2023-2024年新高考数学一轮复习培优教案8.7《直线与圆锥曲线的位置关系》 (原卷版)

页第七节直线与圆锥曲线的位置关系核心素养立意下的命题导向1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养；2．了解圆锥曲线的简单应用，凸显数学抽象、数学运算的核心素养．3．通过学习直线与圆锥曲线的位置关系，凸显直观想象的核心素养．[理清主干知识]1．直线与圆锥曲线的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线C：F(x，y)＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0))消去y得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线l与圆锥曲线C有两个公共点；Δ＝0⇔直线l与圆锥曲线C有一个公共点；Δ＜0⇔直线l与圆锥曲线C有零个公共点．(2)当a＝0，b≠0时，圆锥曲线C为抛物线或双曲线．当C为双曲线时，l与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有1个或0个．当C为抛物线时，l与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有1个．2．圆锥曲线的弦长公式设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1﹣x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1﹣y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2).[澄清盲点误点]一、关键点练明1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条2．过抛物线y＝eq\f(1,4)x2的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝________.二、易错点练清1．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．直线y＝kx﹣k＋1与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不确定考点一直线与圆锥曲线的位置关系[典例](1)过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A．有且只有一条B．有且只有两条C．有且只有三条D．有且只有四条(2)若直线y＝kx＋1与椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1总有公共点，则m的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(0，＋∞)C．(0,1)∪(1,5)D．[1,5)∪(5，＋∞)[方法技巧]直线与圆锥曲线位置关系的判定方法代数法即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标几何法即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数[针对训练]1．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的交点个数为()A．至多一个B．2C．1D．02．已知双曲线eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A．(1，eq\r(5))B．(1，eq\r(5)]C．(eq\r(5)，＋∞)D．[eq\r(5)，＋∞)考点二弦长问题[典例]在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点P(2,1)，且离心率e＝eq\f(\r(3),2).(1)求椭圆C的方程；(2)直线l的斜率为eq\f(1,2)，直线l与椭圆C交于A，B两点．求△PAB面积的最大值．[方法技巧]求解弦长的4种方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解．(3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1﹣x2)2，(y1﹣y2)2，代入两点间的距离公式．(4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．[针对训练]1．已知斜率为1的直线l与椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A．2B.eq\f(4\r(5),5)C.eq\f(4\r(10),5)D．eq\f(8\r(10),5)2．设斜率为eq\r(3)的直线过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，与C交于A，B两点，且|AB|＝eq\f(16,3)，则p＝()A.eq\f(1,2)B．1C．2D．43．斜率为eq\r(3)的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________.考点三中点弦问题[典例]已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(1,2)，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，点C在E上，且△ABC面积的最大值为2eq\r(3).(1)求椭圆E的方程；(2)设F为E的左焦点，点D在直线x＝﹣4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点．证明：直线OD平分线段MN.[方法技巧]1．“点差法”的4步骤处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：2．“点差法”的常见结论设AB为圆锥曲线的弦，点P为弦AB的中点：(1)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中的中点弦问题：kAB·kOP＝﹣eq\f(b2,a2)；(2)双曲线eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)中的中点弦问题：kAB·kOP＝eq\f(b2,a2)；(3)抛物线y2＝2px(p＞0)中的中点弦问题：kAB＝eq\f(p,y0)(y0为中点P的纵坐标)．[针对训练]1．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x﹣y＋5＝0，弦的中点坐标是M(﹣4,1)，则椭圆的离心率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(5),5)2．在椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1中，以点M(1,2)为中点的弦所在直线方程为______________．3．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，且左焦点与抛物线y2＝﹣4x的焦点重合．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N，线段MN的中点记为A，且线段MN的垂直平分线过定点Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，0))，求k的取值范围．创新思维角度——融会贯通学妙法活用抛物线焦点弦的4个结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则结论1：x1·x2＝eq\f(p2,4).结论2：y1·y2＝﹣p2.结论3：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α是直线AB的倾斜角)．结论4：eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)为定值(F是抛物线的焦点)．应用(一)利用结论3或4解决问题[例1]过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于()A．4B.eq\f(9,2)C．5D．6应用(二)利用结论3解决问题[例2]设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.eq\f(3\r(3),4)B.eq\f(9\r(3),8)C.eq\f(63,32)D.eq\f(9,4)应用(三)利用结论1或4解决问题[例3]如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为()A．5B．6C.eq\f(16,3)D．eq\f(20,3)eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])一、综合练——练思维敏锐度1．直线y＝eq\f(b,a)x＋3与双曲线eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1的交点个数是()A．1B．2C．1或2D．02．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为eq\f(10,3)，则|AB|＝()A.eq\f(13,3)B．eq\f(14,3)C．5D．eq\f(16,3)3．过双曲线eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为()A．2B．eq\f(3,2)C.eq\r(3)D．eq\r(2)4．已知直线l与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为()A．y＝x﹣1B．y＝﹣2x＋5C．y＝﹣x＋3D．y＝2x﹣35．(多选)设椭圆的方程为eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,4)＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点．下列结论正确的是()A．直线AB与OM垂直B．若点M坐标为(1,1)，则直线方程为2x＋y﹣3＝0C．若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(4,3)))D．若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝eq\f(4\r(2),3)6.如图，过椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若eq\f(1,3)<k<eq\f(1,2)，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(3,4)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))7．已知双曲线E：eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,2)＝1，直线l交双曲线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))，则直线l的方程为()A．4x＋y﹣1＝0B．2x＋y＝0C．2x＋8y＋7＝0D．x＋4y＋3＝08．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5，0)，O为坐标原点，则S△AOB＝()A．2eq\r(2)B．eq\r(3)C.eq\r(6)D．3eq\r(6)9．已知椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．10．已知斜率为2的直线经过椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________．11．已知抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好以P(1,1)为中点，则弦AB所在直线的方程是______________．12．已知过抛物线y2＝4eq\r(2)x焦点F的直线与抛物线交于点A，B，eq\o(AF,\s\up7(→))＝3eq\o(FB,\s\up7(→))，抛物线的准线l与x轴交于点C，AM⊥l于点M，则四边形AMCF的面积为________．13．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公