湖南省长沙市铁路第一中学2023-2024学年数学高一上期末考试模拟试题含解析

湖南省长沙市铁路第一中学2023-2024学年数学高一上期末考试模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．若，则（）A B.C. D.2．若函数且,则该函数过的定点为（）A. B.C. D.3．已知定义在R上的函数，（e为自然对数的底数，），则（）A.3 B.6C.3e D.与实数m的取值有关4．已知函数的部分图像如图所示，则正数A值为（）A. B.C. D.5．已知函数，则函数的零点所在的区间是A. B.C. D.6．不等式的解集为（）A.（-∞，1） B.（0，1）C.（，1） D.（1，+∞）7．幂函数的图像经过点，若.则（）A.2 B.C. D.8．函数满足：，已知函数与的图象共有4个交点，交点坐标分别为,,,，则：A. B.C. D.9．若方程则其解得个数为（）A.3 B.4C.6 D.510．已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是（）A.相切 B.相交C.相离 D.不确定11．的值是（）A B.C. D.12．甲：“x是第一象限的角”，乙：“是增函数”，则甲是乙的（）A充分但不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13．如图，在直四棱柱中，当底面ABCD满足条件___________时，有.（只需填写一种正确条件即可）14．若正实数满足，则的最大值是________15．已知球有个内接正方体，且球的表面积为，则正方体的边长为__________16．已知点角终边上一点，且，则______三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的值；若a不存在，请说明理由.已知集合________，.若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18．已知函数（1）求的单调递增区间；（2）求在区间上的值域19．某网站为调查某项业务的受众年龄，从订购该项业务的人群中随机选出200人，并将这200人的年龄按照，，，，分成5组，得到的频率分布直方图如图所示：（1）求的值和样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中恰有1人年龄在中的概率20．已知函数（，且）（1）求的值及函数的定义域；（2）若函数在上的最大值与最小值之差为3，求实数的值21．如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，，，点是棱的中点（1）证明：平面平面；（2）求三棱锥的体积22．已知，，，且.（1）求的值；（2）求的值.

参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1、C【解析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果【详解】将式子进行齐次化处理得：故选：C【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论2、D【解析】根据指数函数的图像经过定点坐标是，利用平移可得到答案.【详解】因为指数函数的图像经过定点坐标是，函数图像向右平移个单位，再向上平移个单位，得到，函数的图像过的定点.故选：.【点睛】本题主要考查的是指数函数的图像和性质，考查学生对指数函数的理解，是基础题.3、B【解析】可证，从而可得正确的选项.【详解】因为，故，故，故选：B4、B【解析】根据图象可得函数的周期，从而可求，再根据对称轴可求，结合图象过可求.【详解】由图象可得，故，而时，函数取最小值，故，故，而，故，因为图象过，故，故，故选：B.5、A【解析】根据初等函数的性质得到函数的单调性，再由得答案【详解】∵函数和在上均为增函数，∴在上为单调增函数，∵，，∴函数的零点所在的区间是，故选A【点睛】本题主要考查了函数零点的判定，考查了初等函数的性质，属于基础题6、A【解析】根据对数的运算化简不等式，然后求解可得.【详解】因为，，所以原不等式等价于，即.故选：A7、D【解析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求时的值详解】解：设幂函数，其图象经过点，，解得，；若，则，解得故选：D8、C【解析】函数的图象和的图象都关于（0，2）对称，从而可知4个交点两两关于点（0，2）对称，即可求出的值【详解】因为函数满足：，所以的图象关于（0，2）对称，函数，由于函数的图象关于（0，0）对称，故的图象也关于（0，2）对称，故.故答案为C.【点睛】若函数满足，则函数的图象关于点对称9、C【解析】分别画出和的图像，即可得出.【详解】方程，即，令，，易知它们都是偶函数，分别画出它们的图像，由图可知它们有个交点.故选：.【点睛】本题主要考查的是函数零点，利用数型结合是解决本题的关键，同时考查偶函数的性质，是中档题.10、B【解析】由题意结合点与圆的位置关系考查圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系即可确定直线与圆的位置关系.【详解】点在圆外，，圆心到直线距离，直线与圆相交.故选B.【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11、C【解析】由，应用诱导公式求值即可.【详解】.故选：C12、D【解析】由正弦函数的单调性结合充分必要条件的定义判定得解【详解】由x是第一象限的角，不能得到是增函数；反之，由是增函数，x也不一定是第一象限角故甲是乙的既不充分又不必要条件故选D【点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查正弦函数的单调性，是基础题二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13、(答案不唯一)【解析】直四棱柱，是在上底面的投影，当时，可得，当然底面ABCD满足的条件也就能写出来了.【详解】根据直四棱柱可得：∥，且，所以四边形是矩形，所以∥，同理可证：∥，当时，可得：，且底面，而底面，所以，而，从而平面，因为平面，所以，所以当满足题意.故答案为：.14、4【解析】由基本不等式及正实数、满足，可得的最大值.【详解】由基本不等式，可得正实数、满足，，可得，当且仅当时等号成立，故的最大值为，故答案为：4.15、【解析】设正方体的棱长为x，则=36π，解得x=故答案为16、【解析】利用任意角的三角函数的定义，即可求得m值【详解】点角终边上一点，，则，故答案为【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17、见解析【解析】首先解一元二次不等式求出集合B，依题意B，再根据所选条件得到不等式组，解得即可；【详解】解：由，所以，解得所以.由题意知，A不为空集，选条件①时，，因为“”是“”充分不必要条件，所以B，，则，等号不同时取到，解得.所以实数a的取值范围是.当选条件②时，因为“”是“”的充分不必要条件，所以B，所以，解得．此时，不符合条件故不存在的值满足题意．当选条件③时，因为“”是“”的充分不必要条件，所以B，所以，该不等式组无解，故不存在的值满足题意．18、(1)；(2)【解析】（1）利用两角差余弦和诱导公式化简f(x),再求单调区间即可；（2）由结合三角函数性质求值域即可详解】（1）令，得，的单调递增区间为；（2）由得，故而【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数单调性及值域问题，熟记公式准确计算是关键，是基础题19、（1），平均数为岁（2）【解析】（1）根据频率之和等于得出的值，再由频率分布直方图中的数据计算平均数；（2）根据分层抽样确定第1，2组中抽取的人数，再由列举法结合古典概型的概率公式得出概率.【小问1详解】由，得平均数为岁.【小问2详解】第1，2组的人数分别为人，人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为，，，，从5人中随机抽取2人，样本空间可记为，，，，，，，，，，用表示“2人中恰有1人年龄在”，则，，，，，，包含的样本点个数是6.所以2人中恰有1人年龄在中的概率20、（1）0；；（2）或.【解析】（1）代入计算得，由对数有意义列出不等式求解作答.（2）由a值分类讨论单调性，再列式计算作答.【小问1详解】函数，则，由解得：，所以的值是0，的定义域是.【小问2详解】当时，在上单调递减，，，于是得，即，解得，则，当时，在上单调递增，，，于是得，即，解得，则，所以实数的值为或.21、（1）证明见解析；（2）【解析】（1）由题意得，，即可得到平面，从而得到⊥，再根据，得到，证得平面，即可得证；（2）首先求出，利用勾股定理求出，即可求出，再根据锥体的体积公式计算可得【详解】解：（1）证明：由题设知，，，平面，所以平面，又因为平面，所以因为，所以，即因为，平面，所以平面，又因为