专题16 思想方法专题：线段与角计算中的思想方法压轴题四种模型全攻略（解析版）

专题16思想方法专题：线段与角计算中的思想方法压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一分类讨论思想在线段的计算中的应用】 1【考点二分类讨论思想在角的计算中的应用】 3【考点三整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题】 7【考点四整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题】 12【过关检测】 17【典型例题】【考点一分类讨论思想在线段的计算中的应用】例题：（2023秋·七年级课时练习）画直线，并在直线上截取线段，再在直线上截取线段，则线段的长是．【答案】3或7/7或3【分析】分两种情况：当点C在线段上时，当点C在线段的延长线上时，利用线段的和与差即可求解．【详解】解：当点C在线段上时，，当点C在线段的延长线上时，，故答案为：3或7．【点睛】本题考查了线段的和与差，熟练掌握其计算方法是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·云南昭通·七年级统考期末）已知线段，点为线段的中点，点是直线上的一点，且，则线段的长是（

）A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．4cm或5cm【答案】C【分析】根据题意画出图形，由于点的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．【详解】解：∵线段，为的中点，∴当点如图1所示时，，；当点如图2所示时，∴线段的长为1cm或5cm.故选：．【点睛】本题考查的是两点间的距离，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．2．（2023秋·云南昆明·七年级统考期末）有、两根木条，长度分别为24cm、18cm，将它们的一端重合且放在同一条直线上，此时、两根木条中点之间的距离为cm．【答案】3或21【分析】假设端点B和端点D重合，分两种情况如图：①不在上时，，②在上时，，分别代入数据进行计算即可得解．【详解】解：假设端点B和端点D重合如图，设较长的木条为，较短的木条为，∵M、N分别为、的中点，∴，，①如图1，不在上时，（cm），②如图2，在上时，（cm），综上所述，两根木条的中点间的距离是21cm或3cm，故答案为：3或21．【点睛】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段的中点定义，解题的关键是在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．3．（2022秋·湖北·七年级校考阶段练习）将一根绳子对折后用线段表示，现从处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这条绳子的原长为．【答案】140或210/210或140【分析】根据绳子对折后用线段表示，可得绳子的长度是的2倍，分类讨论，的2倍最长，可得，的2倍最长，可得的长，再根据线段间的比例关系，可得答案．【详解】解：①当的2倍最长时，得，，，，∴这条绳子的原长为，②当的2倍最长时，得，，，∴这条绳子的原长为．综上所述，这条绳子的原长为或．故答案为：140或210．【点睛】此题考查了线段的和差倍分及分类讨论的思想，根据线段之间的比例关系列式为解题关键．【考点二分类讨论思想在角的计算中的应用】例题：（2023秋·七年级课时练习）已知，，平分，则等于．【答案】或【分析】分两种情况：利用角平分线的定义即可求解．【详解】解：当如图所示时：

平分，，，，当如图所示时：

平分，，，．故答案为：或.【点睛】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义，利用分类讨论解决问题是解题的关键．【变式训练】1．（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级统考期末）已知，，则的度数是．【答案】或【分析】分两种情况讨论：①当在的内部时；②当在的外部时，分别求解即可得到答案．【详解】解：①如图，当在的内部时，

，，，；②如图，当在的外部时，

，，，；综上可知，的度数为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了角度的和差计算，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．2．（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级校考期中）已知，平分，射线与所形成的角度是，那么的度数是【答案】或/50或30【分析】分两种情况：射线在的上方和射线在的下方，根据角平分线的定义和角的和差分别计算即可．【详解】解：如图1，

∵，平分，∴，∵射线与所形成的角度是，∴，∴；如图2，

∵，平分，∴，∵射线与所形成的角度是，∴，∴；综上可知的度数是或．故答案为：或．【点睛】此题考查了角平分线的定义和角的和差计算，分类讨论是解题的关键．3．（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级校考期中）已知射线是的三等分线，射线为的平分线，若，则．【答案】或【分析】根据三等分线的定义可得或，画出图形，进行分类讨论即可．【详解】解：∵射线是的三等分线，∴或，当时，如图：∵，，∴，∵射线为的平分线，∴，∴；

