第四章 平差数学模型与最小二乘原理

第四章平差数学模型与最小二乘原理本章介绍观测模型及其定解条件等相关概念，各种观测模型的函数模型、随机模型，函数模型的线性形式，定解模型的最小二乘准则和最小二乘估计。本章学习要点：1、测量平差概述2、函数模型3、函数模型的线性化4、测量平差的数学模型5、参数估计与最小二乘原理一、观测模型测量工程因解决不同工程问题的需要，通常需构建相应的观测模型。1、几何模型：观测系统仅由几何量（如，长度、角度、高程、坐标等）构成的模型。2、物理模型：观测系统仅由与时间概念有关的物理量（如，速度、加速度、应变等）构成的模型。3、综合模型：观测系统既包涵几何量又包涵物理量构成的模型。4.1测量平差概述高程控制网(水准网或三角高程网)三角网(测角网、测边网、边角网)导线

(附合、闭合、导线网)二、观测模型（几何模型）的基本性质为了确定一个几何模型，并不需要知道该模型中所有元素（几何量）的量值，只需知道其中部分元素的量值，其它元素可以通过它们的函数关系来确定。能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，简称必要元素；必要元素的个数用t来表示。必要元素为函数独立量，简称独立量。必要元素的个数t，只与几何模型有关，与实际观测量无关，一旦给定几何模型，则其必要元素的个数t是唯一的，其类型不唯一。对任一几何模型，必要元素t个量必须为函数独立量，即t个必要元素之间必须不存在函数关系，亦即其中任一元素不能表达成其余（t-1）个元素的函数。必要元素如图所示水准网：为确定待定点P1、P2、P3的高程，至少需确定3段高差元素。…

…

…必要元素数

t=3如：如图所示三角网：为确定四边形的形状和大小，至少需确定5个几何元素。1边4角，如：4边1角，如：3边2角，如：必要元素数

t=52边3角，如：5边0角，如：必要元素不仅要考虑其个数，而且要考虑以它的类型。如图所示闭合导线：为确定待定点P1、…、P5等5个点的坐标值，至少需确定10个几何元素。必要元素数

t=10如：必要元素不仅要考虑其个数，而且要考虑以它的类型。如图所示水准网中：选择或，则函数独立。若选择或，则存在函数关系式及因此，以上两组元素均不是函数独立量。如图所示三角网：必要元素数

t=5若选择5个角元素，如：则存在以下关系式：因此，此5元素不是函数独立量三、观测模型（几何模型）的必要起算数据确定几何模型所必须具有的已知数据。1、水准网必要起算数据：一个已知点高程2、测角网必要起算数据

一个已知点坐标，一个相邻已知方位，一个相邻已知边长或两个相邻点坐标。3、测边网或边角网必要起算数据一个已知点坐标，一个相邻已知方位角。四、多余起算数据必要起算数据之外的起算数据多余起算数据数：2多余起算数据数：1

确定几何、物理模型的形状、大小所必须进行的观测称为必要观测，其数目用符号t表示。

（1）水准网必要观测数据t=p-q-1必要观测数总点数多余起算数据数

必要起算数据数

必要起算数据之外的起算数据

五、必要观测及其数目的确定t=2p-q-4必要观测数总点数多余起算数据数

必要起算数据数t=8-0-4＝4

（2）测角网必要观测数据t=2p-q-3t=10-0-3＝7t=12-4-3＝7（3）测边网或边角网必要观测数据五、多余观测数及其数目的确定在测量工程中，为使一个几何模型有定解，就必须进行观测，以获取部分几何元素的量值。设在给定的几何模型中，总共观测了n个元素的量值，若观测个数少于必要元素的个数，即n<t，显然无法定解该模型，即出现了数据不足的情况。若仅观测了t个独立量，n=t，则可唯一地确定该模型。但由于它们都是独立量，故不存在任何条件方程，在这种情况下，如果观测结果中含有粗差甚至错误，都将无法发现。为了能及时发现粗差和错误，并提高测量成果的精度，就必须使n>t，则r=n-t称为多余观测数。多余观测数在测量中又称为几何模型的“自由度”。必要观测之外的观测称多余观测，其数目用符号r表示,多余观测数＝观测总数－必要观测数(r=n-t

)若仅观测了，则无法求得P3点的高程。若仅观测了，则无法求得P2点的高程。如图所示水准网中：必要观测不够n<t必要元素数

t=3如图所示三角网：若仅观测了

：则无法求解：更无法求解：必要元素数

t=5必要观测不够n<t

例：下图控制网分别按测角网、测边网和边角网观测时，各自的必要观测数与多余观测数分别为多少？

解：按测角网观测时

t=16－0－4＝12

r=25-12=13

按测边网观测时

t=16－0－3＝13

r=15-13=2

按边角网观测时

t=16－0－3＝13

r=39-13=26

七、测量平差的基本概念1、条件方程在一个几何模型中，除了t个独立量以外，若再增加一个量，则必然产生一个相应的函数关系式。测量中称为条件方程式。一个几何模型如果有r个多余观测，就产生r个条件方程式。由于观测值不可避免地存在观测误差，当n>t时，几何模型中应该满足的r=n-t个条件方程，因实际存在闭合差而并不满足。如图所示水准网中，若观测：必要元素数

t=3可列出以下条件方程：若再增加观测则增加条件方程于是：仅用观测值组成条件方程，则有：

如图所示三角形，要确定其形状和大小，则t=3若观测元素：若再增加观测元素：则存在以下关系式：则增加条件方程：于是：仅用观测值组成条件方程，则有：由于观测不可避免地存在偶然误差，如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使其达到消除闭合差的目的，这是测量平差的主要任务。一个测量平差问题，首先要由观测值和待求量间组成数学模型，然后运用一定的平差原则对待求量进行估计，这种估计要求是最优的，最后计算和分析成果的精度。例如：

