专题18 难点探究专题：平面直角坐标系中的规律探究问题之三大类型（解析版）

专题18难点探究专题：平面直角坐标系中的规律探究问题之三大类型【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一平面直角坐标系中动点移动问题】 1【类型二平面直角坐标系中图形翻转问题】 4【类型三平面直角坐标系中新定义型问题】 7【过关检测】 11【典型例题】【类型一平面直角坐标系中动点移动问题】例题：（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2025秒瓢虫在点（

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A． B． C． D．【答案】D【分析】根据点、、、的坐标可得出、及矩形的周长，由，可得出当秒时瓢虫在点边上，再结合点的坐标即可得出结论．【详解】解：，，，，，，，瓢虫2025秒行驶的路程为：，，，即此时瓢虫在边上，当秒时，瓢虫在点处，此时瓢虫的坐标为，故选：D．【点睛】本题考查了规律型—点的坐标，根据瓢虫的运动规律找出当秒时瓢虫在边上是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·安徽阜阳·八年级校考阶段练习）如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点……按这样的运动规律，经过第2023次运动后，小蚂蚁的坐标是（

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A． B． C． D．【答案】C【分析】分别找到横坐标和纵坐标的变化规律，再算出2023与2的商和余数，继而得解．【详解】解：第1次：，第2次：，第3次：，第4次：，第5次：，…，则横坐标是从1开始的正整数，每个正整数出现2次，纵坐标是从0开始的正整数，其中只有0出现1次，其余数出现2次，则，∴第2023次的坐标是：，故选C．【点睛】本题考查了规律型—点的坐标，解决本题的关键是观察点P的运动变化发现规律，总结规律．2．（2023秋·安徽六安·八年级六安市第九中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动1m，其行走路线如图所示，第1次移动到点，第2次移动到点……第n次移动到点，则的面积是（

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A．m² B． C．m² D．m²【答案】C【分析】确定从到水平移动的距离即可求解．【详解】解：由图可知：从到需要移动的次数为：水平移动的距离为：（m）从到需要移动的次数为：水平移动的距离为：（m）…依此类推：从到需要移动的次数为：水平移动的距离为：（m）∴的面积为：故选：C【点睛】本题考查规律题．根据题意确定一般规律是解题关键．【类型二平面直角坐标系中图形翻转问题】例题：（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图所示，长方形的两边分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点，将长方形沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为，经过第二次翻滚，点A的对应点记为；……，依次类推，经过第2023次翻滚，点A的对应点的坐标为（

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A． B． C． D．【答案】B【分析】观察图形即可得到经过4次翻滚后点A对应点一个循环，求出的商，从而解答本题．【详解】解：观察图形得，，，，，经过4次翻滚后点A对应点一个循环，，∵点，长方形的周长为：，∴经过505次翻滚后点A对应点的坐标为，即．∴的坐标为．故选：B．【点睛】此题考查探究点的坐标的问题，解题的关键是找到点的变化规律．【变式训练】1．（2023春·福建莆田·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形一边与x轴重合按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（

