第四章电磁波的传播

第四章重点（1）均匀平面电磁波及其特点；（2）导电介质中平面电磁波及其特点；（3）电磁场边值关系在介质分界面上的应用；（4）理想导体边界条件；（5）谐振腔的谐振频率；（6）矩形波导中的截止频率，传输特性。1

我们知道，时变电场会产生时变磁场，反过来，时变磁场又产生时变电场。在这一章中，我们将说明时变电磁场在空间形成电磁波，及主要讨论无源介质中电磁波的传播。由于电磁场满足麦克斯韦方程组，方程组中包含了电场与磁场的关系，因此我们主要讨论电场，然后通过关系式得出磁场。由于时变电磁场会导致电磁波，在这一章中，我们首先导出电磁场所满足的波动方程。因均匀平面电磁波有着重要意义，我们分别讨论均匀平面电磁波在理想介质、导电介质中的传播规律以及均匀平面波在不同介质分界面的斜入射规律。最后，我们讨论有界情况电磁波的传播规律。21.电磁场波动方程

§1平面电磁波

在无源（

=0，J=0）的均匀介质中，麦克斯韦方程组为：

我们先讨论真空中的情况，D=

0E、B=

0H。3取第一个方程的旋度，得：利用

•E=0，上式左边给出：将第二式带入右边得：

这样我们得到电场波动方程：4同样的方法，我们可以得到磁场的波动方程。最后，我们得到真空中电磁场所满足的波动方程为：式中

为真空中的光速。由于介质极化和磁化的物理机制，介质的电容率和磁导率与频率有关，下面我们讨论单一频率的电磁波问题。52.时谐电磁波

以单一频率随时间作正弦或余弦振荡的波叫时谐波（单色波）。为方便运算，我们采用复数形式，而实际测量值是它的实数部分。因此，时谐波的电场和磁场复数形式为：

式中E(x)和B(x)仅是坐标的函数，并且也是复数。对于电荷以及电流密度等场量也有同样的形式。实际的值是它们的实数部分。我们之所以采用复数形式，是因此大部分方程及场量运算都是线性的。对于非线性的运算，例如能量，我们将另加考虑。6

对时谐场，无源的麦克斯韦方程组的形式成为：

以上方程组中的场可以认为含时间因子也可以认为不含时间因子。7相应的电场波动方程成为：令上方程称为其次亥姆霍兹方程。对于给定频率，k是一个常数。则有：8这样我们得到：从上看出，由第一个方程求出了电场，就可通过第三个方程求出磁场。同样，我们也可得到另一组方程：93.平面电磁波

亥姆霍兹方程的解有多种形式，我们仅对行波解感兴趣，对于前行波，场的相位随坐标变量的增加而延迟。因此，我们得到电场的前行波解为（见插页）：

或：

同样，我们可以得到：式中E0和B0为常矢量，也是振幅，由初始条件确定。下面我们将说明，上面的解是平面电磁波解。10

经讨论知：k的方向表示了波相位传播的方向，也即为波的传播方向，因此通常称k为电磁波波矢量，也称传播矢量。

波矢量k的意义为：其方向表示了电磁波的传播方向；其大小为传播方向上2

范围内波的数目，波矢量的大小简称为波数。

平面电磁波的特性归纳如下：1）电场E和磁场H垂直于波的传播方向，是横电磁波；2）电场E和磁场H在空间各点彼此相互垂直；3）E

H的方向沿电磁波传播方向；4）E和B的比值等于波速，114.电磁波的能量和能流

因为电磁场能量密度为：

又：即：因此平面电磁波的电磁能量密度又可表达为：12

而电磁场能流密度为：

以上的表达式中电场和磁场均为瞬时值，而不是复数。实际应用中，我们更关心的是平均值，下面我们给出用复数表达的计算公式。13平均能量和能流的计算是非线性计算（二次项）。