如何计算出的最优估值，使得：便是平差计算的主要任务。描述观测模型中元素的一组数学关系式称为数学模型。由于观测量是一种随机变量，所以平差的数学模型同时包含函数模型和随机模型两种，在研究任何平差方法时须同时予以考虑。

4.2测量平差的数学模型

函数模型函数模型是描述观测量与待求量间的数学函数关系的模型，是确定观测模型中元素量值关系的模型。测量平差的目的就是为了最优估计函数模型的未知量。对于给定的几何观测模型，可以有多种选取未知量的方式，建立不同形态的函数模型，由此产生了不同的平差方法。函数模型分为线性函数模型和非线性函数模型两类。当函数模型为非线性形式时，总是将其用泰勒公式展开，并取其一次项化为线性形式。1、条件平差法对于给定的几何观测模型，设：于是，可以列出的独立的条件方程式：观测量总数为n必须观测数为t多余观测数为r=n-t

函数模型如图所示水准网中，BM为已知高程点，P1、P2、P3为待求高程点，若观测了水准网中6段高差，设其高差的真值分别为：。可列出以下条件方程：多余观测数为：

函数模型

函数模型将条件方程写为矩阵的形式：观测向量矩阵：观测向量系数矩阵：常数向量矩阵：得条件方程：

函数模型对于条件方程，将真值以观测值加改正数的形式代替，即令，得到条件方程的另一种形式,令，得。

（1）

（2）

（1）、（2）两式均为条件平差的函数模型。

函数模型一般情况而言，有n个观测值，t个必要观测，则应列出r=n-t个条件方程。

函数模型条件方程必须线性无关。条件平差的自由度为r

如图所示三角形，若观测元素：则存在以下关系式：

函数模型多余观测数为：

函数模型此时，观测方程是非线性的形式，首先将非线性方程按台劳公式张开，取至一次项，转换成线性方程。按台劳公式张开，取至一次项：

函数模型

函数模型

函数模型2、间接（参数）平差法一个几何观测模型，最多只能选出t个独立量，模型中的所有量都一定可表达成所选t个独立参数的函数。那么通过这t个独立参数就能唯一地确定该几何模型。选择几何模型中t个独立量为平差参数，将每一个观测量表达成所选参数的函数，即列出n个这种函数关系式，以此为平差的函数模型，称为间接平差法，又称为参数平差法。

函数模型如图所示水准网中，选择三点的高程作为参数。列出以下方程：

如图所示三角形，，观测量为：选取P点的坐标值

为参数，于是有：于是，可列出观测量参数方程如下：

随机模型平差计算的数学模型包括函数模型和随机模型。

函数模型描述观测量与待求量间的数学函数关系；

随机模型描述观测量及其相互间统计性质。对于以上几种基本平差函数模型，最基本的数据都是观测向量，进行平差计算时，除了建立其函数模型外，还要同时考虑到它的随机模型，亦即观测向量的协方差阵：式中D为L的协方差阵，Q为L的协因数阵，P为L的权阵，Q与P互为逆阵，为单位权方差。

随机模型一般情况下，观测向量的协方差阵D在平差前都是未知的，若按第二章中介绍的方法估计确定，则称为先验协方差。可通过平差计算求出其估值，然后求得D的估值：

随机模型

4.3

参数故计与最小二乘原理平差问题是由于测量中进行了多余观测而产生，不论何种平差方法，平差最终目的都是对参数和观测量（或Δ）作出某种估计，并评定其精度。所谓评定精度，就是对待估量的方差与协方差作出估计。所以，可统称为对平差模型的参数进行估计。引言由多余观测而产生的平差数学模型，都不可能直接获得唯一解。一、参数估计及其最优性质条件平差的函数模型

条件方程个数为r，而待估未知量Δ有n个，n>r，Δ不能唯一确定。

4.3

参数故计与最小二乘原理间接平差的函数模型

方程个数为n，待求参数和Δ共有t+n个，同样，和Δ不能唯一确定。

4.3

参数故计与最小二乘原理测量平差中的参数估计，是要在众多的解中，找出一个最为合理的解，作为平差参数的最终估计。为此，对最终估计值应该提出某种要求。考虑平差所处理的是随机观测值，自然要求参数估计要具有最优的统计性质。从而可对平差数学模型附加某种约束，实现满足最优性质的参数唯一解。这种约束是用某种准则实现的，其中最广泛采用的准则是最小二乘原理。一、参数估计