2022年新高考数学重难点：函数与导数

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2022新高考数学重难点函数与导数及答案

精研考纲M纳核心题海训练归纳总结体验实战梳理复习

2022新高考数学重难点06函数与导数及答案

命题趋势

从新高考的考查情况来看•，函数与导数一直是高考的重点和难点.一般以基本初等函数

为载体，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点等问题，同时与解不等式关系最为

密切，还可能与三角函数、数列等知识综合考查。一般出现在选择题和填空题的后两题以及

解答题中，难度较大，复习备考的过程中应引起重视。通过导数研究函数的单调性、极值、

最值问题，考查考生的分类讨论思想、等价转化思想以及数学运算、逻辑推理核心素养.

满分技巧

1、研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

(1)讨论分以下四个方面

①二次项系数讨论；②根的有无讨论；③根的大小讨论；④根在不在定义域内讨论.

(2)讨论时要根据上面四种情况，找准参数讨论的分类.

(3)讨论完毕须写综述.

2、研究函数零点或方程根的方法

(1)通过最值(极值)判断'零点个数的方法:借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的

正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围.

(2)数形结合法求解零点:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最

值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围.

(3)构造函数法研究函数零点:①根据条件构造某个函数,利用导数确定函数的单调区间及极

值点，根据函数零点的个数守找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数位与0的关系，

从而求解.②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数

的工具作用，体现转化与化归的思想方法.

3、求与函数零点有关的参数范围的方法：

方程/(幻=0有实根U函数y=/(x)的图象与x轴有交点U函数y=/(x)有零点.

(1)参数分离法，构造新的函数，将问题转化为利用导数求新函数单调性与最值.(2)分

类讨论法.

4、不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，

也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数,

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借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理.

恒成立问题的重要思路：(1)，”次r)恒成立n,”次)皿.(2)〃0W恒成立=>mg(x)min.

存在性(有解)问题的重要思路：⑴存在m次X)=，"刁(x)min(2)存在=>/n<A.r)max.

5、利用导数证明不等式#x)>g(x)的基本方法：

(1)若应。与g(X)的最值易求出，可直接转化为证明/(RminAgCOm；

(2)若凡1，)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)=fl,x)—g(x),

然后根据函数〃(x)的单调性或最值，证明〃(x)>0.

无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质，

达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.

6、函数性质综合问题

函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略：

(I)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象

的对称性.

(2)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，

将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.

(3)单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的

区间，然后利用奇偶性和单调性求解.

(4)应用奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于)，轴对称.

--------------

热点解读।

利用单调性比较大小、解不等式、研究函数的最值、函数单调性的讨论(含参)、零点

问题和不等式恒成立的相关问题(包含不等式证明和由不等式恒成立求参数取值范围)是出

题频率最高的：同时也要注意极值点偏移、双变量等热点问题。

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限时检测

A卷(建议用时90分钟)

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一、单选题

1.（2021•江苏连云港•高三期中）已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时，且在

待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫

安时；模式8：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的/倍.

