培优资料二次函数中的存在性问题(等腰三角形的存在性问题20121110)

培优资料——二次函数中的存在性问题(等腰三角形和直角三角形)班级______________姓名_______例1如图，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存在是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点坐标；不存在，请说明理由．AACByx011解：（1）抛物线的对称轴；

（2），，

把点A坐标代入中，解得

∴。（3）存在符合条件的点P共有3个，以下分三类情形探索

设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M

过点B作轴于Q，易得，，，

①以AB为腰且顶角为角A的有1个：

∴

在中，

∴。

②以AB为腰且顶角为角B的有1个：

在中，

∴。

③以AB为底，顶角为角P的有1个，即

画的垂直平分线交抛物线对称轴于，此时平分线必过等腰的顶点C

过点作垂直y轴，垂足为K，显然

∴

∵

∴

于是

∴。例2如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于Q．（1）求点B和点C的坐标；（2）设当点M运动了x（秒）时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．（3）在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）把x=0代入得点C的坐标为C（0，2），

把y=0代入得点B的坐标为B（3，0）；

（2）连结OP，设点P的坐标为P（x，y），

=+

=

=

=

∵点M运动到B点上停止，

∴

∴；

（3）存在，

BC=

①若BQ=DQ

∵BQ=DQ，BD=2

∴BM=1

∴OM=3-1=2，

∴

∴QM=，

所以Q的坐标为Q（2，），

②若BQ=BD=2

∵△BQM∽△BCO，

∴

∴

∴QM=，

∵，

∴，

∴BM=，

∴OM=，

所以Q的坐标为Q（，）。例3如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°。

∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°。

又∵OA=OB=4，

∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=。

∴点B的坐标为（﹣2，﹣）。

（2）∵抛物线过原点O和点A．B，

∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2，﹣）代入，

得，解得。

∴此抛物线的解析式为。

（3）存在。

如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，

设点P的坐标为（2，y）。

①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±，

当y=时，

在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=，

∴∠POD=60°

∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上。

∴y=不符合题意，舍去。

∴点P的坐标为（2，﹣）。

②若OB=PB，则42+|y+|2=42，解得y=﹣。

∴点P的坐标为（2，﹣）。

③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+|2，解得y=﹣。

∴点P的坐标为（2，﹣）。

综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣）。（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标。

（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式。

（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点。例4如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过三点．（1）求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标；（2）在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．AAOxyBFC图4解：（1）抛物线的解析式为，顶点

（2）存在

，

（3）存在

理由：延长到点，