线线,线面,二面角的大小求法教案

个性化辅导教案教师姓名高杰亮学生姓名上课时间学科数学年级高三教材版本北师大版阶段第（）阶段观察期：□维护期：□课题名称线线，线面，二面角的大小求法课时计划第（）次课

共（）次课教学目标掌握线线，线面，二面角的大小求法教学重点难点二面角的求法知识要点线线角，线面角，面面角问题1：什么是异面直线所成的角？它的取值范围是什么？将异面直线在空间平行移动到相交时所夹的不大于90度的角，叫两异面直线所成的角，它的取值范围为（.归纳总结：求异面直线所成角的方法是平移.问题2：直线与平面夹角的概念是什么？取值范围是什么？取值范围为.归纳总结：求线面角的关键是找平面的垂线.问题3：二面角的概念是什么？取值范围是多少？什么又是面面角？从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。归纳总结：二面角是两个半平面所构成的图形，而不是一个角，在立体几何中我们经常求的是二面角的平面角。二面角的平面角取值范围是（0，180）面面角是两个平面的夹角，最所构成两个互补的角中较小的哪一个。取值范围【0，90】线线角求法：问题4：怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角呢？ 在上取方向向量，在上取方向向量，,的夹角满足.问题5：，的夹角是否就为，的夹角呢？因为，的夹角范围为，，的夹角范围为，所以或归纳总结：异面直线所成的角，与两直线方向向量间的夹角满足或，即.问题6：用向量的数量积可以求异面直线所成的角，能否求线面角？在上取方向向量，取平面的法向量，由于，的方向关系，有以下几种情形：设线面角为，=， 而，因此求线面角通常转化为求线线角，常用向量的数量积解决.归纳总结：设为线面角,再求出平面的法向量与直线的方向向量所成的角.若为锐角，则；若为钝角，则，即.例1．和所在的平面互相垂直，且，，求：（1）直线与直线所成角的大小；（2）直线与平面所成角的大小.线面角的三种求法:1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。例1（如图1）四面体ABCS中，SA,SB,SC两两垂直，∠SBA=45°,∠SBC=60°,M为AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。（2）SC与平面ABC所成的角。点评：（“垂线”是相对的，SC是面SAB的垂线，又是面ABC的斜线.作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。）2.利用公式sinθ=h／ι其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积相等等来求垂线段的长。例2（如图2）长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=3,BC=2,A1A=4，求AB与面AB1C1D所成的角。3.利用公式cosθ=图3（如图3）若OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在面α内的射影，OC为面α内的一条直线，其中为OA与OC所成的角，θ为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么osθ=（同学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）4，利用向量法FGFG二面角求法：定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点M在侧棱上，=60°（I）证明：M在侧棱的中点（II）求二面角的大小。二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例2）过二面角B-FC-C中半平面BFC上的一已知点B作另一半平面FC1C的垂线，得垂足O；再过该垂足O作棱FC1的垂线，得垂足P，连结起点与终点得斜线段PB，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线PB、垂线BO、射影OP）。再解直角三角形求二面角的度数。三．补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决四、射影面积法（）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos）求出二面角的大小。五、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。学生的课堂表现：很积极□比较积极□一般□不积极□学生上次的作业完成情况：数量%完成质量分存在问题配合需求：家长：