新高考数学一轮复习讲练测专题7.2等差数列及其前n项和（讲）解析版

专题7.2等差数列及其前n项和新课程考试要求1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；2.了解等差数列与一次函数.3.掌握等差数列前n项和公式及其应用；4.会用数列的等差关系解决实际问题.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学建模等.考向预测1.利用方程思想进行基本量的计算.2.等差、等比数列的综合问题.3.复习中注意:(1)方程思想在数列计算中的应用;(2)等差数列的通项公式、前n项和公式的综合应用.【知识清单】知识点一．等差数列的有关概念1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.2.等差数列的通项公式：；说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列，为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中.，，成等差数列.4.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．5.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．知识点二．等差数列的前n项和等差数列的前和的求和公式：.知识点三．等差数列的相关性质1.等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列，如：，，，，……；，，，，……；（3）在等差数列中，对任意，，，；（4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等差中项.（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即SKIPIF1<0成等差数列.（6）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列．（7）若数列是等差数列,则仍为等差数列．2．设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①；②；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②.3.,则,.4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．5.若与为等差数列，且前项和分别为与，则.6．等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前n项和有最小值．时为递减数列，且当时前n项和有最大值．【考点分类剖析】考点一：等差数列的基本运算【典例1】（2020·全国高考真题（文））记SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前n项和．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等差数列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0等差数列的公差SKIPIF1<0根据等差数列通项公式：SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0整理可得：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0根据等差数列前SKIPIF1<0项和公式：SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例2】（2019·江苏高考真题）已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_____.【答案】16.【解析】由题意可得：，解得：，则.【典例3】（2021·上海民办南模中学高三三模）已知等差数列SKIPIF1<0的各项均为正整数，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是___________.【答案】5【解析】若等差数列SKIPIF1<0的各项均为正整数，则数列SKIPIF1<0单增，公差SKIPIF1<0，从而表示出SKIPIF1<0，根据其单减性，求得最小值.【详解】若等差数列SKIPIF1<0的各项均为正整数，则数列SKIPIF1<0单增，则公差SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为正整数，SKIPIF1<0关于d单减，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不符；故SKIPIF1<0的最小值为5，故答案为：5【规律方法】1．活用方程思想和化归思想在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．2.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为；四个数成等差数列，一般设为.这对已知和,求数列各项,运算很方便.3.等差数列的前n项和公式若已知首项和末项，则，或等差数列{an}的首项是，公差是，则其前项和公式为.【变式探究】1..数列an是等差数列，a1=1，aA．16B．-16C．32D．31【答案】D【解析】因为a4=8，所以又因为a1=1，所以可得a5=a1+4d=2.（2021·全国高二课时练习）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4+a7+a10=9，S14-S3=77，则使Sn取得最小值时n的值为____.【答案】5【解析】设等差数列{an}的公差为d，根据a4+a7+a10=9，S14-S3=77，求得SKIPIF1<0即可.【详解】设等差数列{an}的公差为d，因为a4+a7+a10=9，S14-S3=77，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，Sn取得最小值，故答案为：53.（2018·北京高考真题（理））设an是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则a【答案】a【解析】∵考点二：等差数列的判定与证明【典例4】（2021·全国高考真题（理））已知数列SKIPIF1<0的各项均为正数，记SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列SKIPIF1<0是等差数列：②数列SKIPIF1<0是等差数列；③SKIPIF1<0．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】答案见解析【解析】选①②作条件证明③时，可设出SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0的关系求出SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0是等差数列可证SKIPIF1<0；选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出SKIPIF1<0，结合等差数列定义可证；选②③作条件证明①时，设出SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0的关系求出SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0可求SKIPIF1<0，然后可证SKIPIF1<0是等差数列.【详解】选①②作条件证明③：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0也是等差数列，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.选①③作条件证明②：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等差数列，所以公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等差数列.选②③作条件证明①：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0满足等差数列的定义，此时SKIPIF1<0为等差数列；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不合题意，舍去.综上可知SKIPIF1<0为等差数列.【典例5】（2019·浙江高考模拟）设Sn为数列an的前n项和，且S2＝8，．（I）求a1，a2并证明数列{}为等差数列；（II）若不等式对任意正整数n恒成立，求实数的取值范围．【答案】（I），，见证明（II）【解析】（I），，得.，则，两式相减得，即①②②①得，即，故数列为等差数列.（II）由（I）可得，由得对任意正整数恒成立，，令，，，.【规律方法】1.等差数列的四种判断方法(1)定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；(2)等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列;(3)通项公式：(为常数,)⇔是等差数列;(4)前项和公式：(为常数,)⇔是等差数列;(5)是等差数列⇔是等差数列.2.提醒：（1）判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件.（2）若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用验证即可．（3）形如an＋1＝eq\f(kan,man＋k)的数列可转化为等差数列求解：可用列举观察法求解；也可用变形构造法（倒数差）求解（）见【变式探究】2）.【变式探究】1.（2020·全国高三其他（理））数列中，，，则（）A．2019 B．2020 C．4039 D．4040【答案】B【解析】分析：根据题中所给的条件，类比着写出，两式相减可得，从而可得数列隔项成等差数列，即其偶数项成等差数列，利用题中条件求得，利用通项公式求得，得到结果.详解：∵①，∴②，②①得，∴数列的偶数项是以为首项，2为公差的等差数列.∴.故选：B.2．（2021·河北衡水中学高三其他模拟）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数)，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________；设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前17项和为___________.【答案】SKIPIF1<017【解析】化简函数解析式得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0的等差数列，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，再首尾相加求和即可得解.【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0为等差数列，故SKIPIF1<0.由题意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，同理，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0.又易得SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的前17项和为SKIPIF1<0.故答案为：①SKIPIF1<0；②17考点三等差数列的性质及应用【典例6】（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（文））已知数列SKIPIF1<0是等差数列，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．5 B．4 C．9 D．7【答案】A【解析】本题可设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，然后根据SKIPIF1<0、SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0，最后通过SKIPIF1<0即可得出结果.【详解】设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故选：A.【典例7】（2021·北京高考真题）SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是两个等差数列，其中SKIPIF1<0为常值，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由已知条件求出SKIPIF1<0的值，利用等差中项的性质可求得SKIPIF1<0的值.【详解】由已知条件可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故选：B.【温馨提醒】等差数列的性质主要涉及“项的性质”和“和的性质”，因此，要注意结合等差数列的通项公式、前n项和公式求解．【变式探究】1．(2019·武汉调研)在等差数列{an}中，前n项和Sn满足S7－S2＝45，则a5＝()A．7 B．9C．14 D．18【答案】B【解析】解法一因为在等差数列{an}中，S7－S2＝45，所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝45，所以a5＝9，故选B.解法二设等差数列{an}的公差为d，因为在等差数列{an}中，S7－S2＝45，所以，整理得a1＋4d＝9，所以a5＝9，故选B.2.（2021·全国高二课时练习）设数列{an}是等差数列，且a2=-6，a8=6，Sn是数列{an}的前n项和，则（）A．S4<S5 B．S4=S5 C．S6<S5 D．S6=S5【答案】B【解析】(方法一)利用首项和公差求解；(方法二)利用等差数列的性质求解.【详解】(方法一)设该等差数列的首项为a1，公差为d，则有SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0从而有S4=-20，S5=-20，S6=-18.从而有S4=S5.(方法二)由等差数列的性质知a5+a5=a2+a8=-6+6=0，所以a5=0，从而有S4=S5.故选：B考点四等差数列的前n项和公式的综合应用 【典例8】【多选题】（2021·全国高三其他模拟）等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和中SKIPIF1<0最小C．SKIPIF1<0的最小值为-49D．SKIPIF1<0的最大值为0【答案】BC【解析】由已知条件先计算出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，然后计算SKIPIF1<0的值对A进行判断；求出SKIPIF1<0的表达式，计算出最小值即可对B进行判断；求出SKIPIF1<0的表达式，运用导数求出最小值判断C选项；求出SKIPIF1<0的表达式对D进行判断.【详解】设数列SKIPIF1<0的公差为d，则SKIPIF1<0