现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在m小时后切换为B模式，若使其

在待机10小时后有超过5%的电量，则〃7的取值范围是（）

A.（5,6）B.（6,7）C.（7,8）D.（8,9）

2.（202卜江苏・无锡市教育科学研究院高三期中）已知函数/。）=不+尸2+4"?-£|

有且只有一个零点，则实数A的值为（）

A.4B,2C.-2D.-4

3.（2021•江苏常州•高三期中）若过点（“⑼可以作曲线y=lnx的两条切线，则（）

A.e*<aB.ea<bC.0<a<ez,D.0<b<ea

4.（2021•山东临沂•高三期中）设函数y=/（x）在区间。上的导函数为在区

间。上的导函数为g（X）,若在区间。上，g（X）<0恒成立，则称函数〃x）在区间。上为“凸

2

函数已知实数所为常数，f（x）=----3x,若对满足帆41的任何一个实数办函数

/（X）在区间伍力）上都为“凸函数”，则〃-a的最大值为（）

A.4B.3C.2D.I

5.（2021•四川遂宁•模拟预测）设函数/*）是定义在（YO,0）=（0,一）上的奇函数，f（x）为

/*）的导函数，当x>0时，xlnx-f'（x）+f（x）>0,则使得（*±2）"x）w。成立的「的取值

x-1

范围（）

A.（-oo,-2]U（0,l）B.[-2,0）U（0,l）C.[-2,0）U（l,+a>）D.（^»,-2]U（1,-K»）

6.（2022•上海•高三专题练习）函数/（x）=2020x+sin2x,若满足/（F+X）+〃1T）N0恒

成立，则实数，的取值范围为（）

A.⑵+<»）B.[l,+oo）C.1-°0，（D.（-QO.1]

7.（2021•江苏海安•高三期中）已知1>1万>万-2,设。=/，人=乃,,。=3废,其中。为自然对数

的底数，贝I（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a

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8.(2021•陕西•长安一中高三阶段练习)，知函数/(大)=(〃+3把2=(4+[)城+/有三个不

同的零点玉，吃,与，且不〈巧<七，则(1—(1的值为()

A.3B.4C.9D.16

二、多选题

9.(202卜江苏南京・高三阶段练习)已知函数〃力满足〃17)=〃1+月，当》€[1,+8)时，

〃X)=x3,则()

A./(o)=oB.对任意的正实数“，都有

C.〃l+x)为偶函数D.不等式/(x+l)</(3)的解集为(-1,3)

10.(2021•山东省胶州市第一中学高三阶段练习)已知函数/(x)=Y+sinx,则下列说法正

确的是()

A./(x)只有一个极值点B.设g(x)=〃x)〃-x),则g(x)与/")的单

调性相同

C./(x)在0弓上单调递增D.7(x)有且只有两个零点

11.(2021•辽宁大连•高三期中)已知函数/(x)=U)+|nk|，则下列说法正确的是()

A.函数y=/(x)的图象关于.v轴对称，且在区间(0,+8)上单调递增

B.函数y=/(x)的图象不关于y轴对称，且在区间(0,+8)上不单调

C.函数y=f(x)在区间(0,gj内存在零点

D.函数y=/(x)在区间(；1)内存在零点

/、—+inx,x>0

12.(2021•广东化州•高三阶段练习)设函数〃x)=x,则下列四个结论中正确

-cosx,x<0

的是()

A.函数/(x)的单调递减区间是卜乃,1)B.函数/(x)的值域是11,一)

C.函数y=〃x)-x有且仅有两个零点D.对任意两个不相等的正实数看,士，若

/(%))=/(%,),则％+9>2

三、填空题

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13.(202卜江苏南通•高三期中)设函数/(x)的定义域为R,/")为偶函数，/(x+1)为奇

函数，当xe[l,2]时，f(x)="2+b,若/(0)+〃l)=T,则/(g)=.

14.(2021・重庆市实验中学高三阶段练习)已知函数/。)=叱，》叩.3],且匕，x2e[l,3],

玉工为，/㈤-/⑻<2恒成立,则实数。的取值范围是.

再一天

15.(2021•江苏•灌云县第一中学高三阶段练习)已知函数g(x)=ln.r-gx2+],则当

xe-,e时的极大值为__________,若〃x)=+〃在xw-,e(>0,e为

_eJ2_/n

自然对数的底)的最大值为《，则实数，"的值为.

2

16.(2021•江苏•沛县教师发展中心高三阶段练习)设函数/(x)=xe'-a(x-I),其中”1,

若存在唯一整数%,使得/(%)<4,则。的取值范围是.

四、解答题

17.(2021•辽宁•大连市第一中学高三期中)已知函数f(x)=cos2x+ar2.

(1)当，，=；时，求/(X)的导函数/(X)在上的零点个数；

(2)若关于x的不等式cos(2sinx)+/x24叭x)在R上恒成立，求实数a的取值范围.