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A． B． C． D．【答案】D【分析】根据横坐标，纵坐标的变化规律，每8个点看作一次循环，再根据点在第253个循环中的第七个点的位置，即可得出点的坐标．【详解】解：由图可得，第一个正方形中，，，，，各点的横坐标依次为1，1，2，2，纵坐标依次为0，1，1，0；第二个正方形中，，,，，各点的横坐标依次为3，3，4，4，纵坐标依次为0，，，0；根据纵坐标的变化规律可知，每8个点一次循环，∴，∴点在第253个循环中的第7个点的位置，∴故点的纵坐标为，又∵的横坐标为4，的横坐标为，的横坐标为，…∴点的横坐标为，∴点的坐标为的坐标为，故选：D．【点睛】本题主要考查了点的坐标变化规律问题，解决问题的关键是判断点在第253个循一中的第七个点的位置．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若点坐标是，则经过第2022次变换后，点的对应点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2022除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限，然后解答即可．【详解】解：点第一次关于轴对称后在第二象限，坐标为，点第二次关于轴对称后在第三象限，坐标为，点第三次关于轴对称后在第四象限，坐标为，点第四次关于轴对称后在第一象限，坐标为，即点回到原始位置，每四次对称为一个循环组依次循环，，经过第2022次变换后所得的点与第二次变换的位置相同，在第三象限，坐标为，故选：A．【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，观察图形得出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键．3．（2023春·安徽芜湖·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，将沿轴向右滚动到的位置，再到的位置……依次进行下去，若已知点，，，则点的坐标为（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角形的滚动可知每滚动3次为一个周期，点在第一象限，点在轴上，由点，，可得，从而得到，进而得出点的横坐标，同理可得出点、的横坐标，从而得出点的横坐标为（为正整数），再代入即可得出答案．【详解】解：根据题意得：每滚动3次为一个周期，点在第一象限，点在轴上，，，，由旋转的性质可得：，点的横坐标为：，同理可得出：点的横坐标为：，点的横坐标为，，点的横坐标为（为正整数），点的横坐标为，点的坐标为，故选：B．【点睛】本题主要考查了点的坐标规律，根据题意进行计算得出规律：点的横坐标为（为正整数），是解题的关键．【类型三平面直角坐标系中新定义型问题】例题：（2022秋·湖南常德·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…．若点的坐标为，点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2022除以4，根据商和余数的情况确定点的坐标即可．【详解】解：∵的坐标为，∴，，，，…．依此类推，每4个点为一个循环依次循环，∵,∴点的坐标与的坐标相同，为．故选：B．【点睛】本题考查了点的变化规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循序组依次循环是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·河南漯河·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的友好点，已知点的友好点为点，点的友好点为点，点的友好点为点．……以此类推，当点的坐标为时，点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据的坐标为和友好点的定义，顺次写出点、、、的坐标，发现循环规律，即可求解．【详解】解：当点的坐标为时，点的友好点的坐标为，点的友好点的坐标是，点的友好点的坐标是，点的友好点的坐标是，……以此类推，∴，，，（n为自然数），∵，∴点的坐标为，故选：C【点睛】此题考查了点的坐标变化规律，从已知条件得出循环规律是解题的关键．2．（2022秋·江西景德镇·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点P的和谐点．已知点的和谐点为，的和谐点为，的和谐点为，…，这样由依次得到、、…．若点坐标为，则点的坐标为．【答案】【分析】利用点的和谐点的定义分别写出点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，…,从而得到每4次交换为一个循环。然后利用判断点的坐标与点坐标相同.【详解】解：根据题意得点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，…,而，∴点的坐标与点坐标相同，为，故答案为：.【点睛】本题是平面直角坐标系内的点坐标规律探究题，考查学生发现点的规律的能力，有理数运算以及平面直角坐标系等相关知识，找到坐标的变换规律是解题的关键.3．（2023春·河北张家口·七年级统考期末）已知点，，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，则点的坐标是．【答案】【分析】根据题意，可求得点至点的坐标，观察各点坐标，可知每个点循环一次，即可求得点的坐标与已知某个点的坐标相同．【详解】设点的坐标为．根据题意，得解得所以，点的坐标为．同理可得，，，，．观察各点坐标可知，点至点为一个循环，即每个点循环一次．∵，∴点的坐标与点的坐标相同．∴点的坐标是．故答案为：．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系，解题的关键在于根据题意求得某点的对称点的坐标．【过关检测】一、单选题1．（2023春·内蒙古赤峰·七年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，，，，，……则点的坐标是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为，纵坐标为0，据此可解．【详解】解：由的坐标可得：当下标为3的整数倍时，横坐标为，纵坐标为0，当下标除以3后有余数且商为奇数时，坐标在第四象限，纵坐标为；当下标除以3后有余数且商为偶数时，坐标在第二象限，纵坐标为1。由可得规律：∵，∴∴点的坐标是，故选：B．【点睛】本题属于平面直角坐标系中找点的规律问题，关键是找到循环规律．2．（2023秋·山东济南·八年级山东省济南稼轩学校校考阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…．若点的坐标为，点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别计算出，，，，的坐标，找出规律，即可求得答案．【详解】解：∵点的坐标为，点的伴随点为，∴，∴，∴，∴，∴的坐标周期变化，周期为4，∵，∴，故选：C．【点睛】本题考查点坐标和规律探索，解题的关键是找出坐标变化的规律．3．（2023秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（