解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A错误；

SKIPIF1<0，当n=5时取得最小值，故B正确；

SKIPIF1<0，设函数SKIPIF1<0，

则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，

当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

所以最小值为-49，C正确；SKIPIF1<0，没有最大值，D错误．故选：BC【典例9】（2019·北京高考模拟（文））等差数列满足，则a5=______；若，则n=______时，{an}的前n项和取得最大值．【答案】46【解析】等差数列满足，所以，即，，所以，所以．令，解得，所以的前6项和取得最大值．故填：4，6．【典例10】（2021·全国高考真题）记SKIPIF1<0是公差不为0的等差数列SKIPIF1<0的前n项和，若SKIPIF1<0．（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0；（2）求使SKIPIF1<0成立的n的最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)7.【解析】(1)由题意首先求得SKIPIF1<0的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.【详解】(1)由等差数列的性质可得：SKIPIF1<0，则：SKIPIF1<0，设等差数列的公差为SKIPIF1<0，从而有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而：SKIPIF1<0，由于公差不为零，故：SKIPIF1<0，数列的通项公式为：SKIPIF1<0.(2)由数列的通项公式可得：SKIPIF1<0，则：SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为正整数，故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.【规律方法】1.要注意等差数列前n项和公式的灵活应用，如等．2．求等差数列前项和的最值，常用的方法：（1）利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当，时，有最大值；，时，有最小值；若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，(2)当，时，满足的项数使得取最小值.（2）利用等差数列的前n项和：(为常数,)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（,递增；，递减）；3.利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有.只需将等差数列的前n项和依次看成数列，利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.【变式探究】1.（2020·浙江湖州�高一期末）设公差为d的等差数列的前n项和为，若，，则________，取最小值时，________．【答案】34【解析】因为是等差数列，所以，解得，所以，因为的图象开口向上，对称轴为，由，所以当时，取最小值.故答案为:;.2.（2019·浙江高三期末）记等差数列的前n项和为，若，，则______；当取得最大值时，______．【答案】01009或1008【解析】，，，，，，，，，故当取得最大值时，或，故答案为：0，1009或1008．3.（2021·湖北省直辖县级行政单位·高三其他模拟）已知等差数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0最大.则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】首先根据题意求出SKIPIF1<0，再根据等差数列的前n项即可求解.【详解】解：由题意可知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍)，故SKIPIF1<0故答案为：20.考点五等差数列与传统文化【典例11】（2020·全国高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块【答案】C【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，，设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即即，解得，所以.故选：C【典例12】（2021·重庆高三三模）我国古代著名的数学专著《九章算术》有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，行程一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日减半里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，则二马（）日后相逢．A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【解析】根据题意通过已知条件转化为两个等差数列的前n项和为定值问题，进而计算可得结论．【详解】由