18.(2021•江苏•南京市中华中学高三期中)函数/(x)={e'-：x2-x).(1)求函数/(x)在

[-3,3]的值域；

(2)设g(x)=/'(x)-xe*+5x+l,已知:+七NO,求证：g(xt)+g(x2)^4.

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19.(2021•江苏镇江•高三期中)已知函数f*)=lnx,g(x)=kx2-2x(keR).(1)若y=/(x)

在X=1处的切线也是y=g(x)的切线，求&的值；(2)若XG(O,X0),f(x)4g(x)恒成立,

求女的最小整数值.

20.(2021•广东江门•高三阶段练习)已知函数/(x)=xhu14+*“€/?).

Q

(1)当a=0时，求/(x)的单调区间：(2)若〃x)有两个零点牛.，且玉>2占，证明中2哈•

21.(2021・江苏盐城・高三期中)设函数/(司=炉一工2+”的(工+2)-2.(1)求证：当,"=0时,

〃x)>0在xe(2,xo)上总成立；(2)求证：不论，〃为何值，函数f(x)总存在零点.

22.(2021•全国•高考真题)已知a>0且axl,函数f(x)=J(x>0).(1)当。=2时，求/(x)

a

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的单调区间；（2）若曲线y=/（x）与直线y=l有且仅有两个交点，求a的取值范围.

B卷（建议用时90分钟）

一、单选题

L（23浙江・高考真题）已知函数小）”+卜。）=—则图象为如图的函数可能是

y=/(x)g(x)D.尸军2

f(x)

2.（2021•河南•高三阶段练习）函数/（x）=x（lnx）2的减区间是（）

A.OB.陷C.（［I）D.gl

3.（2021•四川攀枝花•高三阶段练习）方程〃x）=/'（x）的实数根叫做函数/（x）的“新驻点

如果函数g（x）=lnx+2的“新驻点”为a,那么〃的取值范围是（）

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4.（2021•江苏•高三期中）设Q0,若不等式ATog.K小）一330在戈>0时恒成立，则一的最大

值为（）

A.eB.eln3C.Iog3eD.3

5.（2021•河南•温县第一高级中学高三阶段练习）函数/（x）的定义域是R,"0）=2,对

任意xeR,/（x）+r（x）>l,则不等式eJ/（x）>e'+l的解集为（）

A.{x|x>0}B.{x|x<0}C.或x>l}D.或0<x<l}

6.（2021•河北邢台•高三阶段练习）已知方程|lnx|=G+2在区间（0,e）上恰有3个不等实数

根，则实数Z的取值范围是（）

7.（2021•全国•高考真题）设a=21nl.01,fe=lnl.02,C=X/L04-1.则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

8.（2021•黑龙江•模拟预测）已知函数〃x）=e'+asinx,则下列说法正确的是（）

A.当”=-1时，/（x）在（（）,+<»）单调递减

B.当〃=-1时，/（x）在（OJ（O））处的切线为X轴

C.当”=1时，/（X）在（-兀,0）存在唯一极小值点七，且-1</（毛）<0

D.对任意”>0,f（x）在（-兀,+«）一定存在零点

二、多选题

9.（202］山东临沂福三阶段练习）若函数/（刈=2/-#（“<0）在作审）上有最大值,

则a的取值可能为（）

A.-6B.-5C.-3D.-2

x2e\x<\

10.（2021-重庆九龙坡•高三期中）已知函数/（幻="，方程"（x）F-2af（x）=0（“eR）

lx

有两个不等实根，则下列选项正确的是（）

A.点（0,0）是函数/（X）的零点B.叫e（0,D,9e（l,3）,使/（%）>/（%）

2e2e

C.x=-2是/（x）的极大值点D.。的取值范围是（下,工）UI：,+oo）

夕82

11.（2021•湖北•高三期中）已知函数〃工）=1g-=，下列结论成立的是（）

x-1

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A.函数/")在定义域内无极值B.函数/(')在点A(2J(2))处的切线方程为

y=-x+ln2-8

2

函数人力在定义域内有且仅有一个零点函数/(外在定义域内有两个零点

C.D.X,x2,

且X|•毛=1

xe*,x<l

12.(2021•福建省福州外国语学校高三阶段练习)已知函数_/W=,，函数g(x)=Jx)，

—e,x>l

,X

下列选项正确的是()

