2022年江西省九大名校高考数学联考试卷（理科）（3月份）（学生版+解析版）

2022年江西省九大名校高考数学联考试卷（理科）（3月份）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.（5分）若复数z满足z（1+i）=1-23贝"z|=（）

A..52^2.B.372C.D.VlO

22

2.（5分）抛物线y=o?的焦点到准线的距离为2,则非零实数〃的值为（）

A.AB.4C.±4D.4-A

4一4

3.（5分）已知集合人={-J^N|xCN}，B={X|?-7X+10W0},则ACB=（）

x+1

A.{x[2<x<5}B.{x[2<xW5}C.{2,5}D.{2,3}

4.（5分）某班有100名学生，男女人数不相等.随机询问了该班5名男生和5名女生的某

次数学测试成绩，用茎叶图记录如图所示（）

男生成绩女牛.成绩

4209333

86888

A.该班男生成绩的平均数等于女生成绩的平均数

B.这5名男生成绩的中位数大于这5名女生成绩的中位数

C.这5名男生成绩的标准差大于这5名女生成绩的标准差

D.这种抽样方法是分层抽样

3x+y-6》0

5.（5分）设实数x,y满足<x-y+l>0，则z=|2x+y|的最小值为（）

x-2y-2<0

A.4B.0C.丝D.2

4

6.（5分）在正项等比数列{“”}中，01=1,前三项的和为7,若存在加*使得百/=4aJ

则上建的最小值为（）

mn

A.2B.3C.D.11

3234

7.（5分）已知/,机是两条不同的直线，a,0为两个不同的平面，/〃相，则是“a

邛”的（）

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

8.（5分）已知等差数列仅〃｝,S,是数列｛“八｝的前〃项和，对任意的"€N*,均有S6WS”成

立，则1LL的最小值为（）

a8

A.3B.2C.2D.4

22

9.（5分）已知f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，且当0<xW2时，

x,O《x《l

（

Mx）1<X<2）

A.f（2022）=-1

B.V.tGR均有：f（x）=/（-2-x）

C.函数y=f（x）的最大值为反

2

D.函数y=/（x）的图象关于点（8,0）对称

10.（5分）为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测.现有两种检测方式：（1）

逐份检测；（2）,若检测结果为阴性，则这月份核酸全为阴性，如果检测结果为阳性，为

了明确这&份核酸样本究竟哪几份为阳性，此时，这k份核酸的检测次数总共为4+1次.假

设在接受检测的核酸样本中，并且每份样本是阳性的概率都为p（0<pVl）,若％=10（参

考数据：/g0.794P-0.1）（）

A.0.1B.0.3C.0.4D.0.5

11.（5分）己知双曲线C：。与=l（a>0,b>0），其左、右焦点分别为

O）,2（V7,o），点p是双曲线右支上的一点i五2的内心（内切圆的圆

心），而二xPF；+yPF,若/尸1尸尸2=60°,y=3x,则△尸尸1尸2的内切圆的半径为（）

A.型1_2B.应叵C.丝巨D.2。

3333

12.（5分）已知实数m〃满足a=log23+k）g86,5"+12。=13”，则下列判断正确的是（）

A.a>2>bB.b>2>aC.b>a>2D.a>b>2

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）若（xT）n的展开式中二项式系数的和为512,则展开式中x项的系数

X

为

14.(5分)已知非零向量a，b满足la1=2，1=(1,2)，向量ba方向上的投影为2,则

I2a_bI-•

15.(5分)已知函数f(x);(e为自然对数的底数)，过点(0,作曲线/(x),则

ex

实数h=.

16.(5分)已知三棱锥尸-A8C三条侧棱BA,PB,PC两两互相垂直，M,N分别为该三

棱锥的内切球和外接球上的动点，则M.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题，

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答.

17.(12分)在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,cV3bsinA=acosB+a.

(1)求角B的值；

(2)若c=8,△ABC的面积为2函，求边上中线AO的长.

