微专题5数学工具-平面向量在解题中的应用

观千剑而后识器,操千曲而后晓声泰戈尔曾说过:“只有经历过地狱般的磨练，才能炼出创造天堂的力量；只有流过血的手指才能弹奏出世间的绝唱。”微专题5数学工具——平面向量在解题中的应用对应学生用书第100页一、平面向量与平面几何的综合已知O是△ABC所在平面内的一点,若动点P满足OP=OA+λ(AB+AC),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的().A.内心B.外心C.重心D.垂心答案C解析由原等式,得OP-OA=λ(AB+AC),即AP=λ(AB+AC),根据平行四边形法则,知AB+AC是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量AD的2倍,所以点P的轨迹必过△ABC的重心.点拨1.设O为△ABC所在平面内一点,则(1)O为△ABC的外心⇔|OA|=|OB|=|OC|;(2)O为△ABC的重心⇔OA+OB+OC=0;(3)O为△ABC的垂心⇔OA·OB=OB·OC=OC·OA.2.用向量方法解决平面几何问题的步骤:平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题.【微点练1】(一题多解)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA·(PB+PC)的最小值是().A.-2 B.-32 C.-43 D.答案B解析(法一:解析法)①建立平面直角坐标系如图①所示,则A,B,C三点的坐标分别为A(0,3),B(-1,0),C(1,0).设P点的坐标为(x,y),则PA=(-x,3-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y),∴PA·(PB+PC)=(-x,3-y)·(-2x,-2y)=2(x2+y2-3y)=2x2+y-322-34≥2×-34=-32.当且仅当x=0,y=32时,PA·(法二:几何法)②如图②所示,PB+PC=2PD(D为BC的中点),则PA·(PB+PC)=2PA·PD.要使PA·PD最小,则PA与PD方向相反,即点P在线段AD上,则(2PA·PD)min=-2|PA||PD|,问题转化为求|PA||PD|的最大值.又|PA|+|PD|=|AD|=2×32=3∴|PA||PD|≤|PA|+|PD∴[PA·(PB+PC)]min=(2PA·PD)min=-2×34=-32.故选二、平面向量与解析几何的综合(一题多解)(2018年浙江卷)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π3,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是().A.3-1 B.3+1 C.2 D.2-3答案A解析(法一)设OA=a,OB=b,OE=e,以O为原点,OE的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系(图略),则E(1,0).不妨设A点在第一象限,∵a与e的夹角为π3∴点A在射线y=3x(x≥0)上.设B(x,y),由b2-4e·b+3=0,得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,即点B在圆(x-2)2+y2=1上运动.∵BA=a-b,∴|a-b|的最小值即点B到射线OA的距离的最小值,为圆心(2,0)到射线y=3x(x≥0)的距离减去圆的半径,∴|a-b|min=3-1,故选A.(法二)将b2-4e·b+3=0转化为b2-4e·b+3e2=0,即(b-e)·(b-3e)=0,∴(b-e)⊥(b-3e).设OE=e,OA=a,OB=b,ON=3e,OM=2e,则EB⊥NB,∴点B在以M为圆心,1为半径的圆上运动.∵|a-b|=|BA|,∴|a-b|的最小值即点B到射线OA的距离的最小值,为圆心M到射线OA的距离减去圆的半径.∵|OM|=2,∠AOM=π3,∴|a-b|min=2sinπ3-1=3-点拨向量在解析几何中的作用:(1)载体作用:向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用:利用a⊥b⇔a·b=0,a∥b⇔a=λb(b≠0),可解决垂直、平行问题,特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到.【微点练2】若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OP·答案6解析由题意,得F(-1,0),设P(x0,y0),则x024+y023=1,因为FP=(x0+1,y0),OP=(x0,y0),所以OP·FP=x0(x0+1)+y02=x02+x0+31-x024=x024+x0+3因为-2≤x0≤2,所以当x0=2时,OP·FP取得最大值,最大值为6.三、平面向量与三角函数的综合(2017年江苏卷)已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-3),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解析(1)因为a=(cosx,sinx),b=(3,-3),a∥b,所以-3cosx=3sinx.若cosx=0,则sinx=0,这与sin2x+cos2x=1矛盾,故cosx≠0.于是tanx=-33又x∈[0,π],所以x=5π(2)f(x)=a·b=(cosx,sinx)·(3,-3)=3cosx-3sinx=23cosx+因为x∈[0,π],所以x+π6∈π从而-1≤cosx+π6所以当x+π6=π6,即x=0时,f(x)取到最大值,最大值为当x+π6=π,即x=5π6时,f(x)取到最小值,最小值为-点拨破解平面向量与三角函数综合问题的常用方法是“化简转化法”,即先把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为对应坐标乘积之间的关系,再活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧化简.平面向量与三角函数综合问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”,转化为三角函数问题,再利用相关知识进行求解.【微点练3】在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A(1,0)和点B(-1,0),|OC|=1,且∠AOC=θ,其中O为坐标原点.(1)若θ=3π4,设点D为线段OA上的动点,求|OC+OD|(2)若θ∈0,π2,向量m=BC,n=(1-cosθ,sinθ-2cosθ),求m·n的最小值及对应的解析(1)设D(t,0)(0≤t≤1),由题意知C-22,22,所以OC所以|OC+OD|2=t-22所以当t=22时,|OC+OD|有最小值,最小值为2(2)由题意得C(cosθ,sin