向量组的线性相关性

一相关性的定义第11讲向量组的线性相关性

相关性的判别｛

定理判别几个特殊定理三一个结论定义判别1精选课件向量组之间的线性关系向量组

B

能由向量组

A线性表示向量组

A

与向量组

B等价向量

b

能由向量组

A线性表示2精选课件向量b

能否由向量组

A：a1,a2,…,am线性表示判断

R(A,

b)与R(A)

是否相等

R(A)

R(A,

b)〔2〕b不能由向量组A线性表示〔1〕b可由向量组A:a1，a2，，am线性表示，且表示式唯一

b

可由向量组A:a1，a2，

，am线性表示，且表示式不唯一R(A)=R(A,

b)<mR(A)=R(A,

b)=m3精选课件例3给定向量组:

及向量问：k为何值时，(1)

b能由α1,α2,α3线性表示?解02-113134k500k-2-401-13102-1(A)~A(2)

b不能由α1,α2,α3线性表示?，b不能由α1，α2

，α3线性表示。（2）当k=2时，，b能由α1，α2，α3线性表示。（1）当k2时，4精选课件一相关性的定义第11讲向量组的线性相关性

相关性的判别｛

定理判别几个特殊定理三一个结论定义判别5精选课件一、相关性的定义向量组A：a1,a2,…,am线性相关：P87定义4

k1a1+k2a2

+…+kmam=O如果存在不全为零的实数k1,k2,…,km

，使得否那么称它是线性无关的．注：向量组a1，a2，

，am线性相关存在不全为零的实数k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2

+…+kmam=O向量组中至少有一个向量能由其余向量线性表示6精选课件注：向量组a1，a2，

，am线性相关向量组中至少有一个向量能由其余向量线性表示P87证明设向量组a1，a2，

，am线性相关那么存在k1，k2，，km不全为0使得k1a1

k2a2

kmam

o不妨假设那么k1a1=-k2a2-

-kmama1=-a2-

-

am7精选课件注：向量组a1，a2，

，am线性相关向量组中至少有一个向量能由其余向量线性表示P87证明向量组有一个向量(不妨假设为am)能由其余向量线性表示那么存在k1，，km-1，使得因此:向量组a1，a2，

，am线性相关8精选课件一、相关性的定义等式成立当且仅当k1=k2=…=km=0向量组A：a1,a2,…,am线性相关：P87定义4

k1a1+k2a2

+…+kmam=O如果存在不全为零的实数k1,k2,…,km

，使得否则称它是线性无关的．例：向量组A:

线性相关=O例：向量组B:

线性无关9精选课件一、相关性的定义注:1.对于任一向量组，不是线性无关就是线性相关.3.向量组含有两个向量时：相关对应分量成比例P87等式成立当且仅当k1=k2=…=km=0向量组A：a1,a2,…,am线性相关：P87定义4

k1a1+k2a2

+…+kmam=O如果存在不全为零的实数k1,k2,…,km

，使得否则称它是线性无关的．2、向量组只包含一个向量时，例:向量组A:10精选课件注：4、向量组a1，a2，

，am线性相关向量组中至少有一个向量能由其余向量线性表示4‘向量组a1，a2，

，am线性无关向量组中任一个向量不能由其余向量线性表示P8711精选课件1、定义2、定理——判定定理3、几种特殊的判定定理k1a1+k2a2

+…+kmam=O二、相关性的判定向量组A：a1,a2,…,am12精选课件例

设线性无关证明也是线性无关的。a1，a2，a31、定义判别证明：设有一组实数使得那么因为线性无关a1，a2，a3故线性无关。P89例613精选课件例2

设证明线性相关证明：设有一组实数使得取故：向量组

b1，b2，b3

线性相关可以不全为零14精选课件例

判断向量组A是否线性相关解：设有一组实数使得问题转化为齐次方程组是否有非零解？A=〔a1,a2,a3〕是由向量组构造的矩阵15精选课件定理1向量组构成的矩阵的秩<向量个数向量组A:

线性相关a1，a2，

，amR(A)<m2、定理判别Ax=0有非0解P88定理4相关无关Ax=0只有零解向量组A:

线性无关a1，a2，

，amR(A)=m定理216精选课件特别地，假设向量组构成的矩阵A为方阵向量组A

:线性相关2、定理判定向量组A

:线性无关17精选课件解2-13-11-15111124~0-5-50330-9-9124~011000000124例1判断向量组是否线性相关向量组

a1，a2，a3

线性相关向量组对应的矩阵为向量个数3R(A)<(=)向量个数18精选课件例3试讨论向量组a1,a2,a3

及向量组a1,a2

的线性相关性．解：可见R(a1,a2,a3

)=2，故向量组a1,a2,a3

线性相关；同时，R(a1,a2)=2，故向量组a1,a2线性无关．19精选课件例4向量组线性相关,求k值解:线性相关k2222k2k2A为方阵20精选课件3、几种特殊的判定定理〔1〕向量组含有零向量相关〔2)向量组里有两个向量成比例相关〔3〕局部相关整体相关〔4〕整体无关局部无关〔5〕向量的维数<向量的个数相关n+1个n维向量一定线性相关P90定理521精选课件结论假设向量组