18.(12分)如图，在四棱锥P-ABCQ中，底面四边形A8CQ为菱形，。为边AB的中点.

(I)求证：AE〃平面POC；

(2)若侧面勿BJ_底面ABCD,且NABC=NPAB吟，AB=2%=4,求PD与平面POC

所成角的正弦值.

19.(12分)2022年2月4日至2月20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口隆

重举行.北京市各校大学生争相出征服务冬奥会，经统计某校在校大学生有9000人，按

性别用分层抽样的方法从该校大学生中抽取9名参加冬奥会比赛场馆服务培训I,培训分4

天完成，累计获2次或2次以上者可获2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”或“雪容融”一个.

(1)若从这抽取的9名大学生中随机选出3人服务“国家体育馆”，求选出的3人中至

少有一位是女生的概率.

(2)设参加服务培训的大学生甲每天获“优秀学员”奖励的概率均为2,记同学甲获得

3

“优秀学员”的次数为X,试求X的分布列及其数学期望E(X),试预测该同学甲能否

获得冬奥会吉祥物？

20.(12分)如图，椭圆M：=l(a>b>0)的两顶点AC-2,0),5(2,0)

过)，轴上的点尸(0,f)(M<4,fWO)的直线/与椭圆交于C,并与x轴交于点尸，直线

4C与直线80交于点Q.

(1)当t=2料且C£>=4时，求直线/的方程；

(2)当点P异于A,B两点时，设点P与点。横坐标分别为xp,XQ,是否存在常数入

使XPXQ=A成立，若存在，求出入的值，请说明理由.

21.(12分)设函数/(x)—x!n-mlnx+lr^x(znGR).

(1)当机=-1时，讨论f(x)的单调性；

(2)若对于任意尤1,X2&［~,e］,都有|f(x,)-f(x)Ke2-2

e1/9

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第

一题记分.［选修4-4：坐标系与参数方程|

22.(10分)在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(支为参数)，以原

Iy=V2sinCl

点。为极点，直线/的极坐标方程为Pcos(e-ky)叠.

(1)求曲线c的普通方程与直线/的直角坐标方程；

(2)设直线/与曲线C交于A,8两点，点尸的坐标为(1,0),求

|PA||PBI

［选修4-5：不等式选讲］

23.已知函数f(x)=|x+2|+|x-a|.

(1)当。=1时，解不等式/(x)<5；

(2)若对VxCR,/(%)23-4恒成立，求实数〃的取值范围.

2022年江西省九大名校高考数学联考试卷（理科）（3月份）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.（5分）若复数z满足z（1+/）=1-2i,贝悯=（）

A.B.3V2C.D.A/10

22

【解答】解：(1+z)=1-3i,

：.z(l+i)(1-i)=(8-2z)(1-z),

2.（5分）抛物线y=ax2的焦点到准线的距离为2,则非零实数a的值为（）

A.AB.4C.±4D.+2

4一4

【解答】解：抛物线a/=y即

a

抛物线的焦点到准线的距离为2,

可得「17=2旦.

2laI4

故选：D.

3.（5分）已知集合A={_&T£N|XEN}，B={x\x2-7x+10^0},则ACB=()

x+1

A.{x[2^x<5}B.{R24W5}C.{2,5}D.{2,3}

【解答】解：集合A={—|x€N}={2，2,3,

x+1

B={x*-7x+10<0}={x|64W5},

则An8={2,3}.

故选：D.

4.（5分）某班有100名学生，男女人数不相等.随机询问了该班5名男生和5名女生的某

次数学测试成绩，用茎叶图记录如图所示（)

男生成绩女生成绩

4209-333

86888

A.该班男生成绩的平均数等于女生成绩的平均数

B.这5名男生成绩的中位数大于这5名女生成绩的中位数

C.这5名男生成绩的标准差大于这5名女生成绩的标准差

D.这种抽样方法是分层抽样

【解答】解：对于A,这5名男生成绩的平均数为丁=工，

15

5名女生成绩的平均数为丁=」X(88+88+93+93+93)=91,；

x55x7x2

对于8,这5位男生成绩的中位数是90,所以选项B错误；

对于C,这7名男生的方差为u2=工?+(88-90)8+(90-90)2+(92-90)2+(94

$15

-90)，=8,si=V^，

5名女生的方差为u6=」义[(88-91)6+(88-91)2+(93-91)2+(93-91)6+(93

S25

-91)2]=6,S7=企，

所以SI>S5,选项C正确;

对于。，若抽样方法是分层抽样，所以分别抽取的人数不等.