当时，如图：∵，，∴，∵射线为的平分线，∴，∴；

故答案为：或．【点睛】本题主要考查了角的三等分线和角平分线，解题的关键是掌握角的三等分线有两条．【考点三整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题】例题：（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）（1）如图，已知线段，点C是线段上一点，点M、N分别是线段，的中点．①若，则线段的长度是_________；②若，，求线段的长度(结果用含a、b的代数式表示)；（2）在（1）中，把点C是线段上一点改为：点C是直线上一点，，．其它条件不变，则线段的长度是___________（结果用含a、b的代数式表示）【答案】（1）①4，②，（2）或或【分析】（1）①根据线段中点的定义可得，即可求解；②，即可求解；（2）根据题意进行分类讨论即可：当点C在线段上时，当点C在点A的左边时，当点C在点B的右边时．【详解】（1）解：①∵点M、N分别是线段，的中点，，∴，∴，故答案为：4；②∵点M、N分别是线段，的中点，，∴，∴；（2）当点C在线段上时，由（1）可得：；当点C在A左边时，，∵点M、N分别是线段，的中点，，∴，∴；当点C在点B右边时，∵点M、N分别是线段，的中点，，∴，∴；综上：或或．故答案为：或或．【点睛】本题主要考查了线段中点的性质，线段的和差计算，解题的关键是掌握线段中点的定义，具有分类讨论的思想．【变式训练】1．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，点在线段上，点、分别是、的中点．(1)若线段，，则线段的长为(2)若为线段上任一点，满足，其它条件不变，求的长；(3)若原题中改为点在直线上，满足，，，其它条件不变，求的长．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求出，再由点、分别是、的中点，可得，，再由，即可求解；（2）由点、分别是、的中点，可得，，再由，即可求解；（3）分三种情况讨论：当点在线段上时，当点在的延长线上时，当点在的延长线上时，即可求解．【详解】（1）解：，，，又点、分别是、的中点，，，；故答案为：；（2）解：点、分别是、的中点，，，；（3）解：当点在线段上时，点、分别是、的中点，，，；当点在的延长线上时，点、分别是、的中点，，，；当点在的延长线上时，点、分别是、的中点，，，．【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，根据题意，准确得到线段之间的数量关系是解题的关键．2．（2022秋·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期中）（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点,若，，求的长．（2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）．①如图2，当M，N分别是，的中点时，的长是___________；②如图3，若M，N分别是，的三等分点，即，，请直接写出线段的长．【答案】（1）6

（2）①

②【分析】（1）由，得，根据M，N分别是，的中点，即得，故；（2）①由M，N分别是，的中点，知，即得，故；②由，知，即得,故；【详解】解：（1）M，N分别是，的中点故答案为：6（2）①M，N分别是，的中点故答案为：②故答案为：【点睛】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．【考点四整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题】例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）已知：如图，在的内部，平分平分．

(1)当时，___________；(2)当时，___________；(3)当时，___________；(4)猜想：不论和的度数是多少，的度数总等于________的度数的一半．【答案】(1)(2)40(3)40(4)【分析】（1）（2）（3）利用角平分线的定义求得和的度数，再求得，进一步计算即可求解；（4）由（1）（2）（3）可得出结论；【详解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵平分，∴，∴，故答案为：45；（2）解：∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵平分，∴，∴，故答案为：40；（3）解：∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵平分，∴，∴，故答案为：40；（4）解：由以上（1）（2）（3）得出结论，即不论和的度数是多少，的度数总等于的度数的一半．故答案为：．【点睛】此题考查了角平分线的定义、角的计算，关键是根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．【变式训练】1．（2023秋·重庆开州·七年级统考期末）已知为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点处．射线平分．

(1)如图1，若，求的度数；(2)在图1中，若，直接写出的度数（用含的代数式表示）；(3)将图1中的直角三角板绕顶点顺时针旋转至图2的位置，当时，求的度数．【答案】(1)20°(2)(3)144°【分析】（1）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论；（2）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论；（3）设，依次表示出，，，，最后根据列方程即可得到结论．【详解】（1）因为为直线上一点，且，所以，因为射线平分所以因为所以

（2）因为为直线上一点，且，所以，因为射线平分所以因为所以（3）设，则，，因为所以因为所以解得因为所以.【点睛】本题主要考查角平分线的定义，余角的性质，灵活运用余角的性质是解题的关键．2．（2023春·山东济南·六年级统考期末）解答下列问题如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．(1)一个角的平分线这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．(2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则（表示出所有可能的结果探索新知）．(3)如图3，若，且射线是的“巧分线”，则（用含α的代数式表示出所有可能的结果）．

【答案】(1)是(2)30°，20°或40°(3)或或【分析】（1）根据“巧分线”定义，一个角的平分线将一个角均分成两个等角，大角是这两个角的两倍即可解答；(2)根据“巧分线”定义，分、、三种情况求解即可；(3)根据“巧分线”定义，分、、三种情况求解即可．【详解】（1）解：如图1：∵平分，∴,∴根据巧分线定义可得是这个角的“巧分线”．故答案为：是．

（2）解：如图3：①当时，则；②当，则，解得：；③当，则，解得：．综上，可以为．（3）解：如图3：①当时，则；②当，则，解得：；③当，则，解得：．综上，可以为．

【点睛】本题主要考查了新定义下的计算、角平分线的定义等知识点，读懂题意、理解“巧分线”的定义是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·河南郑州·七年级校考期中）已知直线上有三点，且线段，，那么两点之间的距离为（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】根据线段的位置，分类讨论，①如图所示，点在点的右边；②如图所示，点在点的左边；根据线段的和、差计算方法，图形结合分析即可求解．【详解】解：①如图所示，点在点的右边，，，