A.点(0,0)是函数/(x)的零点

B.肛«0,1),毛6(1,3),使/(再)习'(*2)

C.函数/(x)的值域为［-eL+oo)

D.若关于x的方程［g(x)V-2ag(x)=0有两个不相等的实数根，则实数。的取值范围是

2e2e

三、填空题

13.(2021•山东师范大学附中高三期中)已知函数/(x)=ln(^/i寿-x卜l,若

/(2A-1)+/(4-X2)+2>0,则实数x的取值范围为.

14.(2021•山东泰安•高三期中)已知函数/(x)=xlnx+g〃id有两个极值点，则实数〃?的

取值范围为.

15.(2021•广东•高三阶段练习)若对任意的玉，且当为<三时，都有

Inx-Inx,2

—1——">一，则根的最小值是.

16.(2021•天津•南开中学高三阶段练习)已知函数，I、；'。当xW-川时,

-4x+4,l<x<3,

/(x)=/(-x),当xwR时，/(x+4)=2/(x),若关于X的方程“x)=/nr在区间［0,5］上恰

有三个不同的实数解，则实数机的取值范围是.

四、解答题

17.(2021•全国•高考真题)已知函数/(x)=P-x2+ax+l.

(1)讨论/(x)的单调性；(2)求曲线y=/(x)过坐标原点的切线与曲线y=/(x)的公共点

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的坐标.

18.(2021•广东化州•高三阶段练习)已知函数/(x)=e*-aj(|)求函数"X)的单调区间：

(2)设函数=若xNO时，g(x)NO恒成立，求实数a的取值范围.

19.(2021•湖北•高三期中)函数/(x)=lnx+x2—2ar.(1)若〃x)存在单调递减区间，求

实数”的取值范围;(2)若y=f(x)有两个不同极值点王，公，求证：/(xj+)<—3-In2.

20.(2021•山东文登•高三期中)已知函数〃x)=(x—〃?)lnx在x=e处的切线与直线

2x—y+2=0平行.

(1)求m的值，并求此切线方程；(2)证明：/(x)<^+cosx-l.

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21.(2021•山东文登•高三期中)已知函数/(戈)=2a-L-lnx(awZ).

x

(1)求函数“X)的极值；⑵设g(x)=2"，若对Txe(l,yo)都有/(x)<g(x)成立,

求〃的最大值.

22.(2021•天津一中高三阶段练习)已知函数=有两个不同的零点西，々，且

X]V£.

(1)求实数〃7的取值范围；(2)求证：当XE[1,+8)时，(lnx)/(lnx)+/??(lnA)2+ln.r>2(x-l)；

(3)求证：X)+x>3--.

2m

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重难点06函数与导数

从新高考的考查情况来看，函数与导数一直是高考的重点和难点.一-般以基本初等函数

为载体，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点等问题，同时与解不等式关系最为

密切，还可能与三角函数、数列等知识综合考查。一般出现在选择题和填空题的后两题以及

解答题中，难度较大，复习备考的过程中应引起重视。通过导数研究函数的单调性、极值、

最值问题，考杳考生的分类讨论思想、等价转化思想以及数学运算、逻辑推理核心素养.

，满分技巧

1、研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

(1)讨论分以卜四个方面

①二次项系数讨论：②根的有无讨论；③根的大小讨论：④根在不在定义域内讨论.

(2)讨论时要根据上面四种情况，找准参数讨论的分类.

(3)讨论完毕须写综述.

2、研究函数零点或方程根的方法

(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法:借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的

正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围.

(2)数形结合法求解零点:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最

值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围.

(3)构造函数法研究函数零点:①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极

值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，

从而求解.②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数

的工具作用，体现转化与化归的思想方法.

3、求与函数零点有关的参数范围的方法：

方程/(x)=0有实根U函数y=/(x)的图象与x轴有交点U函数y=/(x)有零点.