故选：C.

3x+y-6》0

5.（5分）设实数x,y满足<x-y+l>0，则z=|2x+），|的最小值为（）

x-2y-240

A.4B.0C.aD.2

4

【解答】解：由约束条件作出可行域如图,

令，=2x+y,化为y=-2x+r,当直线y=-7x+r过A（2,

直线在y轴上的截距最小，r有最小值为4.

...z=|8x+y|的最小值为4.

故选：A.

6.（5分）在正项等比数列｛a”｝中，0=1,前三项的和为7,若存在信使得百豆=4a『

则工/的最小值为（）

mn

A.2B.3C.旦D.11

3234

【解答】解：设正项等比数列｛©｝的公比为q（q>0）,

由题意，53=。3+。2+。3=7,又41=1,

所以/+4-6=0,解得4=7或4=-3（舍去），

由粒a=4〃2,得5/2^7X4"一1=4'〃+〃7=]6,所以机+〃=6,

又加、"6N*,所以工+&=1（/n+n）（5+匹）

mn6mn

=1（5+Z+^lix（5+2、但.如旦,

7mn6Vmn8

当且仅当2=生，即加=2,

mn

所以3+名的最小值为旦.

mn3

故选：B.

7.（5分）已知/,，"是两条不同的直线，a,0为两个不同的平面，l//m,则“机，a”是“a

±P"的（）

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

【解答】解：由/〃仇/〃机知机〃0或，”u0,所以aJ_B；

当a_L0时，直线，"不一定a垂直.

故选：A.

8.（5分）已知等差数列｛“n｝,S”是数列｛珈｝的前"项和，对任意的“6N*,均有S6WS成

立，则1LL的最小值为（）

a8

A.3B.2C."D.4

22

【解答】解：•••对任意的〃6N*,均有S6WS成立，

:・ai<7,J>0,a6=a2+5dW0,

・"6<-5d,

...aiia6+10d=2q3d3d=5

a8a]+7da।+8d-5d+6d2

.•.±LL的最小值为区.

a82

故选：C.

9.(5分)已知f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，且当0<xW2时,

x,Odx《l

f(x)=\,冗x)

l<x<2

sinT

A.f(2022)=-1

B.VxeR均有：f(x)=f(-2-x)

C.函数(x)的最大值为3

2

D.函数y=/(x)的图象关于点(8,0)对称

【解答】解：选项A：f(x)是定义在R上周期为4的函数，则/(2022)="2)=0；

选项&取x等则，(之)3，，I蒋)=f(得)=f(看)=^"，

则呜)卉M-2击，故8错误;

选项C：当0WxW6时，0W/(x)Wl,8W/(x)<1,

则f(x)在［0,8］上的值域为［0,

由/(x)是奇函数，可知/(x)在［-2,4］,

由f(x)是定义在R上周期为4的函数，可知/(x)的值域为［-1

则/(x)»uix=5t故C错误;

选项D：f(x)=/(x+16)=-f(-x),则/(-x)+/(x+16)=0,

.V(x)的图像关于(8,4)成中心对称.

故选：D.

