【数学】等差数列的概念第1课时等差数列的概念、通项公式课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2等差数列

我们知道，数列是一种特殊的函数.在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容(如单调性、奇偶性等)后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型.类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用，下面，我们从一类取值规律比较简单的数列人手.4.2.1等差数列的概念

第一课时

(等差数列的概念、通项公式)一、探究新知

请看下面几个问题中的数列.

①北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为：

9，18，27，36，45，54，63，72，81.一、探究新知

②S,M,L,XL,XXL,XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是:

38，40，42，44，46，48.

③测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度(单位:°C)依次为:

25，24，23，22,21.

④某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年.如果个人贷款月利率为r，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b元，每月支付给银行的利息(单位:元)依次为:

ar,ar-br,ar-2br，ar-3br,...如果按月还款，等额本金还款方式的计算公式是每月归还本金=贷款总额＋贷款期总月数，利息部分=(贷款总额-已归还本金累计额)×月利率.

在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律.例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了A、B两地旅游人数的变化规律.

类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗?一、探究新知

对于①，我们发现

18=9+9，27=18+9，···，81=72+9.

换一种写法，就是

18-9=9，27-18=9，···，81-72=9.

如果用{an}表示数列①，那么有

a2-a1=9，a3-a2=9，···，a9-a8=9.

改变表达方式使数列的取值规律更突出了.

这表明，数列①有这样的取值规律:

从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.数列②～④也有这样的取值规律.二、等差数列的概念

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.

这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.

数列①、②、③、④的公差各为多少？(1)公差d是由后项减前项所得，不能用前项减后项来求；(2)对于数列{an}，若an－an－1＝d(d是与n无关的数或字母)，

n≥2，则此数列是等差数列，d为公差；(3)若d＝0，则该数列为常数列．注意三、等差中项由三个数a、A、b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b.

在日常生活中，人们常常用到等差数列.例如，在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级(如前面例子中的上衣尺码).你能举出一些例子吗?四、等差数列的通项公式

你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗?

an+1-an=d就是等差数列{an)的递推公式.

设一个等差数列{an}的首项为a1，公差为d.根据等差数列的定义，可得

an+1-an=d,所以

a2-a1=d，a3-a2=d,a4-a3=d,···于是

a2=a1+d,

a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d,

a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d，···归纳可得

an=a1+(n-1)d(n≥2).

当n=1时，上式为a1=a1+(1-1)d=a1.这就是说，上式当n=1时也成立.

首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为

四、等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d

观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关?

由于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，所以当d≠0时，等差数列{an}的第n项an是一次函数f(x)=dx+(a1-d)(x∈R).当x=n时的函数值，即an=f(n).

事实上，等差数列{an}的图象是点(n,an)组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)=dx+(a1-d)上.

反之，任给函数f(x)=kx+b(k、b为常数)，构成一个等差数列{kn+b}，其首项为(k+b)，公差为k.五、典型例题例1(1)已知等差数列{an}的通项公式为an=5-2n,求{an}的公差和

首项；

(2)求等差数列8，5，2，···的第20项；(3)在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与d.五、典型例题例2-401是不是等差数列-5，一9，-13，···的项?如果是，是

第几项?五、典型例题例3(1)三个数成等差数列，它们的和为18，它们的平方和为116，

求这三个数.(2)已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为

40，求这四个数.六、课堂小结1.等差数列的概念3.等差中项

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的

差都等于同一个常数，即an+1-an=d(n≥2),那么这个数列就叫做

等差数列.

这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.

由三个数a、A、b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，