专题09 比例线段-解析版

专题09比例线段★知识点1：成比例线段的概念1．比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．2．成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．典例分析【例1】（2023春·安徽·九年级校联考阶段练习）下列各组种的四条线段成比例的是（

）A．、、、 B．、、、C．、、、 D．、、、【答案】C【分析】根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等进行判断．【详解】解：A.，所以四条线段不成比例，故A选项不符合题意；B.，所以四条线段不成比例，故B选项不符合题意；C.，所以四条线段成比例，故C选项符合题意；D.，所以四条线段不成比例，故D选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查成比例线段的概念，关键是理解比例线段的定义，两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．【例2】（2023·全国·九年级假期作业）如果，且是和的比例中项，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得，又由，即可求得答案．【详解】解：∵b是a、c的比例中项，∴，∵，∴，故选：C．【点睛】此题主要考查了比例线段，正确把握比例中项的定义是解题关键．【即学即练】1．（2023·全国·九年级假期作业）线段，，，的长度如下：①，，，；②，，，；③，，，；以上组数据中，能使，，，构成比例线段的有．（

）A．组 B．组 C．组 D．组【答案】B【分析】根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案．【详解】解：①，即，故成比例线段；②，即，故不成比例线段；③，，，即，故成比例线段；∴成比例线段有2组，故选B．【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．2．（2022秋·福建泉州·九年级校联考期中）下列四条线段成比例的是（）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】B【分析】根据比例线段的概念，将所给四条线段按照从小到大的顺序排列，用最小的乘以最大的，中间两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【详解】解：A、按照从小到大排列：，，，，则，故本选项错误；B、按照从小到大排列：，，，，则，故本选项正确；C、按照从小到大排列：，，，，则，故本选项错误；D、按照从小到大排列：，，，，则，故本选项错误；故选：B．【点睛】本题考查比例线段，理解成比例线段的概念，判断四条线段是否成比例，必须将所给线段按照一定的顺序重排，通常按照从小到大即可，在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，中间两条相乘，看它们的积是否相等即可确定．★知识点2：比例的性质比例的性质示例剖析（1）基本性质：（2）反比性质：（3）更比性质：或或（4）合比性质：（5）分比性质：（6）合分比性质：（7）等比性质：已知，则当时，.典例分析【例1】（2022秋·安徽安庆·九年级安庆市石化第一中学校考期中）已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先把化为，再化简即可得到答案．【详解】解：，，，．故选：B．【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质，把化为是解题关键．【例2】（2022秋·安徽滁州·九年级校考期中）已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知条件得出，，，再代入中进行约分化简即可求解．【详解】，，，，，故选．【点睛】本题考查了比例性质的运用，分式的化简求值，掌握比例的性质是解答本题的关键．即学即练1．（2022秋·安徽滁州·九年级校考期中）若，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据题意得到，再根据比例的基本性质进行求解即可．【详解】解：∵∴，∵∴故选：C．【点睛】本题考查的是比例的基本性质，解题的关键在于熟知如果且，那么．2．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）已知，则的值是（）A． B．5 C． D．【答案】B【分析】设，，再代入求出答案即可．【详解】解：，设，，，故选：B．【点睛】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，如果，那么．★知识点3线段的比典例分析【例1】（2022秋·河北保定·九年级校联考阶段练习）若a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据比例线段的定义：对于四条线段，如果两条线段的比与另外两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段成比例，得出，将，及的值代入即可求得．【详解】解：∵，，，成比例线段，∴可得：，又∵，，，∴，解得：，∴线段的长为．故选：B【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例线段的定义是解本题的关键．【例2】（2022·浙江·九年级专题练习）在比例尺为1：10000的地图上，相距4cm的A、B两地的实际距离是（）A．400m B．400dm C．400cm D．400km【答案】A【分析】设AB的实际距离为xcm，根据比例尺的定义得到4：x＝1：10000，利用比例的性质求得x的值，注意单位统一．【详解】解：设AB的实际距离为xcm，∵比例尺为1：10000，∴4：x＝1：10000，∴x＝40000cm＝400m．故选：A．【点睛】考查了比例线段，用到的知识点是比例线段的性质，关键是根据比例线段的性质列出算式，注意单位的统一．即学即练1．（2021春·全国·九年级专题练习）三条线段、、，满足，那么（