设两矢量场：式中

为常数，也是这两矢量场的相位差。则电磁场平均能量密度为：

14电磁场平均能流密度为：

或：

15对于我们这里讨论的均匀平面电磁波有：

及：

16例4-1-1

在真空中，电场为

求：(a)波矢量及角频率

；(b)电场和磁场强度的复数形式；(c)平均能流密度。解：见例4-1-117§2电磁波在介质界面上的反射和折射

电磁波在传播过程中会遇到不同介质的分界面，并进入到另一介质中。现在我们讨论单一频率均匀平面波由介质1进入介质2的情况。当入射电磁波(incidentwave)遇到介质分界面时，一部分波穿透介质分界面形成透射波(transmittedwave)继续传播，一部分波被分界面反射形成反射波(reflectedwave)。这一现象称为波的反射和折射。通过本节的讨论，我们将再一次看到边值关系在解决电磁场问题中的重要性。我们假定两介质分界面在z=0处。z

0的区域为介质1，z

0的区域为介质2。我们仅讨论两绝缘介质分界面的反射和折射问题。

181.反射和折射定律

在这一节中，我们将利用边值关系得出电磁波在介质分界面的反射和折射规律。

我们知道，一般情况下电磁场的边值关系为：

我们也知道，上面的式子中只有两个是独立的。在绝缘介质分界面无电荷密度和电流密度。因此我们只用前两式有：19

介质1中的入射波和反射波、介质2中的折射波如图所示。xz平面称为入射面。

入射波、反射波、透射波与界面法线的夹角分别称为入射角θi、反射角θr、折射角θt。入射波矢量、反射波矢量、透射波矢量与界面法线构成得平面分别称为入射面、反射面、折射面。θiμ2

ε2θtki电磁波在平面界面的斜入射xzkrktθrμ1

ε120假设入射波、反射波、折射波的电场分别为：利用电场的边值关系，得：若上式在z=0处对任何x、y、t变量成立，则必有：

我们将频率统记为

。21同样，我们有：由此得出：我们选择xz平面为入射面。因ki在y方向没有分量，上式对变量x和y成立，必有：

又：及：22我们得到：即入射角等于反射角，统记为θ，这就是斯耐尔反射定律。另外，我们还可得出：

及：上式称为斯耐尔折射定律。

232.振幅关系菲涅耳公式

（1）入射电场垂直入射面情况：（2）入射电场平行入射面情况：24（2）入射电场平行入射面情况：以上推导及全反射、无反射见4-2附页25§3有导体存在时电磁波的传播

在前一节中，我们得到了介质中波动方程的稳态解，并且电磁波在介质中无能量损耗传播。现在，我们考虑电磁波在导体中传播的一般情况。261.导体中的自由电荷分布

导体在时变电磁场中是否还保持与静电场一样内部电荷为零呢？下面我们来讨论这一问题。

我们得出：对于变化频率f

1019Hz的时变电场，在导体内的电荷密度仍可认为零。讨论见附4-3-1272.导体中的电磁波

在导体内部没有自由电荷，而传导电流由欧姆定律J=σE给出。在这种情况下，麦克斯韦方程组为：28对于时谐场，麦克斯韦方程组又可写成为：与第一节中无源情况相比，在于第二个方程的差别。若令：则方程形式一样，只是原来的电容率

现在改为了复电容率

c。这样，我们前面所得公式形式不变，只是原来的电容率

现在改为了复电容率

c。29波矢量k也成为复波矢量kc。其大小为：若令：由上两式可得到：30对于良导体σ/ωε

1：31

下面我们讨论一下

和

的意义。为简单，我们考虑电磁波沿z方向传播。则：此时电场可写为：

即导体中的电磁波是一衰减波。

称为衰减系数。而

称为相位常数。我们引入趋肤深度的概念来描述电磁波的衰减。它定义为电磁波振幅衰减到表面处振幅的e-1时电磁波所传播的距离，以δ表示。

3.趋肤效应和穿透深度

32对于良导体：实际上，电磁波在导电介质中传播5δ的距离后，即消失在导电介质中了。例如，在1MHz频率下，铜的趋肤深度δ约为0.066mm，电磁波在传播了0.33mm后振幅已小到无意义了。也就是说，在良导体中，电磁波衰减很快，电磁场集中在导体表面附近区域，这种现象称为趋肤效应。33又对于良导体：从上面可以看出，

、

、

随频率而变。因此，不同频率的电磁波在介质中传播速度是不一样的。即对于包含有各种频率的信号在传播时，信号到达目的地时，会发生畸变。信号在其中会发生畸变的介质称为色散介质。导电介质一般是色散介质。我们得到：导体中电场的相位超前磁场