10.(5分)为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测.现有两种检测方式：(1)

逐份检测；(2),若检测结果为阴性，则这&份核酸全为阴性，如果检测结果为阳性，为

了明确这么份核酸样本究竟哪几份为阳性，此时，这k份核酸的检测次数总共为k+1次.假

设在接受检测的核酸样本中，并且每份样本是阳性的概率都为p(O<pVl),若k=10(参

考数据：四0.794Q-0.1)()

A.0.1B.0.3C.0.4D.0.5

【解答】解：设混合检测方式，样本需要检测的总次数丫可能取值为1,

p(r=1)=(7-/?)"),

p(y=11)=i-(i-p)叱

E(D=7X(1-p)IO+11X[1-(4-p)10]=ll-10X(1-p)1°,

设逐份检测，样本需要检测的总次数X,

若混合检测方式优于逐份检测方式,需E(y)<E(X)10<10,即l-p>100,

Vfe0.794«=-8.1,

.•.1-0>10妒,794=0794,

.\0<p<6,206.

故选：A.

11.(5分)已知双曲线c：Ai_xi=1(a>0,b>o)，其左、右焦点分别为

F](一正，0),F2(77,0)，点0是双曲线右支上的一点声2的内心(内切圆的圆

心)，而二xPF；+yPF；若/尸1尸尸2=60°,y=3x,则△PFm2的内切圆的半径为()

A.近2B.--屈c.4WID.2正

3333

【解答】解：由市=XPF*+yPF；，结合点/是/为丛PF3F2的内心(内切圆的圆心)，

可知UxpF；PFj

1O

又有y=3x，.,•IPFJPF'I-又IPF；PF；I=7"呵l=3a,I所，

再根据NF1PF2=6O°,由余弦定理可得(377)2=(5a)2+/-7・34・acos60°,

解得4=2,则S=>^IPF；PFJsin/F1PF2="|_(|pppp^|+|FiF2I)r内

即工X6X8XYI_=3J7)r内，解得「内=竺巨二返1.

3223

故选：B.

12.（5分）已知实数m匕满足a=log23+log86,5。+12。=13"则下列判断正确的是（）

A.a>2>bB.b>2>aC.b>a>2D.a>b>2

【解答】解：a=Iog23+log46=log22+-------=log28+，（4+log23）=-----------=

logg833

4

log23+llog232+l

36

由5"+12a=13%a>2,

.\5a+12a>52+122=132,：.h>3.

令x-2=f>0,f（x）=7'+12'-13。x>2等价于g（t）=25X5'+144X12,-169X13',

t>2,

'：g（f）=25X5'+144X12'-169X13'<169X12'-169X12'=0,t>5,

...当x>2时、f（x）<（f+l2a=l3b<13a,：.a>b.

•\a>b>3,

故选：D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）若（x—g）n的展开式中二项式系数的和为512,则展开式中x项的系数为36

X

【解答】解：由（x-S）n的展开式中二项式系数的和为512,

X

则6〃=512,

解得：〃=9,

则（x-2_）9的展开式的通项公式为（-1）『以/⑷，

xx

令9-6r=1,

解得：r=2,

则展开式中x项的系数为（-4）2绪=36,

故答案为：36.

14.（5分）已知非零向量之，E满足|Z|=2，（1,2），向量方向上的投影为2，则

I2a-b|=_V5_.

【解答】解：设非零向量Z，E的夹角为。，

•••^=(1,2)，向量荔方向上的投影为8,

***lbl=V5»lb，

I2a-b1=，—2—♦—♦—♦7

6a-4a，b+b

=V4lal^-Slal*|b|wcos0+|b|2

=V5；

故答案为：V7.

15.(5分)已知函数f(x)*(e为自然对数的底数)，过点(0,b)作曲线/(x),则

ex

实数b=土.

—2~

e

【解答】解：设切点为(〃力旦)，函数f(x)二xbx

m''X，xx

eee

可得切线的斜率为上更，

m

e

则切线的方程为旦=生更(X-m),

mm

ee

m(1-m)=m7

由切线过(0,h)旦

mmm

eee

2

设g(x),g

XX

ee

当0VxV2时,g'(x)>3；当xVO或x>2时，g(x)递减,

所以g(x)在x=7处极小值，且为0,且为吃，

e

当工一+8时，g(x)-*0,

2

可得时A，方程

5m

即过点(0,b)作曲线/(x)的切线有且只有两条,

故答案沏4-

16.（5分）已知三棱锥P-A8C三条侧棱以，PB,PC两两互相垂直，M,N分别为该三

棱锥的内切球和外接球上的动点，则例苴旦_4-.