）A．1：6 B．6：1 C．1：3 D．3：1【答案】D【分析】根据线段的比例关系，将原式写成，求出比值，得到比例关系．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴原式．故选：D．【点睛】本题考查线段成比例，解题的关键是掌握线段的比例关系．2．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，线段AB的长为4，则线段AC的长是（

）A．2－2 B．6－2 C．－1 D．3－【答案】A【分析】根据黄金分割比的定义：较长的线段与整个线段的比值是，进行求解．【详解】解：，，．故选：A．【点睛】本题考查黄金分割点，解题的关键是掌握黄金分割点的定义．★知识点4由平行线判断成比例的线段平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线（不少于三条）所截，截得的对应线段成比例。典例分析【例1】（2023春·山西临汾·九年级统考开学考试）如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例判断各项即可．【详解】解：A．由，得，故A选项错误；B．由，得，又由，得，则，故B选项错误，D选项正确；C．由，得，故C选项错误；故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．【例2】（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行四边形的性质得出，，，，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可．【详解】解：A．∵四边形为平行四边形，∴，，，，∵，∴，∵，∴，故A正确，不符合题意；B．∵，∴，∵，∴，故B正确，不符合题意；C．∵，∴，故C正确，不符合题意；D．∵，∴，即，∵，∴，∴，故D错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理．即学即练1．（2023·广东佛山·佛山市华英学校校考三模）如图，，点B，E分别在上，，则长为（

）

A．4 B．2 C． D．【答案】D【分析】根据平行线间分线段成比例得到，解出答案．【详解】，，，即，解得．故选：D．【点睛】本题考查了平行线间分线段成比例，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．2．（2022秋·安徽安庆·九年级安庆市石化第一中学校考期中）如图，，，，则的长为（

）A． B．3 C．4 D．【答案】A【分析】根据平行线分线段成比例定理得，即可得出结论．【详解】解：，，，，，．故选：A．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．★知识点5黄金分割若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）典例分析【例1】（2023·浙江嘉兴·统考二模）神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家发现蝴蝶身长与双翅张开后的长度之比约为．这个数据体现了数学中的（

）

A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．黄金分割【答案】D【分析】利用黄金分割比的意义解答即可．【详解】解：∵黄金分割比为：，∴动物学家发现蝴蝶身长与双翅张开后的长度之比约为，体现了数学中的黄金分割，故选．【点睛】本题考查了数学知识与自然界的联系，熟练掌握线段的黄金分割比是解题的关键．【例2】（2022秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，乐器上的一根弦，两个端点、固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则的长为（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为，由此即可求解．【详解】解∶解：弦，点C是靠近点B的黄金分割点，设，则，∴，解方程得，，点D是靠近点A的黄金分割点，设，则，∴，解方程得，，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键．即学即练1．（2023·云南昆明·统考二模）如果矩形满足，那么矩形叫做“黄金矩形”，如图，已知矩形是黄金矩形，对角线，相交于且，则关于黄金矩形，下列结论不正确的是（）A． B．C． D．矩形的周长【答案】C【分析】计算得出，根据矩形的性质求得各项，即可判断．【详解】解：∵，且，∴，∵四边形是矩形，∴，故选项A正确，不符合题意；∴，故选项B正确，不符合题意；∴，故选项C错误，符合题意；∴矩形的周长，故选项D正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．2．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示以线段为边作正方形，取的中点，连接，延长至，使得，以为边作正方形，则点即是线段的黄金分割点．若记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的比值是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据是的黄金分割点求出，求出，，再得出答案即可．【详解】解：是的黄金分割点，，，，，即，故选：D．【点睛】本题考查了黄金分割，能熟记黄金分割的性质是解此题的关键．1．（2023·海南海口·统考一模）如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（