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A． B． C． D．【答案】A【分析】观察图形可以看出；；每个为一组，由于余3，在负半轴，纵坐标为，再根据横坐标变化找到规律即可解答．【详解】解：观察图形可以看出；每个为一组，3，在负半轴，纵坐标为，的横坐标分别为，则的横坐标为,的横坐标为，的坐标为．故选：A．【点睛】本题考查是点的坐标规律，找到每4个点一循环点的坐标变化规律是解题的关键．4．（2023秋·山东青岛·八年级青岛大学附属中学校考阶段练习）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2017次运动后，动点P的坐标是（

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A． B． C． D．【答案】B【分析】由图知，动点P的纵坐标每四次一个循环依次为1，0，2，0；横坐标为移动次数；，故经过第2017次运动后，动点P的坐标是．【详解】解：由图知，动点P的纵坐标每四次一个循环依次为1，0，2，0；横坐标为移动次数；，故经过第2017次运动后，动点P的坐标是；故选：B．【点睛】本题考查点坐标规律探索，由图形发现循环规律是解题的关键．5．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A从依次跳动到，，，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标为(

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A． B． C． D．【答案】D【分析】由图可知，个坐标的纵坐标为一循环，因此判断对应的坐标是，那么纵坐标为，横坐标每多一个循环则大，可算出横坐标为，然后直接求解即可．【详解】解：观察图形可知，n为正整数时，的纵坐标为0，1，3，，纵坐标为0的点：纵坐标为1的点：纵坐标为3的点：纵坐标为的点：可以看出纵坐标为1，3，时，n取连续的两个数为一组，则10个10个的增加，∵，纵坐标为1的规律∴的纵坐标为1，正好是往右循环202次，又∵每个循环横坐标加4，∴横坐标为∴故选：D【点睛】此题考查点坐标的规律探究，解题关键是找到循环然后直接求解．6．（2023春·浙江台州·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，…组成一条平滑的曲线，将一枚棋子放在原点O，第一步从点O跳到点；第二步，从点跳到点；第三步，从点跳到点；然后依次在曲线上向右跳动一步，则棋子跳到点时的坐标为（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先写出，，，，的坐标，然后观察点的坐标可知：各个点的横坐标与各A点的下标相同，纵坐标分别为1，0，，0，且每4个点一循环，按照此规律解答即可．【详解】解：观察图形可知：，，，，∴的横坐标为2023，∵，∴的纵坐标为，∴的坐标为，故选：D．【点睛】本题主要考查了规律型：点的坐标，解题关键是观察各点坐标，找出规律．二、填空题7．（2023春·广西河池·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的直角沿x轴向右滚动到的位置，再到的位置……依次进行下去，发现，，…那么点的坐标为．