(1)参数分离法，构造新的函数，将问题转化为利用导数求新函数单调性与最值.(2)分

类讨论法.

4、不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，

也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数,

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2022新高考数学重难点函数与导数及答案

精研考纲M纳核心题海训练归纳总结体验实战梳理复习

借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理.

恒成立问题的重要思路：(1)，”次r)恒成立n,”次)皿.(2)〃0W恒成立=>mg(x)min.

存在性(有解)问题的重要思路：⑴存在m次X)=，"刁(x)min(2)存在=>/n<A.r)max.

5、利用导数证明不等式#x)>g(x)的基本方法：

(1)若应。与g(X)的最值易求出，可直接转化为证明/(RminAgCOm；

(2)若凡1，)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)=fl,x)—g(x),

然后根据函数〃(x)的单调性或最值，证明〃(x)>0.

无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质，

达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.

6、函数性质综合问题

函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略：

(I)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象

的对称性.

(2)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，

将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.

(3)单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的

区间，然后利用奇偶性和单调性求解.

(4)应用奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于)，轴对称.

--------------

热点解读।

利用单调性比较大小、解不等式、研究函数的最值、函数单调性的讨论(含参)、零点

问题和不等式恒成立的相关问题(包含不等式证明和由不等式恒成立求参数取值范围)是出

题频率最高的：同时也要注意极值点偏移、双变量等热点问题。

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限时检测

A卷(建议用时90分钟)

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一、单选题

1.(2021•江苏连云港•高三期中)已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时，且在

待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫

安时；模式8：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，f小时后的电量为当前电量的挤倍.

现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在加小时后切换为B模式，若使其

在待机10小时后有超过5%的电量，则的取值范围是()

A.(5,6)B.(6,7)C.(7,8)D.(8,9)

【答案】D

【分析】根据题苣得模式A：.丫=-300/+3000,模式风.v=p],其中"为初始电量，再

根据题意列不等式求解即可.

【详解】解：模式A：y=-308+3000,模式8：y=其中°为初始电量.

A模式用了m小时,电量为3000-300/n,m小时后B模式用了10-7小时，

1IV1

...(-3005+3000)^•>30005%;20110(10-/n)>-,令10-/n=x,

二2i-x<0,f[x)=2x-'-xy=2i尸x

2.(2021•江苏•无锡市教育科学研究院高三期中)已知函数…+e-+AsinQ高

有且只有-个零点，则实数A的值为()

A.4B.2C.-2D.-4

【答案】C

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2022新高考数学重难点函数与导数及答案

精研考纲归纳核心题海训练归纳总结体验实战梳理复习

(分析】先证"X)=，一2+Asin号一2)的图象关于直线x=2对称，结介条件列方程

求实数4的值.

【详解】•­•/(x)=e'-2+e-t+2+Asin

/(x+2>铲2华/4s

33

xx

又g(x)=e+e-+Acos|x,则g(-制="、+广(-、)+ACOSy(-X)•=e-r+^A+Acos—x,

J3

/.函数g(x)=e'+er+Acos?x为偶函数，故函数g(x)=e*+e'+Acosqx的图象关于

x=0对称,

・・・函数f(x+2)的图象美丁口=0对称，，函数/(幻的图象关于x=2对称，

又函数/。…'-"一+人如仁-高有且只有一个零点，

••.函数/(幻=d-2+厂2+4川?一£］的零点为2,；./(2>,即

2-iA=(.A4=一2.故选：C.

3.(2021•江苏常州•高三期中)若过点(。力)可以作曲线y=lnx的两条切线，贝！］()

A.e*<aB.e"<bC.0<a<e"D.0<b<ea

【答案】C

【分析】设切点为(%,%)，可得切线为ln%-b=，(xo-a),所以b=H+ln%-l,设

g(x)=2+lnx-l,则y=b与g(x)=?+lnx-l图象有两个交点，讨论“V0时由单调性可知

不符合题意，当。>0时，由导数判断g(x)的单调性以及最值，数形结合即可求解.

