用二分法求方程的近似解 省赛获奖

3.1.2用二分法求方程的近似解

在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？

如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆，10km长，大约有200多根电线杆呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？BACDE

假设在区间[-1,5]上，f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(-1)>0,f(5)<0，即f(-1)f(5)<0，我们怎样依如上方法求得方程f(x)=0的一个解?-1f(x)yxO12345

像上面这种求方程近似解的方法称为二分法.二分法的定义：定义：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）.【思考】(1)所有的函数都有零点吗？(2)若函数有零点，是否都可用二分法求出？xyoxyoxyo端点(中点)端点或中点的函数值的符号取值区间f(1)<0,f(2)>0(1,2)f(1.5)<0(1.5，2)f(1.75)>0(1.5,1.75)例1.求函数f(x)=x3+2x2-3x-6的正数零点(精确度为0.1).由于|1.75-1.6875|=0.0625<0.1.∴函数的正零点的近似值为1.6875.端点(中点)端点或中点的函数值的符号取值区间f(1.625)<0(1.625,1.75)f(1.6875)<0(1.6875,1.75)给定精确度,用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：1.确定区间，验证，给定精确度；2.求区间（a,b）的中点c；3.计算（1）若，则c就是函数的零点；（2）若,则令b=c(此时零点x0∈(a,c))；（3）若,则令a=c（此时零点x0∈(c,b)).即若，则得到零点近似值a(或b）；4.判断是否达到精确度：否则重复步骤2～4．例2.求函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）内的零点（精确度为0.01）.解：画出y=lnx及y=6-2x的图象，观察图象得，方程lnx=6-2x有唯一解，记为x1，且这个解在区间（2，3）内y=－2x+6y=lnx6Ox1234y根所在区间区间端点函数值符号中点值中点函数值符号（2，3）f(2)<0,f(3)>02.5f(2.5)<0（2.5，3）f(2.5)<0，f(3)>02.75f(2.75)>0（2.5，2.75）f(2.5)<0，f(2.75)>02.625f(2.625)>0（2.5，2.625）f(2.5)<0,f(2.625)>02.5625f(2.5625)>0（2.53125，2.5625）f(2.5)<0f(2.5625)>0（2.5，2.5625）f(2.53125)<0f(2.5625)>0f(2.53125)<02.53906252.546875（2.53125，2.546875）2.53125f(2.5390625)>0f(2.53125)<0f(2.546875)>0（2.53125，2.5390625）f(2.546875)>0f(2.53125)<0,f(2.5390625)>0列出下表：由于所以，可以将作为函数零点的近似值，也即方程的近似根.巩固提高0xy0xy0xy0xyADcBC2.下列函数不能用二分法求零点的是()(A)f(x)=3x-2(B)f(x)=log2x+2x-9(C)f(x)=(2x-3)2(D)f(x)=3x-3C3.对于函数f(x)在定义域内连续，用二分法求解过程如下，且f(2007)<0,f(2008)<0,f(2009)>0,则下列叙述正确的是（）A函数f(x)在（2007,2008）内不存在零点B函数f(x)在（2008,2009）内不存在零点C函数f(x)在（2008,2009）内存在零点，并且仅有一个D函数f(x)在（2007,2008）内可能存在零点D4．用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时，第一次经计算f(0)<0,f(0.5)>0，可得其中一个零点,

，第二次应计算______。以上横线上应填的内容为（）

，5．求函数在区间（1，2）内的一个正数零点（精确度0.01），用二分法逐次计算的次数至少为（）A.4次 B.5次C.6次D.8次ＡDA.(0,0.5)f(0.25) B．(0,1)f(0.25)C.(0.5,1)f(0.75)

D．(0,0.5)f(0.125)

6.利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：x1.01.41.82.22.63.0…y=2x2.02.6393.4284.5956.0638.0…y=x21.01.963.244.846.769.0…那么方程2x=x2的一个根所在区间为()(A)(0.6,1.0)(B)(1.4,1.8)(C)(1.8,2.2)(D)(2.6,3.0)C7.用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，f(0.74)>0,则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为()(A)0.64(B)0.74(C)0.7(D)0.6C8、某同学在借助计算器求“方程lgx=