）A． B．2 C． D．5【答案】C【分析】设P点表示的数为x，则根据平行线分线段成比例可得，解分式方程再进行检验，符合题意即可解答．【详解】解：设P点表示的数为x，则根据平行线分线段成比例可得：解得，经检验，是分式方程的解且符合实际意义，即P点表示的数为．故选：C．【点睛】本题考查平行线分线段成比例和分式方程，解题的关键是根据平行线分线段成比例列出分式方程．2．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如果，那么下列比例式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把比例式转化为乘积式，逐项判断，即可．【详解】A、，变形为：，不符合题意；B、，变形为：，符合题意；C、，变形为：，不符合题意；D、，变形为：，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查比例的基本性质，解题的关键是掌握比例式与乘积式的互换．3．（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）已知，则等于（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】把要求的式子化成，再进行通分，即可得出答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴．故选：A．【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．4．（2022秋·广西来宾·九年级校考期中）已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知方程得到，再利用计算即可得到答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴，故选：A．【点睛】此题考查了分式求值，正确掌握分式的性质是解题的关键．5．（2021春·江苏·九年级专题练习）我们把两条邻边中较短边与较长边的比值等于黄金比的矩形称为黄金矩形．若矩形的两边长分别为a，b，则下列数据能构成黄金矩形的是()A．a＝4，b＝＋2 B．a＝4，b＝－2 C．a＝2，b＝＋2 D．a＝2，b＝－1【答案】D【详解】分析：根据黄金矩形的定义判断即可．解：∵宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，∴，∴a=2，b=－1，能构成黄金矩形，故选D．点睛：本题主要考查了黄金矩形，记住定义是解题的关键．6．（2022秋·贵州铜仁·九年级校考期中）如图，为了测量一栋楼的高度，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得，，如果小明眼睛距地面高度，则楼的高度为（

）A．18米 B．24米 C．32米 D．36米【答案】C【分析】设关于的对称点为，根据光线的反射可知，延长、相交于点，连接并延长交于点，先根据镜面反射的基本性质，得出平行，再根据平行线分线段成比例即可解答．【详解】解：设关于的对称点为，根据光线的反射可知，延长、相交于点，连接并延长交于点，由题意可知且、，∴，∴，即：，∴，∴，答：楼的高度为米．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的应用、镜面反射的基本性质，准确作出辅助线是关键．7．（2022春·九年级课时练习）在中，点、分别在边、上，，那么下列条件中能够判断的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】可先假设，由平行得出其对应线段成比例，进而可得出结论．【详解】如图，可假设，∵∴，故A选项错误，，故D选项错误；反过来，当时，不能得到，故B选项错误；当时，能得到，故C选项正确；故选：C．【点睛】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用．8．（2023秋·湖南益阳·九年级统考期末）如图，是平行四边形对角线上的点，若，，则的长为（

）

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】可证，从而可求，即可求解．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，，，，．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，掌握性质及定理是解题的关键．9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学校考模拟预测）如图，在四边形中，，，，，则线段的长为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．【详解】解：，，，，，，，．故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，并灵活进行运用．10．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨风华中学校考三模）如图，中，为边上一点，过作交于，为的中点，作交于，则下列结论错误的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理、中点定义及相似三角形对应边成比例逐项判断即可得到答案．【详解】解：A、，由平行线分线段成比例定理可得，，，，，，即，，，由平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，即，，故该选项正确，不符合题意；B、，，，，，为的中点，，，故该选项正确，不符合题意；C、，由平行线分线段成比例定理可得，，，由平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，即，，故该选项正确，不符合题意；D、，由平行线分线段成比例定理可得，，由平行线分线段成比例定理可得，只有当为中点时，即时，由于题中并未给出相关条件，故该选项错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查线段成比例，涉及平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定与性质、中点的定义等知识，熟记相关几何性质是解决问题的关键．11．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）如图，在中，点D、E、F分别在边上，，，则下列比例式中错误的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【详解】A、∵，，∴四边形是平行四边形，，∴，∴，不符合题意；B、∵，∴，∴，不符合题意；C、∵，∴，∴，不符合题意；D、∵，∴，∴，故D错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了平行线判定三角形的相似和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．12．（2023秋·海南海口·九年级统考期末）如图，，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出的长，然后根据平行线分线段成比例定理，列比例式即可求出的值．【详解】，．，

．故选：D【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握这个定理，正确的列出比例式是解题的关键．13．（2023·山东聊城·统考二模）如图，在正方形中，按如下步骤作图：①连接，相交于A点O；②分别以点B，C为圆心、大于的长为半径画弧，两弧相交于点E；③连接交于点F；④连接交于点G．若，则的长度为（）

A