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文档简介
页第二节二项式定理核心素养立意下的命题导向1.结合二项式定理的推导,考查对二项式定理及通项公式的理解,凸显逻辑推理的核心素养.2.结合求二项展开式中的特定项及二项式系数性质的研究,考查二项式定理的应用,凸显数学运算的核心素养.[理清主干知识]1.二项式定理(1)定理:(a+b)n=Ceq\o\al(0,n)an+Ceq\o\al(1,n)an﹣1b+…+Ceq\o\al(k,n)an﹣kbk+…+Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*).(2)通项:第k+1项为Tk+1=Ceq\o\al(k,n)an﹣kbk.(3)二项式系数:二项展开式中各项的二项式系数为:Ceq\o\al(k,n)(k=0,1,2,…,n).2.二项式系数的性质[澄清盲点误点]一、关键点练明1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)-\r(x)))10的展开式中x2的系数等于()A.45B.20C.﹣30D.﹣902.二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)+\f(1,2x)))8的展开式的常数项是________.3.在二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(1,x)))n的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则展开式中含x2项的系数是______.4.若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3+\f(1,\r(x))))n的展开式的所有二项式系数的和为128,则n=________.二、易错点练清1.在二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2-\f(2,x)))n的展开式中,所有二项式系数的和是32,则展开式中各项系数的和为________.2.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(1,x)))(1+2x)5的展开式中,x3的系数为________.3.(2x﹣1)6的展开式中,二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)考点一二项展开式中特定项及系数问题考法(一)形如(a+b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量[例1](1)在(eq\r(x)﹣2)5的展开式中,x2的系数为()A.﹣5B.5C.﹣10D.10(2)若二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x6-\f(1,x\r(x))))n的展开式中含有常数项,则n的值可以是()A.8B.9C.10D.11[方法技巧]求形如(a+b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤考法(二)形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)展开式中与特定项相关的量[例2]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(y2,x)))(x+y)5的展开式中x3y3的系数为()A.5B.10C.15D.20[方法技巧]求形如(a+b)n(c+d)m的展开式问题的思路(1)若n,m中一个比较小,可考虑把它展开得到多个,如(a+b)2(c+d)m=(a2+2ab+b2)(c+d)m,然后展开分别求解.(2)观察(a+b)(c+d)是否可以合并,如(1+x)5(1﹣x)7=[(1+x)(1﹣x)]5(1﹣x)2=(1﹣x2)5(1﹣x)2.(3)分别得到(a+b)n,(c+d)m的通项公式,综合考虑.考法(三)形如(a+b+c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量[例3]在(2x2+x﹣1)5的展开式中,x3的系数为________.[方法技巧]求形如(a+b+c)n展开式中特定项的步骤[针对训练]1.(1﹣2x)3(2+x)4展开式中x2的系数为()A.0B.24C.192D.4082.(多选)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2+\f(1,x)))4的展开式中各项系数之和为A,第二项的二项式系数为B,则()A.A=256 B.A+B=260C.展开式中存在常数项D.展开式中含x2项的系数为543.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(a,x)))4的展开式中x2项的系数为8,则a=________.4.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2+\f(2,x)))6的展开式中常数项是________(用数字作答).考点二二项式系数的性质及各项系数和[典例]二项式(2x﹣3y)9的展开式中,求:(1)二项式系数之和;(2)各项系数之和;(3)所有奇数项系数之和;(4)各项系数绝对值之和.[方法技巧]1.赋值法的应用(1)形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子,求其展开式的各项系数之和,只需令x=1即可.(2)形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子,求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)的展开式中:(1)各项系数之和为f(1).(2)奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=eq\f(f1+f-1,2).(3)偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=eq\f(f1-f-1,2).[提醒]注意区分二项式系数与二项展开式的各项系数.[针对训练]1.(多选)若(1﹣2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则下列结论中正确的是()A.a0=1B.a1+a2+a3+a4+a5=2C.a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=35D.a0﹣|a1|+a2﹣|a3|+a4﹣|a5|=﹣12.在二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)+\f(3,x)))n的展开式中,各项系数之和为A,各项二项式系数之和为B,且A+B=72,则展开式中常数项的值为________.