，可以根据实际情况选择求解器。（4）已实现了单线性插值和双线性插值。（5）已经进行了单测验证，结果表明算法正确性得到了实现。五、下一步计划（1）实现单纯形法求解器。（2
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