专题1.3 线段的垂直平分线（学生版）

专题1.3线段的垂直平分线1.理解线段垂直平分线的概念；2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算；4.理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题；5.能够利用尺规作出三角形的垂直平分线。知识点01线段垂直平分线的性质与判定【知识点】线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.应用：常用来证明两条线段相等线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.应用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上【知识拓展1】利用线段垂直平分线的性质求长度例1．（2022春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若的周长是，，则的周长是___________．【即学即练】1．（2023春·江苏苏州·八年级期中）如图，在中，垂直平分，交边于点，交边于点，若，的周长为14，则的周长为______．【知识拓展2】利用线段垂直平分线的性质求角度例2．（2022春·山西临汾·八年级期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点若，则的度数是（

）A． B． C． D．【即学即练】2．（2022春·江苏南京·八年级阶段练习）如图，点P为三边垂直平分线的交点，，，则的度数为（）A． B． C． D．【知识拓展3】垂直平分线的判定例3．32．（2022春·广西南宁·八年级校考期中）小军做了一个如图所示的风筝，其中，，则是的______线．【即学即练3】3．（2022春·江苏苏州·八年级苏州高新区第二中学校考阶段练习）如图，已知，，与交于O，．求证：(1)；(2)点O在线段的垂直平分线上．【知识拓展4】复杂的尺规作图例4．（北京市门头沟区2022—2023学年八年级上学期期末调研数学试卷）我们规定：在同一平面内的点A以直线为对称轴进行翻折后得到点，称作点A的“一次对称点”，将一次对称点再以直线为对称轴进行翻折后得到点，称作点A的“二次对称点”．(1)如图1，依题意画出点A的“二次对称点”，并说出以为顶点的三角形的形状；(2)如图2，已知直线与直线的夹角是，点A在直线上，依题意画出点A的“二次对称点”，并说出以为顶点的三角形的形状；(3)如图3，如果“二次对称点”落在上，且点A在直线上，请依题意画出直线，保留作图痕迹．【即学即练4】4．（北京市燕山区2022-2023学年八年级上学期期末质量监测数学试卷）下面是小青设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线，使得．作法：如图，①在直线l上取点A，连接；②作线段的垂直平分线，分别交直线l，直线于点B，O；③以点O为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点Q；④作直线．所以直线就是所求作的直线．根据小青设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明．证明：连接，∵线段的垂直平分线交于点O，∴，（_____________________）（填推理的依据）又∵，______，∴，（_____________________）（填推理的依据）∴，∴．【知识拓展5】线段垂直平分线的综合运用例5．（2022春·陕西汉中·八年级统考期末）如图，在中，与相交于点F，连结并延长交于点G，的平分线交的延长线于点H，连接．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【即学即练5】5．（2022春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）如图，是等腰的角平分线，，，过点A作的垂线，过点C作的平行线，两线交于点G．与交于E，与交于F，连接，点N是线段上的动点，点M是线段上的动点，连接，，下列四个结论：①；②；③；④；⑤其中正确的是________（填写番号）知识点02三角形的垂直平分线【知识点】1.三角形三边的垂直平分线的性质定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外.2.已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形.【知识拓展1】三角形的垂直平分线的实际应用例1．（2022春·黑龙江佳木斯·八年级期末）如图，是三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个中转站，要求它到三条公路交叉点的距离都相等，则可供选择的地址有（

）．A．一处 B．两处 C．三处 D．四处【即学即练1】1．（2022春·厦门·八年级校考期中）如图，、、表示三个居民小区，为了居民生活的方便，现准备建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，那么生活超市应建在（）A．，两边中线的交点处B．，两边高线的交点处C．与这两个角的角平分线的交点处D．，两边的垂直平分线的交点处【知识拓展2】三角形的垂直平分线的相关计算与证明例2．（2022春·全国·八年级期末）如图，的垂直平分线相交于点，若等于，则___________．【即学即练2】2．（2022春·陕西商洛·八年级校考期中）如图，在中，，的垂直平分线，相交于点O，求证：点O在的垂直平分线上．【知识拓展3】例3．（2022春·吉林长春·八年级长春市第八十七中学期末）如图，正方形纸片：①先对折使与重合，得到折痕；②折叠纸片，使得点A落在的点H上，沿和剪下．则判定为等边三角形的依据是（

）A．三边都相等的三角形是等边三角形 B．三个角都相等的三角形是等边三角形C．有两个角是60°的三角形是等边三角形 D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形【即学即练3】3．（2022春·天津·八年级天津市第五十五中学期末）有一张长方形纸片，按下面步骤进行折叠：第一步：如图①，点E在边上，沿折叠，点B落在点处；第二步：如图②，沿折叠，使点A落在延长线上的点处，折痕为．有下列结论：（）①是等边三角形

②

③垂直平分A．只有②正确 B．只有①②正确C．只有①③正确 D．①②③都正确题组A基础过关练1．（2022春·河北秦皇岛·八年级期末）三角形内到三个顶点的距离相等的点是（）A．三条中线的交点 B．三条高的交点C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点2.（2022春·吉林长春·九年级吉林省第二实验学校期末）如图，在中，，分别以A、C为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接，与、分别相交于点D、E，连接，当，时，周长为（