【详解】设切点为(毛，%)，%=ln为.由y=lnx可得y，=L则切线方程为y-8=，(x-a),

因为点(X。,%)在切线匕所以InX。-6=’(X。-a),所以6="+ln%-l,

若过点(。力)可以作曲线y=Inx的两条切线，则b=4+1n%-1有两解,

ax-a

设g(x)=2+lnx_[,可得g'(x)=

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当〃工0时，/(力=亨>0恒成立，此时g(x)=2+lnx-l在(0,+e)上单调递增，

〃=2+ln/-1至多一解，所以。40不符合题意，

玉)

当a>0时，由g'(x)<0可得0cxea：由g'(x)>0可得x>a；

所以g(x)=2+lnx-l在(0,a)上单调递减，在(。,《»)上单调递增，所以gGL=g(a)=lna,

当X趋近于0时，g(x)=q+lnx-l趋近广+oo：当X趋近于+oo时，g(x)=0+lnx-l趋近

XX

于+00；

所以若y=b与g(x)=2+Inx-l图象有两个交点，可得b>lna即0<a<eJ

所以若过点(4力)可以作曲线y=lnx的两条切线，则o<a<e",故选：C.

4.(2021•山东临沂•高三期中)设函数y=/(x)在区间O上的导函数为「仃)，北号在区

间。上的导函数为g(x),若在区间。上，g(x)<0恒成立，则称函数f(x)在区间。上为“凸

43

函数''.已知实数，"为常数，f(x)=----3x2,若对满足|〃把1的任何一个实数，小函数

126

“X)在区间(4⑼上都为“凸函数”，则〃-4的最大值为()

A.4B.3C.2D.1

[:答案】A

【分析】由题设知对任意|时41,在(〃/)上有g(x)=f—，机一6<0恒成立，转化为一次函

数/7(〃7)=-m1+/一6<0在一1<zn<1上恒成立求x的范围，进而确定的最大值.

【详解】由题设，fXx)=y-^--6x,贝i]g(x)=J—，加一6,

；•对任意.在(a,〃)匕有g(x)=W-〃氏-6<0恒成立，h(ni)=-tnx+x2-6<0ft

-l</n<l上恒成立，

/?(-l)=x2+x-6<0

：.\,,可得一2<x<2,：.a>-2,b<2,故b-a的最大值为4.故选：A

5.(2021•四川遂宁•模拟预测)设函数/*)是定义在(YO,0)7(0,”)上的奇函数，f'(x)为

/(x)的导函数，当x>0时，xlnxf'(x)+f(x)>0,则使得(**2)"X)«0成立的「的取值

x-\

范围()

A.(^>,-2]U(0,1)B.[-2,0)U(0,l)C.[-2,0)U(l,-w>)D.(^o,-2]U(l,+oo)

【答案】A

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【分析】Fa)=f3・lnx,通过求导，再结合已知条件可判断出当时，

/U)>0,当xvO时，/(x)<0,最后分情况解不等式可得答案.

【详解】令F(x)=〃x)lnx,F'(x)=r(x)lnx+四="nx.，(x)+/(x),

XX

当x>0时，xlnx/,(x)>0,F'(x)>0,原函数单调递增,

又因为产⑴=0,所以当xe(O.l)时，F(x)<0,此时，Inx<0,所以/(外>0,

当xe(l,+oo)时，尸。)>0,此时，lnx>0,所以/(x)>。，所以当xe(0,+oo)时，/(x)>0,

又因为/(x)是奇函数，当时，/(x)<0,求(x+24⑴A。,分两种情况求解，

X-1

当XV。时，/(x)v(),只需仁义之0,解得xW—2,当x>0时，/(x)>o,只需也

x-1x-1

解得0vxv1

所以x的范围是(YO,-2]U(0,1).故选：A

6.(2022•上海•高三专题练习)函数/(x)=2020x+sin2x,若满足/(/+x)+/(lT)20恒

成立，则实数/的取值范围为()

A.⑵+<»)B.[l,+oo)C.(一00，1D.(-oo,l]

【答案】C

【详解】/(-x)=-2020x-sin2x=-f(x),且f\x)=2020+2cos2x>0,

函数/(x)为单调递增的奇函数.于是，/(/+力+川-。20可以变为

即d+xNr-l,.,•TY+X+I,Wx2+x+l=fx+->l+—^―.可知实数

12)444

故实数1的取值范围为(Y0,(.故选：C.