【解答】解：由已知可将该三棱锥补成正方体，如图所示］,外接球球心为02,

内切球与平面ABC的切点为G,

易知。8,02,G三点均在PD\上，且PD8_L平面ABC,

设内切球的半径为r,外接球的半径为/?Ax732+45+42=-

由等体积法可得』（SAACP+S^ABP+S&ACP+S^ABC）r—^S^ABP,PC,

43

得r=4-2巨

4

由等体积法可得入PG=3-S^ABP'PC,

33

得PG=全应，

3__

M,N两点间的距离的最小值为PG-2厂=生③?近）=2巨.

333

故答案为：当巨-5.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答.

17.（12分）在aABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c百bsinA=acosB+a.

（1）求角B的值：

（2）若c=8,△ABC的面积为20\行，求BC边上中线A。的长.

【解答】解（1）由正弦定理得V^sinBsinA=sinAcosB+sinAAe（0,

.1.V3sinB=cosB+l>则sin（B不）哈

62

jr

VBG（0,TC）,・・・R=--,

4

⑵•'S^"acsinB=2oV5,c=8,

由余弦定理人口2入7+令）2总a。

得AD2=49,

：.AD=5.

18.（12分）如图，在四棱锥尸-ABC。中，底面四边形48C。为菱形，。为边AB的中点.

（1）求证：AE〃平面POC；

（2）若侧面出3,底面ABCD,且NABC=NPAB吟，48=2朋=4,求PD与平面POC

所成角的正弦值.

【解答】（1）证明：取线段PC的中点F,连。凡

在△A?£）中，E,尸分别为PC,...《/〃。。且岳卜,,。

又•.•底面ABCO是菱形，且O为AB的中点AO^CD，

.'.AO//EFS.AO^EF,：.四边形AOFE为平行四边形，

又「OFU平面尸。C,AEU平面尸OC,

.♦.AE〃平面尸。C.........................（6分）

p

E

(2)在平面P84内过点O作Oz_LA8,由已知可证得OCLAB且OzJ_平面48cO,

故分别以08、OC,y,z轴建立空间坐标系。-xyz,

则P(-2,0,V3),C(3,2百，5),D(4,2«,0),

设平面POC的一个法向量1=(x,y,可得,上二^^产。„=(3,0,«)，

n•PC=x+2y-V3z=0

PD=(-5,2V3,

设直线PO与平面POC所成的角为0,则sin8=Icos<n,PD>I==企,

Icos、n，阮写2

所以直线产。与平面POC所成角的正弦值为退■.............(12分)

2

19.(12分)2022年2月4日至2月20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口隆

重举行.北京市各校大学生争相出征服务冬奥会，经统计某校在校大学生有9000人，按

性别用分层抽样的方法从该校大学生中抽取9名参加冬奥会比赛场馆服务培训I,培训分4

天完成，累计获2次或2次以上者可获2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”或“雪容融”一个.

(1)若从这抽取的9名大学生中随机选出3人服务“国家体育馆”，求选出的3人中至

少有一位是女生的概率.

(2)设参加服务培训的大学生甲每天获“优秀学员”奖励的概率均为2,记同学甲获得

3

“优秀学员”的次数为X,试求X的分布列及其数学期望E(X),试预测该同学甲能否

获得冬奥会吉祥物？

【解答】解：(1)由题可知，抽取的9名大学生中，3名女生，

c6

则选出的8名学生中至少有一名女生的概率P=1--=¥•.

21

(2)由题可知X所有可能取值为6,1,2,7,4,

P(X=0)=C；(f)44，P(X=4)=c；1电3哈，

P(X=8)=C4(y)2(1-)2m,P(X=6)=C：C!)3*=1|

P(X=4)=C^(f)4=||-

所以x的分布列：

X04233

P18243216

比皿■§1

所以E（X）=〃p=3xZq_>2.