）A．6 B．7 C．8 D．93．（2022春·江苏南京·八年级校考阶段练习）甲、乙、丙三家分别位于的三个顶点处，现要建造一个核酸检测点，使得三家到核酸检测点的距离相等，则核酸检测点应建造在（）A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条高的交点 D．三条中线的交点4．（2022春·辽宁抚顺·八年级阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E，已知与的周长分别为19和11，则的长等于______．5．（2022春·上海徐汇·八年级上海市南洋模范中学校考期中）满足底边为已知线段的等腰三角形的顶点在______上．6．（2022春·辽宁大连·八年级期末）如图，中，，，．(1)作边的垂直平分线，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）(2)连接，求的度数；(3)的周长为______．7．（2022春·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，是其中一个小长方形对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺；②保留必要的画图痕迹．(1)在图（1）中画一个角，使点或点是这个角的顶点，且为这个角的一边；(2)在图（2）中画出线段的垂直平分线，并简要说明画图的方法（不要求证明）．8．（2022春·广东汕头·八年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如图，在中，，D为BC的中点，，垂足为点E，，交CE的延长线于点F．(1)求证：；(2)求证：AB垂直平分DF．9．（2022·江苏连云港·八年级校考阶段练习）如图，、两个村庄的坐标分别为、，一辆汽车从原点出发，在轴上行驶．(1)汽车行驶到什么位置时离村庄最近？写出此位置的坐标．(2)请在图中画出汽车到两村庄的距离相等的位置，并求出此时的距离和．10．（2022春·八年级课时练习）已知：如图，直线和直线分别是线段和线段的垂直平分线，为交点．求证：点到点，，的距离相等．11.（2022春·全国·八年级期中）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．(1)在图中作出关于直线l对称的；（要求：A与，B与，C与相对应）(2)的面积是．(3)若有一格点P到点A、B的距离相等（），则网格中满足条件的点P共有个；(4)在直线l上找一点Q，使的值最小．（要求：图中标注点Q，要有作图痕迹）题组B能力提升练1．（2022春·黑龙江佳木斯·八年级期末）如图，D是内部的一点，，．下列结论：①；②；③；④平分．其中结论正确的序号是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④2．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在中，，，平分交于E，于D．下列结论：①；②点E在线段的垂互平分线上；③；④．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2022春·辽宁盘锦·八年级校考阶段练习）如图，三角形中，的平分线交BC于点D，过点D作，，垂足分别为E，F，下面四个结论：①；②一定平行；③垂直平分；④；其中正确的是（

）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④4．（2022春·辽宁大连·八年级期末）如图，中，，的垂直平分线，相交于点，若等于，则______．（用含的式子表示）5．（2022春·江苏徐州·八年级统考期中）如图，中，，，平分，下列结论：点在的垂直平分线上；；；图中的三个三角形都是等腰三角形．其中正确结论的序号是______．6．（2022春·八年级单元测试）如图所示，点为内一点，分别作出点关于、的对称点，，连接交于，交于，，则的周长为_______．7．（北京市门头沟区2022—2023学年八年级上学期期末调研数学试卷）已知，如图，在中，是的平分线，且，过点C作的垂线，交的延长线于点H．以直线为对称轴作点A的对称点P，连接．(1)依题意补全图形；(2)直接写出与的位置关系；(3)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．8．（2022春·广东东莞·八年级期中）如图，已知点A在y轴正半轴上，以为边作等边，点P在x轴正半轴上，以为边在第一象限内作等边，连并延长交x轴于点C．(1)证明：(2)求的度数(3)连接，求证：垂直平分9．（2022春·江苏南通·八年级期中）【了解概念】如图1，已知A，B为直线MN同侧的两点，点P为直线的一点，连接，，若，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．(1)【理解运用】如图2，在中，D为上一点，点D，E关于直线对称，连接并延长至点F，判断点B是否为点D，F关于直线的“等角点”，并说明理由；(2)【拓展提升】如图2，在（1）的条件下，若，，点Q是射线上一点，且点D，Q关于直线的“等角点”为点C，请利用尺规在图2中确定点Q的位置，并求出的度数；(3)【拓展提升】如图3，在中，，的平分线交于点O，点O到AC的距离为1，直线l垂直平分边，点P为点O，B关于直线l“等角点”，连接，，当时，的值为．10．（2022春·全国·八年级期末）对于平面直角坐标系中的线段及点Q，给出如下定义：若点Q满足，则称点Q为线段的“中垂点”；当时，称点Q为线段的“完美中垂点”．(1)如图1，，下列各点中，线段的中垂点是__________(2)如图2，点A为x轴上一点，若为线段OA的“完美中垂点”，则线段OQ的两个“完美中垂点”的坐标是______和________，两者的距离是________(3)如图3，若点A为x轴正半轴上一点，点Q为线段的“完美中垂点”，点在y轴上，在线段上方画出线段的“完美中垂点”M，直接写出________（用含m的式子表示）．并求出．题组C培优拔尖练1．（2022春·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“等形”，连接等形的对角线、，下列结论：①；②垂直平分；③四边形的面积；④若，，点，分别是，边上的动点，且，则，其中正确的结论是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④2．（2022春·广东广州·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，点C在AB的垂直平分线上，且，则点C的坐标为______．3．（2022秋·陕西榆林·七年级统考期中）如图，已知是等边三角形，D是边上的一个动点（异于点B、C），过点D作，垂足为E，的垂直平分线分别交于点F、G，连接．当点D在边上移动时，有下列三个结论：①一定为等腰三角形；②一定为等边三角形；③可能为等腰三角形．其中正确的有__________．（填所有正确结论的序号）4．（2022春·四川广安·八年级校考期末）如图，在中．，平分交于E，于D．下列结论：①；②点E在线段的垂直平分线上：③；④；⑤，其中正确的有___________（填结论正确的序号）．5．（2022春·江苏南京·八年级期中）在中，，D为内一点，连接，，延长到点E，使，(1)如图1，延长到点F，使得