直接证明与间接证明

高二数学选修2-2

第二章推理与证明2023/12/13孝高蒋志方12.2直接证明与间接证明推理演绎推理三段论（一般到特殊）合情推理类比（特殊到特殊）归纳(特殊到一般）演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.合情推理得到的结论是不可靠的，需要证明。数学中证明的方法有哪些呢？例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc因为b2+c2≥2bc,a>0所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+b2≥2bc,b>0所以b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明:在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、定理、公理、性质等出发通过推理导出所要的结论。１.综合法——由因导果

从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.(又称顺推证法)探索求知注：用P表示已知条件,已有的定义,定理,公理等.Q表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:PQ1QnQQ2Q3Q1Q2…探索求知例：求证不等式：.注：从求证的结论出发，逐步寻求使结论成立的条件。证明：要证即证故不等式成立.只需证只需证2.分析法探索求知

从证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知,定理,定义,公理等).这种证明的方法叫做分析法.（又称倒推证法）——执果索因

注：用Q表示所要证明的结论,则分析法可用框图表示为:得到一个明显成立的条件QP1P1P2P2P3…证法1:对于正数a,b,有证法2:要证只要证只要证只要证因为最后一个不等式成立，故结论成立。综合法分析法表达简洁!目的性强,易于探索!【分析法】从结论出发，寻找结论成立的充分条件直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件。要证：

只要证：

只需证：

显然成立上述各步均可逆所以结论成立要证：

所以结论成立格式解:要证只需证展开,只需证只需证21<25因为21<25成立,所以成立.例3：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．分析：把题中的文字语言转化为符号语言：A+C=2B⑴，b2=ac⑵由（1）联想到内角各能得到什么？由（2）联想到三角形什么知识？余弦定理，二者联系起来能得到什么结论证明：

由A，B，C成等差数列，有2B=A+C①

由①②，得②③由a，b，c成等比数列，有④由余弦定理及③，可得再由④，得因此，a=c从而有A=C由②③⑤，得

②①①②①②③③直接证明分析法

解题方向比较明确，利于寻找解题思路；

综合法

条理清晰，易于表述。通常以分析法寻求思路，再用综合法有条理地表述解题过程分析法综合法概念路边苦李

王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？

情景导学

王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李.

王戎是怎么知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?

王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了,这与“多李”产生矛盾.所以假设不成立,李为苦李.探究点1

反证法的定义引例：证明：在一个三角形中至少有一个角不小于60°.已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个不小于60°.

探究新知证明：假设的三个内角∠A，∠

B，

∠

C都小于60°，则有∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°所以∠A+∠B+∠C<180°这与相矛盾.三角形内角和等于180°所以假设不成立，所求证的结论成立.

先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确.这种证明方法就是——反证法

把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明.注：反证法是最常见的间接证法.

一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾.因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.反证法

归纳总结

否定结论——推出矛盾——肯定结论即分三个步骤：反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立；归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；反证法的证明过程存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立.

归谬矛盾：（1）与已知条件矛盾.（2）与假设矛盾或自相矛盾.（3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾.反证法的思维方法：正难则反.1.应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用(

)①结论相反判断，即假设②原命题的结论③公理、定理、定义等④原命题的条件A．①④ B．①②③C．①③④ D．②③C

小试牛刀2.用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，应假设________________________________.三角形中有两个或三个角是直角

小试牛刀原词语否定词原词语否定词等于任意的是至少有一个都是至多有一个大于至少有n个小于至多有n个对所有x,成立对任何x，不成立

准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.

不是不都是不大于大于或等于一个也没有至少有两个至多有（n-1)个至少有（n+1)个存在某x，不成立存在某x,成立不等于某个宜用反证法证明的题型

（1）以否定性判断作为结论的命题.（2）某些定理的逆命题.（3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题.（4）关于“唯一性”结论的命题.（8）涉及各种“无限”结论的命题等.（7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段.（6）一些不等量命题的证明.（5）解决整除性问题.反证法的一般步骤先假设命题的结论不成立从假设出发，经过推理得出矛盾否定假设肯定原命题分清条件和结论

总结升华证明：因为a∥b

所以经过直线a,b确定一个平面.因为,而，所以与是两个不同的平面.因为，所以.例1已知直线a，b和平面

,如果,且,求证:.abP

典例解析下面用反证法证明直线a与平面没有公共点，假设直线a与平面

有公共点P，则P，即点P是直线a与b的公共点，这与a∥b矛盾，所以a∥.1.命题“△ABC中,若∠A>∠B,则a>b”的结论的否定应该是(

)A.a<bB.a≤bC.a=bD.a≥bB

当堂检测2.实数a,b,c不全为0等价于(

)A.a,b,c均不为0B.a,b,c中至多有一个为0C.a,b,c中至少有一个为0D.a,b,c中至少有一个不为0D3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,反设正确的是(

)A.假设三内角都不大于60°B.假设三内角都大于60°C.假设三内角至多有一个大于60°D.假设三内角至多有两个大于60°B4．如果两个实数之和为正数，则这两个数(

)A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．至少有一个正数D．两个都是负数C5.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾,故假设错误;②所以一个三角形不能有两个直角;③假设△ABC中有两个直角,不妨设∠A=90°,∠B=90°.上述步骤的正确顺序为________(填序号).③①②6.已知p3+q3=2,求证p+q≤2.【证明】假设p+