一、创新思维角度——融会贯通学妙法巧用二项式系数的性质解题题型(一)对称性问题[例1]已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则这两项的二项式系数为________.[名师微点]利用二项展开式的特点与组合数的性质可得二项式系数的对称性,但要注意到二项式系数、项的系数是两个不同的概念,二项式系数与二项展开式中某一项的系数也不一定相同,因此二项展开式的字母系数不一定具有这一性质.题型(二)增减性与最大值问题[例2]若(1+x)n(n∈N*)的二项展开式中,只有x5的系数最大,则n=________.[名师微点]“若二项式的幂指数是偶数,则中间一项的二项式系数最大;若二项式的幂指数是奇数,则中间两项的二项式系数最大”,这是二项展开式中二项式系数的重要性质.题型(三)系数之和问题[例3]已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)+\f(3,\r(3,x))))n的展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64,则n=________.[名师微点]赋值法是求二项展开式系数问题时常用的方法,但取值要有利于问题的解决,可以取一个值或几个值,也可以取几组值,解题时注意避免漏项等情况.二、创新考查方式——领悟高考新动向1.已知(x+2)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2﹣(2a2+4a4+6a6+8a8)2的值为()A.39B.310C.311D.3122.已知正项等比数列{an}中,a3=3a1a2,a4=eq\f(256,3),用{x}表示实数x的小数部分,如{1.5}=0.5,{2.4}=0.4,记bn={an},则数列{bn}的前15项的和S15为________.3.已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=________,a5=________.eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])一、基础练——练手感熟练度1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)-\f(2,x)))6的展开式中xSKIPIF1<0的系数为()A.﹣12B.12C.﹣192D.1922.(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中x4的系数为()A.50B.55C.45D.603.已知(x+1)n的展开式的各项系数和为32,则展开式中x4的系数为()A.20B.15C.10D.54.在(1﹣x)5(2x+1)的展开式中,含x4项的系数为()A.﹣5B.﹣15C.﹣25D.255.在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(2,x2)))5的展开式中,x2的系数是________.6.已知m∈Z,二项式(m+x)4的展开式中x2的系数比x3的系数大16,则m=________.二、综合练——练思维敏锐度1.二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(a,x)))8的展开式中x2的系数是﹣7,则a=()A.1B.eq\f(1,2)C.﹣eq\f(1,2)D.﹣12.若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax-\f(1,\r(x))))6展开式的常数项为60,则a值为()A.4B.±4C.2D.±23.(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9的展开式中x2的系数是()A.60B.80C.84D.1204.在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(1,\r(x))))n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中系数最小的项的系数为()A.﹣126B.﹣70C.﹣56D.﹣285.若二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2+\f(a,x)))7的展开式中的各项系数之和为﹣1,则含x2的项的系数为()A.560B.﹣560C.280D.﹣2806.(eq\r(3,2)+x)5的展开式中系数为有理数的各项系数之和为()A.1B.20C.21D.317.已知(2m+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64,则m=()A.eq\f(7,4)B.eq\f(7,2)C.4D.78.设(2﹣x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则eq\f(a2+a4,a1+a3)的值为()A.﹣eq\f(61,60)B.﹣eq\f(122,121)C.﹣eq\f(3,4)D.﹣eq\f(90,121)9.在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(a,x)))5的展开式中,x3的系数等于﹣5,则该展开式的各项的系数中最大值为()A.5B.10C.15D.2010.(多选)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\r(\f(a,x))))n的展开式中最中间的一项是﹣eq\f(5,2)xeq\r(x),则()A.a=eq\f(1,2)B.展开式中所有项的二项式系数之和为64C.展开式中的所有项的系数和为eq\f(1,64)D.展开式中的常数项为eq\f(15,16)11.已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(a,\r(x))))10的展开式中含有xSKIPIF1<0的系数是﹣120,则a=________.12.若(1+2020x)2020=a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020,则eq\f(a1,2020)+eq\f(2a2,20202)+eq\f(3a3,20203)+…+eq\f(1010a1010,20201010)=__________.13.已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*),若a0+a1+…+an=62,则logn25等于________.14.已知(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*),设Sn=a0+a1+a2+…+an,数列eq\b\lc\{\rc\
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