33

20.（12分）如图，椭圆M：与+^■=l（a>b>0）的两顶点A（-2,0）,8（2,0）e岑•，

过y轴上的点尸（0,f）（|/|<4,r^O）的直线/与椭圆交于C,并与尤轴交于点P,直线

AC与直线交于点Q.

（1）当七=蓊且C£）=4时，求直线/的方程；

（2）当点P异于A,8两点时，设点P与点。横坐标分别为XP,XQ,是否存在常数入

使切网=入成立，若存在，求出入的值，请说明理由.

22

【解答】解：（1）•.•椭圆的方程2片=i（a>b>2），由题可得匕=2;

由qX?,结合得。=4,

6a5

28

椭圆的标准方程：，上=1；...........（7分）

164

当直线/的斜率不存在时，CD=8,

故设直线/的方程为了=1^+2遥，代入椭圆方程yW=16,

整理得（k2+4）x5+4V3kx-3=0'设C（xi,泗），D（必”），x己+x2二一4^^卜

3'k2+4

-4

解得k二士我.

直线/的方程为&x-y+2也=0或&x^-8%=0.............（2分）

（2）当直线/的斜率不存在时，直线/与y轴重合，

由椭圆的对称性可知直线AC与直线BD平行，不符合题意；

，由题意可设直线的方程：（机#0,〃#0）代入椭圆方程,

得（2+4加2）/4+8”〃），+4/-16=0；设。（xby5）,D（必”）,

-8mn4n3-16-2-n2

①

丫5+丫2二°6+了2)'

直线AC的方程为yJ^（x+2），②

x2+2

则直线BD的方程为y^—

(x-7)③（9分）

x2-2

由②®得x-2'(X2-5)_yi(my2+n-6)二吧至巫宜，

x+6y2(xj+2)y2(myj+n+6)my1y7+y2(n+2)

由①代入，(2-n)[(n+4)y2+(2-n)y8]

x+2(2+n)[(n+2)y2+(2-n)yj](2+n)

解得hi即Xc2；且知XP=〃；xzxc=nX*=4(常数)

xnXQ门xpXQn入n,

即点P与点。横坐标之积为定值8.故存在常数入=4............(12分)

21.(12分)设函数/(x)=x!n-mlnx+ln^x(mWR).

(1)当初=-1时，讨论/(x)的单调性；

2

(2)若对于任意加，X26[A,e],都有|f(Xl)-f(x9)|e-2

[5

【解答】解：(1)当m=-1时，/(x)=x+lnx+lnxff，(x)=(一—-jA)+2lnx,

2

xxx

当在(0,4)时，一L总<o,f(x)<0；

「x

当xe(4,+8)时，一L送〉o,f(x)>0；

x2x

所以/(x)在(2,1)上单调递减，+8)上单调递增.

(2)因为『(x)=mxmT』+^^Jlx111-。

XXXX

①当〃2=7时，/(x)—1+/M2X,所以f，(x)=‘lnx_

X

当xe(0,1)时，所以f(x)在(5；

当x6(1,+8)时，所以/(x)在(1；

②当机>7时，/在(0,+8)单调递增，

当xe(0,3)时，如>o,/<1，21n^<；0，则/(x)<0,

XX

所以/(X)在(4,1)上单调递减；

当xe(1,+°°)时，典>2，vM>1>..〉W则/(X)>o,

XX

所以/(X)在(1,+8)上单调递增；

③当机<5时，V"在(0,+8)单调递减，

当在(0,3)时，典<0,0>1，图些<o，则/(x)<0,6)上单调递减；

XX

21nx

当xe(1,+8)时，典<0,一<2,>0,则/(尤)>5,+8)上单调递增，

XX

综上，/(X)在(0,在(1,

所以『(X)min=f(1)=4且f(x)在［工，1］上单调递减，e］上单调递增，