∴；②如图所示，点在点的左边，，，

∴；∴两点之间的距离为或，故选：．【点睛】本题主要考查线段的和、差，掌握线段的和、差计算方法，图形结合分析是解题的关键．2．（2023春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考开学考试）已知，为的角平分线，过点O作射线，若，则的角度是（

）A．30° B．120° C．30°或120° D．60°或90°【答案】C【分析】分当在内部时，当在外部时，分别求出的度数即可得到答案．【详解】解：如图1所示，当在内部时，∵，，∴，∵为的角平分线，∴，∴；如图2所示，当在外部时，∵，，∴，∵为的角平分线，∴，∴；综上所述，的角度是30度或120度，故选C．【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．3．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案．【详解】解：∵，射线为的三等分线．∴或，∴，∴的度数为或．故选：C．【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键．二、填空题4．（2023春·云南玉溪·七年级统考期末）点是线段的中点，点是直线上的一点，点是线段的中点，若，则线段的长为．【答案】5或8【分析】分类讨论，即点在点左边或者右边两种情况，画出图形，按照线段的和差即可解答．【详解】解：①当点在点左边时，如图所示：

点是线段的中点，点是线段的中点，，，；②当点在点右边时，如图所示：

点是线段的中点，点是线段的中点，，，；故答案为：5或8．【点睛】本题考查了线段的中点的概念，线段的和差，正确地画出图形，分类讨论是解题的关键．5．（2023秋·黑龙江大庆·七年级校考阶段练习）已知，平分，，则．【答案】或．【分析】需要分两种情况讨论：射线位于下方；射线位于上方分别进行求解．【详解】解：∵，平分，∴．①如图所示，射线位于下方．

．②如图所示，射线位于上方时．

．综上所述，或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查角的平分线和角的运算，能采用分类讨论的思想分析问题是解题的关键．6．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知线段，点是直线上一点，且，若点是的中点，则．【答案】或【分析】根据中点的计算方法，求线段和差的计算，图形结合，分类讨论即可求解．【详解】解：①如图所示，点在点的右边，

∵，，∴，∵点是的中点，∴；②如图所述，点在点的左边，

∵，，∴，∵点是的中点，∴；综上所述，或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查线段的和、差，中点的相关计算，理解图示表示的线段的关系，掌握线段和、差，中点的计算方法是解题的关键．三、解答题7．（2022秋·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，点在线段上，，，点分别是的中点

(1)求线段的长．(2)若为线段上任一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗？请说明理由．(3)若在线段的延长线上，且满足，分别是的中点，你能猜想的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．(4)用一句简洁的话描述你发现的结论．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)图形见解析，cm，理由见解析(4)见解析【分析】（1）根据线段中点的定义结合线段的和差解答即可；（2）根据线段中点的定义结合线段的和差解答；（3）根据题意即可画出图形，再根据线段中点的定义结合线段的和差解答；（4）由（2）（3）进行归纳即可得出结论．【详解】（1）分别是的中点，，cm，（2）；理由如下：分别是的中点，（cm）；（3）如图，分别是的中点，（cm）；

（4）根据（2）（3）可得结论：只要满足点在线段所在直线上，点分别是的中点，那么．【点睛】本题考查了线段中点的定义和线段的和差计算，熟练掌握线段中点的定义、数形结合是解题的关键．8．（2022秋·北京西城·七年级北京师大附中校考阶段练习）如图，，OD平分，平分．

(1)用直尺、量角器画出射线的准确位置；(2)求的度数，要求写出计算过程；(3)当时（其中），用的代数式表示的度数．（直接写出结果即可）【答案】(1)作图见详解(2)的度数为或(3)的度数为或【分析】（1）根据，角平分线的性质即可求解；（2）图形结合，根据角平分线的性质即可求解；（3）证明方法同（2）．【详解】（1）解：∵，平分，∴，①当在的左边，如图所示，②当在的右边，如图所示，

（2）解：①如图所示，∵，平分，且，∴，∴，∵平分，∴；②如图所示，同理，，，∴，∵平分，∴；综上所述，的度数为或．（3）解：时（其中），由（2）的证明方法可得，①当在的左边时，；②当在的右边时，；综上所述，的度数为或．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，图形中角的和、差关系，掌握角平分线的性质，角的和、差计算方法是解题的关键．9．（2022秋·河北邯郸·七年级校考期中）直线l上的三个点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．如图2，若M，N，P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，．(1)①当点P在点N的左侧时，求的长度；②当点P在点N的右侧时，求的长度；(2)若点G也是直线m上一点，且点G是线段的中点，求线段的长度．

【答案】(1)①；②(2)或【分析】（1）①可求，由即可求解；②可求，由即可求解．（2）①当点P在点N的左侧时，可求，由即可求解；②当点P在点N的右侧时，可求，由即可求解．【详解】（1）解：①如图，

因为点P是点M关于点