7.(2021•江苏海安•高三期中)已知In开>乃一2,设a=e*,6=/,c=3?re,其中e为自然对数

的底数，则()

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a

【答案】B

【分析】将原不等式移项合并，利用放缩法判断a、C的大小关系；构造函数/(*)=乎利

用导数法求出最大值，确定最大值与f(7)的大小关系即可判断.

【详解】Qln^>^-2,+In+Ine2>lne",..In(乃/)>Ine]，.・.乃金>e",

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(23”,..3栉/>/,，0。,令/(切=¥。>0),则小)=号与>0),

当0<x<e时，r(x)=_^>0,.•.〃同=邛在(0,6)上单调递增；

当X>e时，/")=匕詈<0,.・J(x)=(在(e,+oo)上单调递减；

.•/=6时/(“取〃x)z=/(e),，/(;r)</(e),.•.叱<L.x>eln;r,.•.万>ln;r。，

ne

<:

又Qa=e",h=乃。，「.111。=1,111〃=111/,而乃>]1140，...1114=兀>111乃=111〃，.二4>人.综上所

述：b<a<c

故选：B

8.(2021•陕西•长安一中高三阶段练习)己知函数/*)=(4+3圮2'-(。+1)M,+/有三个不

同的零点内,工2,毛，且内VX2<玉，则(1—g")(1-的值为()

A.3B.4C.9D.16

【答案】C

【分析】利用换无法转换/(力，结合导数以及•元二次方程根与系数的关系来求得正确答

案.

【详解】fM=(a+3)e2x-(a+1)xe'+x2^e2x(百一(a+1)十+(a+3),

e21>0.(W)-(a+1):+(“+3)=0有三个不同的零点内，超国

令g(x)=2，g(x)=L；,g(x)在(T»,l)递增，在上递减，

ee

IxY//1

g(x)=g(l)=:.x>0时，—>0.^-/=—G,J-(a+l>/+(a+3)=0必有两个根

11meeeic

xx

r,<0,0<r2<-,且i1+/2=a+l"|・，2=〃+3,有懈内<0,有两解W，&，1-L

0<x2<1<^,

故「打(，知T)

(1-疗(1-幻2=口-6+G)+：U了=口-(a+l)+a+31=9.

故选：C

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二、多选题

9.(202卜江苏南京・高三阶段练习)己知函数/(外满足/(1-丹=/(1+.。，当*武1,+8)时，

/(X)=J?,则()

A./(O)=OB.对任意的正实数“，都有；卜"4)

C.〃l+x)为偶函数D.不等式〃x+l)</(3)的解集为(—1,3)

【答案】BC

【分析】由对称性可判断A,由单调性结合基本不等式可判断B,由函数平移与奇偶性的对

称性可判断C,由单调性可判断D

【详解】由题意可知，对丁•选项A,因为/(l-x)=/(l+x),所以函数f(x)关于立线x=l时

称，

则以0)=/⑵=8,故选项A错误；对于选项B,因为x«l,+8)时，函数/(力=/单调递

增，

l-l.«+->2.C3=4,当艮仅当a=2时取等号，所以/1+4士/(4)对任意的正实数.恒

a\a\a)

成心故选项B正确；对于选项C,由函数/(x)关于直线x=l对称，可得〃x+l)关卜直

线x=0对■称，

即“1+X)为偶函数，故选项C正确；对于选项D,因为/(X)在上单调递增且『(*)

关于直线X=1对称，所以f(l+X)为偶函数，”.在［0,+8)上单调递增，

所以由/