江苏省南通市第一中学2024届高一数学第一学期期末综合测试试题含解析

江苏省南通市第一中学2024届高一数学第一学期期末综合测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1．命题，一元二次方程有实根，则（）A.，一元二次方程没有实根B.，一元二次方程没有实根C.，一元二次方程有实根D.，一元二次方程有实根2．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.3．不论a取何正实数，函数恒过点（）A. B.C. D.4．已知，则为（）A. B.2C.3 D.或35．已知集合，，有以下结论：①；②；③．其中错误的是（）A.①③ B.②③C.①② D.①②③6．幂函数的图像经过点，若.则（）A.2 B.C. D.7．“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件8．已知函数在上具有单调性，则k的取值范围是（）A. B.C. D.9．若关于的方程有且仅有一个实根，则实数的值为（）A3或-1 B.3C.3或-2 D.-110．如图（）四边形为直角梯形，动点从点出发，由沿边运动，设点运动的路程为，面积为．若函数的图象如图（），则的面积为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．已知非零向量、满足，若，则、夹角的余弦值为_________.12．若，则________.13．已知角的终边过点（1，－2），则________14．定义在上的偶函数满足：当时，，则______15．=___________三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.17．已知直线（1）求直线的斜率；（2）若直线m与平行，且过点，求m方程.18．2022年是苏颂诞辰1001周年，苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟．水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约3.4米的水轮，它转一圈需要30分钟．如图，退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处，当点P从枢轮最高处随枢轮开始转动时，打开退水壶出水口，壶内水位以每分钟0.017米的速度下降，将枢轮转动视为匀速圆周运动．以枢轮中心为原点，水平线为x轴建立平面直角坐标系，令P点纵坐标为，水面纵坐标为，P点转动经过的时间为x分钟．（参考数据：，，）（1）求，关于x的函数关系式；（2）求P点进入水中所用时间的最小值（单位：分钟，结果取整数）19．已知向量函数（1）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，讨论函数的零点情况.20．如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATS是一座半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地.现有一开发商想在平地上建造一个两边分别落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场PQCR面积的最大值.21．已知集合，（1）当时，求；（2）若，求

参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1、B【解析】根据全称命题的否定为特称命题可得出.【详解】因为全称命题的否定为特称命题，所以，一元二次方程没有实根.故选：B.2、D【解析】由题意可知，命题“，”是真命题，再利用一元二次不等式的解集与判别式的关系即可求出结果.【详解】由于命题“，”是假命题，所以命题“，”是真命题；所以，解得.故选：D.【点睛】本题考查了简易逻辑的判定、一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3、A【解析】令指数为0，即可求得函数恒过点【详解】令x+1=0，可得x=-1，则∴不论取何正实数，函数恒过点（-1，-1）故选A【点睛】本题考查指数函数的性质，考查函数恒过定点，属于基础题4、C【解析】根据分段函数的定义域求解.【详解】因为，所以故选：C5、C【解析】解出不等式，得到集合，然后逐一判断即可.【详解】由可得所以，故①错；，②错；，③对，故选：C6、D【解析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求时的值详解】解：设幂函数，其图象经过点，，解得，；若，则，解得故选：D7、B【解析】根据指数函数的性质求的解集，由充分、必要性的定义判断题设条件间的关系即可.【详解】由，则，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：B8、C【解析】由函数，求得对称轴的方程为，结合题意，得到或，即可求解.【详解】由题意，函数，可得对称轴的方程为，要使得函数在上具有单调性，所以或，解得或故选：C.9、B【解析】令，根据定义，可得的奇偶性，根据题意，可得，可求得值，分析讨论，即可得答案.【详解】令，则，所以为偶函数，图象关于y轴对称，因为原方程仅有一个实根，所以有且仅有一个根，即，所以，解得或-1，当时，，，，不满足仅有一个实数根，故舍去，当时，，当时，由复合函数的单调性知是增函数，所以，当时，，所以，所以仅有，满足题意，综上：.故选：B10、B【解析】由题意，当在上时，；当在上时，图（）在，时图象发生变化，由此可知，，根据勾股定理，可得，所以本题选择B选项.二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11、【解析】本题首先可以根据得出，然后将其化简为，最后带入即可得出结果.【详解】令向量与向量之间的夹角为，因为，所以，即，，，，因为，所以，故答案为：.【点睛】本题考查向量垂直的相关性质，若两个向量垂直，则这两个向量的数量积为，考查计算能力，考查化归与转化思想，是简单题。12、【解析】利用三角函数的诱导公式，化简得到原式，代入即可求解.【详解】因为，由故答案为：13、【解析】由三角函数的定义以及诱导公式求解即可.【详解】的终边过点（1，－2），故答案为：14、12【解析】根据偶函数定义，结合时的函数解析式，代值计算即可.【详解】因为是定义在上的偶函数，故可得，又当时，，故可得，综上所述：.故答案为：.15、【解析】tan240°=tan（180°+60°）=tan60°=，故答案为：三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16、（1），（2），【解析】（1）利用余弦函数的增减性列不等式可得答案；（2）先讨论函数的增减区间，再结合所给角的范围，可得最值.【小问1详解】令，，可得，故的单调递增区间为，.【小问2详解】由（1）知当时，在单调递增，可得在单调递减，而，从而在单调递减，在单调递增，故，.17、（1）；（2）.【解析】（1）将直线变形为斜截式即可得斜率；（2）由平行可得斜率，再由点斜式可得结果.【详解】（1）由，可得，所以斜率为；（2）由直线m与平行，且过点，可得m的方程为，整理得：.18、（1），（2）13分钟【解析】（1）按照题目所给定的坐标系分别写出和的方程即可；（2）根据零点存在定理判断即可.【小问1详解】可设，∵转动的周期为30分钟，∴，∵枢轮的直径为3.4米，∴，∵点P的初始位置为最高点，∴，∴，∵退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处，∴水面的初始纵坐标为，∵水位以每分钟0.017米速度下降，∴；【小问2详解】P点进入水中，则，即∴作出和的大致图像，显然在内存在一个交点令，∵，，∴P点进入水中所用时间的最小值为13分钟；综上，，，P点进入水中所用时间的最小值为13分钟.19、（1）；（2）见解析【解析】（1）由题意得，结合不等式恒成立，建立m的不等式组，从而得到实数的取值范围；（2）)令得：即，对m分类讨论即可得到函数的零点情况.【详解】（1）由题意得，，当时，∴，又恒成立，则解得：(2)令得：得：,则.由图知：当或，即或时，0个零点；当或，即或时，1个零点；当或，即或时，2个零点；当，即时，3个零点.综上：或时，0个零点；或时，1个零点；或时，2个零点；时，3个零点.【点睛】本题考查三角函数的图像与性质的应用，三角不等式恒成立问题，函数的零点问题及三角函数的化简，属于中档题.20、14050−9000（m2）【解析】设，然后表示出，进而表示出矩形PQCR的面积，再根据三角函数的相关知识化简求值，解决问题.