新疆乌鲁木齐市第五中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题

乌鲁木齐市第五中学20232024学年高三上学期10月月考数学试题总分150分考试时间120分钟一、单项选择题（8小题每题5分共40分）1.在复平面内，复数对应点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】复数z的对应点位于第二象限．故选：B．2.已知集合，集合.若，则实数的取值集合为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据是的子集列方程，由此求得的取值集合.【详解】由于，所以，所以实数m的取值集合为.故选：C3.从6名女生、4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用分层抽样的特点得到男女生应该抽取的人数后，再根据分步计数原理可得结果.【详解】根据分层抽样的特点可知，女生抽3人，男生抽2人，所以不同的抽取方法种数为.故选：D.【点睛】本题考查了分层抽样，考查了分步计数原理，属于基础题.4.设偶函数在区间上单调递减，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由偶函数的性质，结合单调性分析即可.【详解】由题意，偶函数在区间上单调递减，则，结合偶函数的性质可得，故.故选：C5.已知，是椭圆上关于原点对称的两点，是该椭圆上不同于，的一点，若直线的斜率的取值范围为，则直线的斜率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设点，，，求出，由把用表示，从而上的范围得的取值范围．【详解】设点，，，则，∴.又∵，∴，故选：B.【点睛】结论点睛：本题考查直线与椭圆位置关系。在椭圆中，是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上不同于的点，则（斜率存在时）．6.若函数有三个单调区间，则b的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求导数，根据条件，转化为导数有2个变号零点，即可求解.【详解】，因为函数有三个单调区间，所以，解得：.故选：A7.已知，，则等于A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据余弦的半角公式化简、运算，即可求解，得到答案．【详解】由题意，可知，则，又由半角公式可得，故选B．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟练应用余弦函数的半角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8.已知递增等比数列的前n项和为，，且，则与的关系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设等比数列的公比为，由已知列式求得，再由等比数列的通项公式与前项和求解.【详解】设等比数列的公比为，由，得，所以，又，所以，所以，，所以即故选：D二、多选题（共4小题每题五分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知半径为1的球内切于半径为，高为的一个圆锥（球与圆锥的侧面、底面都相切），则下列说法正确的是（）A. B.圆锥的体积与表面积之比为定值C.圆锥表面积的最小值是 D.当圆锥的表面积最小时，圆锥的顶角为60°【答案】BC【解析】【分析】由圆锥的半径和高，表示出母线长，利用球内切于圆锥，求出与的关系验证选项A；表示出圆锥的体积与表面积，验证选项B；利用基本不等式求圆锥表面积的最小值，并求此时母线长，验证选项CD.【详解】如图所示，圆锥的高，底面半径，母线，，，，∽，，，，，得，所以，A选项错误；圆锥的体积，圆锥的表面积，圆锥的体积与表面积之比为，为定值，B选项正确；，，当且仅当，即时等号成立，圆锥的表面积，则时圆锥表面积有最小值，C选项正确；当圆锥的表面积最小时，，，，，圆锥的顶角不是60°，D选项错误.故选：BC10.在棱长为1的正方体中，在侧面（含边界）内运动，在底面（含边界）内运动，则下列说法正确的是（）A.若直线与直线所成角为30°，则点的轨迹为圆弧B.若直线与平面所成角为30°，则点的轨迹为双曲线的一部分C.若，则点的轨迹为线段D.若到直线的距离等于到平面的距离，则点的轨迹为抛物线的一部分【答案】ABD【解析】【分析】画出正方体，根据各选项的不同条件对图形进行分析并运算即可得出轨迹问题的结论.【详解】直线与直线所成角即为，在中，，∴，故在以为圆心，为半径的圆落在侧面内的圆弧上，A正确；过作于点（如图），设，，直线与平面所成角即为，在中，，从而，故点的轨迹为双曲线的一部分，故B正确；在中，，从而，故在以为圆心，为半径的圆落在底面内的圆弧上，C错误；到直线的距离等于到平面的距离，即到点的距离等于到直线的距离，故点的轨迹为抛物线的一部分，故D正确.故选：ABD.11.下列四个命题是真命题的是（）A.若函数的定义域为，则函数的定义域为B.函数的值域为C.若函数的两个零点都在区间为内，则实数的取值范围为D.已知在上是增函数，则实数的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】选项A根据抽象函数的定义域可得；选项B运用换元法可求函数的值域；选项C根据二次函数区间根问题求参数可得；选项D根据分段函数在上增函数可得.【详解】选项A：函数的定义域为，则函数的中，得，故A正确；选项B：设，得，则，对称轴为，故函数在上单调递增，故，故B错误；选项C：若函数的两个零点都在区间为内，则，得，故C正确；选项D：若在上是增函数，则，得，故D正确.故选：ACD12.已知事件与事件为互斥事件，是事件的对立事件，是事件的对立事件，若，，则（）A. B.C. D.事件与事件不独立【答案】ABD【解析】【分析】根据对立事件、互斥事件、独立事件及交事件、和事件的定义，依次分析选项是否正确，即可得出答案.详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，因为事件与事件为互斥事件，事件不一定为互斥事件，则不一定成立，故C不正确；对于D，，故事件与事件D正确.故选：ABD.三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13.在中，，，若点G是的重心，则__________.【答案】【解析】【分析】根据重心的性质和向量数量积的运算律即可得到答案.【详解】因为中，，，则，.故答案为：.14.已知正四棱台上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为3.则四棱台的高为______.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，求出正四棱台的对角面等腰梯形的高即可作答.【详解】正四棱台对角面等腰梯形的高即为该正四棱台的高，因为正四棱台上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为3，则该四棱台对角面等腰梯形的上下底边长分别为，腰长为3，因此等腰梯形高为，所以四棱台的高为.故答案为：15.平面直角坐标系中,直线被圆截得的弦长为______.【答案】【解析】【分析】先利用点线距离公式求得圆心到直线的距离，再利用弦长公式即可得解.【详解】因为可化为，所以圆心到直线的距离为：，所以直线=被圆=截得的弦长为=.故答案为：.16.“”是“”的______条件.（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”“既不充分也不必要”中选择填空）【答案】充分不必要【解析】【分析】根据三角函数的定义，以及三角函数的诱导公式，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由，可得或，所以或，当时，可得；当时，可得，即由，可得；反之：当时，，则，当时，，此时，所以是的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效.）17.在中，角的对边分别为，且．（1）判断的形状；（2）若，点分别在边上，且，求的面积．【答案】（1）是直角三角形（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理化角为边，整理即可得出结论；（2）根据求解即可.【小问1详解】因为，由正弦定理得，化简得，所以是直角三角形；【小问2详解】由（1）得，因为，所以，则，因为，所以，,,，，所以.18.已知数列是等差数列，其前n项和为，且，，数列为等比数列，且，．（1）求数列和的通项公式；（2）若，设数列的前n项和为，求证：．【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由条件可得，可求出，，，结合等差数列的前n项和公式可求出.