/4。34面电阻

在良导体中，由于电磁场集中在导体表面附近，我们引入趋肤电阻(或表面电阻率)概念。平面导体趋肤电阻定义为单位长度、单位宽度、厚度为趋肤深度的平板电阻，趋肤电阻记为Rs。详见附4-3-2。

35§4谐振腔

谐振腔是中空的由良导体构成的金属腔，它用于产生微波振荡和用于微波测量。我们知道，当给出边界条件及电荷分布后，我们就可以唯一地求出电场。电场的边界条件可由边值关系得到。但由知，

En

=

s。但一般情况下，理想导体表面的电荷密度并不知道，而是通过电场求出面电荷分布，但电场又恰是我们现在要求解的。因此，我们要另辟蹊径找出有关电场法向方向的边界条件。36

对于理想导体σ=

,由此得穿透深度

=0。即在理想导体中，电磁场量为零。另一方面，在下面的讨论中，我们考虑空间中

=0。设理想导体面为z=0平面，z

0区域为理想导体，电磁场存在于z

0区域，如图所示1.理想导体边界条件位于z=0的理想导体平面xz介质理想导体37

由图，利用边值关系en

(E2–E1)=ez

E=0，我们得到在理想导体面有：上式表明，在理想导体表面，不存在电场的切向分量。

我们知道，若空间不存在电荷密度，则

•E=0。对于理想导体表面附近，有：将其写成一般形式式中n为理想导体表面法向方向。此式说明，电场法向分量的法向偏导数为零。这样我们得到了电场在理想导体面上所满足的边界条件。38设矩形谐振腔尺寸为L1、L2、L3。经推导，我们得出谐振腔中电场分布为（见附页）：2.谐振腔中的场分布式中：式中m、n、和p=0，1，2，3，…。由电场我们完全可以得到磁场的分布。以上方程表明每一组m，n，p值相应于一个模式，且不能有两个同时为零，它们分别代表了三个矩形边半波的数目。

39上式表明对于给定m、n、和p值，在谐振腔中只有两个场的独立模式。由

•E=0得：40因3.谐振频率式中μ和ε是谐振腔中的介质参数。由此得到谐振腔的谐振频率和谐振波长分别为：

41如果L1

L2

L3，最低谐振频率为：42§5波导电磁波在以导体为边界限制空间的传播，即在导体限制区域内存在的波，我们称为导行电磁波，简称导波。传播导行电磁波的系统称为导波系统。导波的存在，需要导体，导波沿导体长度方向传播。事实上，双导线(或平行板)、同轴线、矩形波导、园波导、带状线、微带线、介质波导都属于导波系统。这里我们只讨论矩形波导。43矩形波导管是一个宽a高为b，a≥b，的中空矩形金属导管。一般我们取矩形波导管横断面为平面，如图所示。1.矩形波导管中的电磁波zo宽为a、高为b

的矩形波导管xx=ayy=b44在我们这里的讨论中，我们假定波导管的四壁为理想导体，其中的介质为理想介质(

=0,

=0)，电磁波沿z轴方向传播。波导管中，电磁场的解属于时变电磁场边值问题。因此根据前面知识波导管中有：

45

根据边界条件通过求解电场方程，我们得到：

式中m、n=0,1,2,…。根据以上结果我们看出，m和n不能同时为零，否则所有场量为零。由于m和n的多值性，因此波导管中场的结构有多种形式，每一种形式我们称为一种模式，或一种波模。每一组m、n值给出对应的波模。这种多模结构是波导管的一个重要特性。46上式表明对于给定m、n值，波导管中只有两个场的独立模式。如果波中电场在传播方向上没有分量，这样的波称为横电波(TE波)。如果波中磁场在传播方向上没有分量，这样的波称为横磁波(TM波)。如果波中在传播方向上既没有电场分量也没有磁场分量，这样的波称为横电磁波(TEM波)。我们可以得出矩形波导管中：若Ez=0，则Hz≠0；若Hz=0，则Ez≠0。即矩形波导管中不存在TEM波。另外，我们还可论证：波导管中不存在TM0n和TMm0波。由

•E=0得：47

由于m和n的多值性，因此波导中的场模式有多种形式。每一组m和n值给出对应的波模。对于横电波，记为TEmn；对于横磁波，记为TMmn。m和n值大的模式称为高次模，数值小的称为低次模。另外，我们还可论证：波导管中不存在TM0n和TMm0波。48因为：