【答案】【分析】根据直角的边长求出点，再由沿轴向右滚动到的位置，再到的位置…依次进行下去，即可找到规律，即可求解．【详解】∵，，，，根据题意知：，得：；继续滚动得：；发现规律：，∵，解得：则，∴点的横坐标为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了规律型：点的坐标，找到规律是解题的关键．8．（2023春·广西南宁·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于点如果点的纵坐标满足，那么称点为点的“关联点”．例如点的“关联点”的坐标为；如果点的关联点坐标为，则点的坐标为．【答案】或【分析】根据，求出点P坐标即可．【详解】解：∵如果点的关联点坐标为，∴，，分两种情况：当时，，∴点，当时，，∴点，综上所述或．故答案为：或．【点睛】此题考查的是新定义的运算，掌握这个公式的运算是解题的关键．9．（2023·山东泰安·统考二模）如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是．【答案】【分析】由题意可知图形每旋转一周，圆心的路径循环一次，且路径长度刚好为以2为半径的圆的周长，据此找到规律求解即可．【详解】解：由题意可知图形每旋转一周，圆心的路径循环一次，且路径长度刚好为以2为半径的圆的周长，∵，∴当圆心经过的路径长为时，图形旋转了圈，∵图形每旋转一圈横坐标增加，∴当图形旋转505圈时的横坐标为，再转圈横坐标增加，∴当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是，故答案为：．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，点的坐标规律探索，正确找到规律是解题的关键．10．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，是以点B为圆心，为半径的圆弧；是以点O为圆心，为半径的圆弧，是以点C为圆心，为半径的圆弧，是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是．【答案】【分析】将四分之一圆孤对应的A点坐标看作顺时针旋转，再根据A、、、、的坐标找到规律即可．【详解】解：∵，且为A点绕B点顺时针旋转所得，∴，又∵为点绕O点顺时针旋转所得，∴，又∵为点绕C点顺时针旋转所得，∴，由此可得出规律：为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转，且半径为1、2、3、、n，每次增加1，又∵，故为以点C为圆心，半径为2022的顺时针旋转所得，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了点坐标规律探索问题，通过点的变化，结合画弧的方法以及部分点的坐标探索出坐标变化的规律是解题的关键．11．（2023春·四川自贡·七年级四川省荣县中学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成已知．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第5次变换后得到的三角形的坐标是，的坐标是，的坐标是．【答案】【分析】分别根据、、和、、的坐标进行推理，总结规律，即可得出和的坐标；对于坐标找规律可将其写成竖列，比较从而发现的横坐标为，而纵坐标都是3．【详解】、、，的横坐标为：，纵坐标为：3，故点的坐标为：，又、、，的横坐标为：，纵坐标为：0，故点的坐标为：；由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3，故的坐标为：．故答案为:,,【点睛】本题考查了学生观察图形及总结规律的能力，涉及的知识点为：平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，x轴上所有点的纵坐标为0．12．（2023春·重庆沙坪坝·七年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点从出发，向上运动1个单位长度到达点，分裂为两个点，分别向左、右运动到点、点，此时称动点完成第一次跳跃，再分别从点出发，每个点重复上边的运动，到达点，此时称动点完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点完成第100次跳跃时，最左边第一个点的坐标是．

【答案】【分析】由图形可得每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达点的横坐标减少1，据此规律解答即可．【详解】解：由题意可得：每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达点的横坐标减少1，则动点A完成第100次跳跃时，所有到达点的纵坐标为，横坐标为：，则最左边第一个点的坐标是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，观察图形的规律，根据图形得到每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达点的横坐标减少1是解答本题的关键．三、解答题13．（2023春·七年级课时练习）如图，学校植物园的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中，已知小正方形的边长为1米，则的坐标为，的坐标为．

(1)的坐标为______，的坐标为______（用含n的式子表示）；(2)2023米长的护栏，需要两种正方形各多少个？【答案】(1)；(2)小正方形675个，大正方形674个．【分析】（1）根据已知条件与图形可知，大正方形的对角线长为2，由此可得规律：各点的纵坐标均为2，横坐标依次大3，由此便可得结果；（2）先求出一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度，再计算2023米包含多少这样的长度，进而便可求出结果．【详解】（1）解：∵的坐标为，的坐标为，∴各点的纵坐标均为2，∵小正方形的边长为1，∴各点的横坐标依次大3，∴，，即，，故答案为：；；（2）解：由已知可得，所有直角三角形是全等的等腰直角三角形，∴直角三角形的直角边长度是1米，∴一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度：（米），∵，∴需要小正方形（个），大正方形674个．答：小正方形675个，大正方形674个．【点睛】本题是点的坐标的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．14．（2023春·江西上饶·七年级统考期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点P的一对“和美点”．例如，点的一对“和美点”是点与点（1）点的一对“和美点”坐标是_______与_______；（2）若点的一对“和美点”重合，则y的值为_______．（3）若点C的一个“和美点”坐标为，求点C的坐标；【答案】（1）（-4，3），（3，-4）；（2）4；（3）（2，-5）或（-7，-5）【分析】（1）直接根据和美点的定义求解即可；（2）由和美点重合可得a=b，可得方程，即可求出y值；（3）分和美点坐标（a，b）和（b，a）分别为（-2，7）两种情况分别计算．【详解】解：（1）∵a=-x，b=x-y，A（4，1），∴a=-4，b=x-y=4-1=3，∴和美点的坐标为（-4