（2）由（1）可得，利用错位相减法可求和，从而可证结论.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意可得，即，解得，.，，解得，因此，.综上所述，，；（2），，①，②①②得，，，又，则数列是单调递增数列，则.因此，.【点睛】本题考查求等差数列和等比数列的通项公式，考查错位相减法求和，属于中档题.19.我市某校为了解高一新生对物理科与历史科方向的选择意向，对1000名高一新生发放意向选择调查表，统计知，有600名学生选择物理科，400名学生选择历史科.分别从选择物理科和历史科的学生中随机各抽取20名学生的数学成绩得如下累计表（下表）：分数段物理人数历史人数（1）利用表中数据，试分析数学成绩对学生选择物理科或历史科的影响，并绘制选择物理科的学生的数学成绩的频率分布直方图（如图）；（2）从数学成绩不低于70分的选择物理科和历史科的学生中各取一名学生的数学成绩，求选取物理科学生的数学成绩至少高于选取历史科学生的数学成绩一个分数段的概率.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）从统计表看出选择理科的学生的数学平均成绩高于选择文科的学生的数学平均成绩,反映了数学成绩对学生选择文理科有一定的影响，然后根据数据绘制出直方图即可；(2)利用互斥事件的加法公式，即可得出结论.【小问1详解】解：由表格数据知，随着数学成绩分数的提升，选择物理方向学生的占比有明显的提升.所以数学成绩越好，其选择物理科方向的概率越大.频率分布直方图如下：

【小问2详解】解：设“选取物理科学生的数学成绩至少高于选取历史科的学生的数学成绩一个分数段”为事件C选择物理科的学生考分在，，分别事件，，，选择历史科的学生考分在，，的事件分别为，，由表得､，，因为“选择物理科的学生考分在何分数段”与“选择历史科的学生考分在何分数段”相互独立，，，，，，也明显互斥所以.20.如图，在四棱锥中，平面，∥，，，分别是棱的中点．（1）求证：∥平面.（2）求证：平面⊥平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析；【解析】【分析】（1）、设,连接,,利用三角形中位线可证明∥,利用线面平行的判断即可证明；（2）、（方法一）证明平面;（方法二）证明平面;然后利用线面垂直证明平面与平面垂直.【小问1详解】设,连接,,∥，,是棱的中点,∥，,四边形为平行四边形，是棱的中点,∥,又平面,平面,∥平面.【小问2详解】(方法一)⊥平面,平面,.∥，,是棱的中点,∥，,四边形为平行四边形，∥，.,四边形为菱形，,平面,平面,平面,又平面，平面⊥平面.（方法二）连接,平面,平面,∥,,平面,平面,,是棱的中点,,由（1）可知，,又是棱的中点,,平面,平面,平面.又平面,平面⊥平面.21.有一块直角三角形的板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形内一点，现在由于三角板中阴影部分受到损坏，为把损坏部分锯掉，可用经过点的一条直线，将三角板铝成，问：应该如何锯法，即直线斜率为多少时，可使三角板的面积最大？【答案】,【解析】【分析】由已知及直线的斜截式方程求、坐标，再由三角形面积公式写出△的面积S，并指出k的取值范围由面积S的解析式构造函数，并研究函数的单调性，进而求S的最值．【详解】依题意，直线MN过点且斜率存在，则MN的方程为，，，直线OA的方程为，直线AB的方程为，由知：且，可得或，由知：且，可得，，故，，，∴，且.设，，当时，，∵，，，，则，即，在是增函数，当时，，即时，．【点睛】关键点点睛：应用直线的斜截式方程及三角形面积公式写出面积S及k的范围，利用函数的单调性求S的最值.22.已知函数，．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数在上不单调，求实数a的取值范围．【答案】（1）函数在上单调递增，在上单调递减（2）【解析】【分析】（1）当时，确定函数解析式，求出定义域，利用导数求函数的单调性；（2）由的解析式求出导数，无法直接判断导函数的正负，构造新函数再求导，分类讨论的单调性，求出实数a的取值范围.【小问1详解】当时，函数，定义域为，易知，令，得，令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减．【小问2详解】由题意知，则，令，，则．①当时，，则在上单调递增，所以当时，，所以在上单调递增，不符合题意．