2023年中考数学专题复习：隐圆-强化练习题汇编(Word版-含答案)

第第页2023年中考数学专题复习：隐圆强化练习题汇编一、选择1．如图，四边形ABCD中，连接AC、BD，点O为AB的中点，若∠ADB＝∠ACB＝90°，则下面结论不一定正确的是（）A．DC＝CB B．∠DAC＝∠DBC C．∠BCD+∠BAD＝180° D．点A、C、D到点O的距离相等2．如右图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，P为矩形内一点，∠APB＝90°，连接PD，则PD的最小值为（）A．8 B．221 C．10 D．723．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC＝∠PCB，则线段PB的最小值为（）A．125 B．13−1 C．13−4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为线段AB上的动点，连接CD，过点B作BE⊥CD交CD于点E，则在点D的运动过程中，求线段AE的最小值为（）A．10 B．73−3 C．5 D．5．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是正方形ABCD内一点，若∠APB＝90°，则PC的最小值是（）A．1 B．5 C．5−1 D．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝4，CB＝6，点D是AC边上的动点，连接BD，过点C作CE⊥BD于点E，则AE的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．57．Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A．165 B．1 C．13−3 8．如图，△ABC为等边三角形，AB＝3．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为（）A．1.5 B．3 C．4339．如图，点A，B的坐标分别为A（3，0）、B（0，3），点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．322+1 B．322 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为平面内一动点，且DE＝2，连接BE，点M为BE的中点，则AM的最小值为（）A．3 B．4 C．32 D．10﹣25二、填空1．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠DBC=13∠BDC．其中∠DAC＝25°，那么∠BAC＝2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CAD＝2∠BAC，若∠BCD＝105°，则∠BDC＝．3．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD．若∠ABC＝112°，则∠ADC＝°．4．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，F是BD边上的一个动点，连接AF，过点B作BE⊥AF于E，在点F变化的过程中，线段DE的最小值是．5．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD边上的动点，且CE+CF＝4，DE和AF相交于点P，在点E，F运动的过程中，CP的最小值为．6．如图示，A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点C在y轴上，且∠ACB＝45°，则点C的坐标为．7．如图，等边△ABC中，AB＝23，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，求线段CP长的最小值．8．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，D点是△ABC所在平面上的一个动点，且∠BDC＝60°，则△DBC面积的最大值是．9．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形外一动点，且点E在CD的右侧，∠AED＝45°，P为AB的中点，当E运动时，线段PE的最大值为．10．如图，点D为边长是43的等边△ABC边AB左侧一动点，不与点A，B重合的动点D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是．11．在等边三角形ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，AE与BD相交于点P．若△BCD的面积是123，BE＝6，∠APB＝120°，则△ABP的外接圆的半径长为．12．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝6，BD＝4，∠BCD＝30°，我们知道满足条件的点C不是唯一的，则AC长的最大值为．13．如图．A（3，0）．动点B到点M（3，4）的距离为1，连接BO，BO的中点为C，则线段AC的最小值为．

第24章——隐圆（答案）一、选择1．如图，四边形ABCD中，连接AC、BD，点O为AB的中点，若∠ADB＝∠ACB＝90°，则下面结论不一定正确的是（）A．DC＝CB B．∠DAC＝∠DBC C．∠BCD+∠BAD＝180° D．点A、C、D到点O的距离相等【解答】解：∵点O为AB的中点，∠ADB＝∠ACB＝90°，∴D，C在以O为圆心，AB为直径的圆上，如图，∴∠DAC＝∠DBC，∠BCD+∠BAD＝180°，点A、C、D到点O的距离相等，当∠DAC＝∠BAC时，DC＝CB，而题目中未给出．故选：A．2．如右图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，P为矩形内一点，∠APB＝90°，连接PD，则PD的最小值为（）A．8 B．221 C．10 D．72【解答】解：如图，以AB为直径作⊙O，连接OD在矩形ABCD内部交⊙O于点P，则此时PD有最小值．矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，∴OP＝AO＝5，∠BAD＝90°，∴OD=A∴PD＝OD﹣OP＝13﹣5＝8，即PD的最小值为8．故选：A．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC＝∠PCB，则线段PB的最小值为（）A．125 B．13−1 C．13−【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACP+∠PCB＝90°，∵∠PAC＝∠PCB，∴∠CAP+∠ACP＝90°，∴∠APC＝90°，∴点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB交⊙O于点P，此时PB最小，在Rt△CBO中，∠OCB＝90°，BC＝3，OC＝2，∴OB=O∴PB＝OB﹣OP=13∴PC最小值为13−故选：C．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为线段AB上的动点，连接CD，过点B作BE⊥CD交CD于点E，则在点D的运动过程中，求线段AE的最小值为（）A．10 B．73−3 C．5 D．【解答】解：设BC的中点为点O，以O为圆心，BC为直径画圆，如图：∵BE⊥CD，BC＝6，∴点E在以O为圆心，半径为12BC∵点E在半径为3的⊙O上，∴OE＝OB＝3，∵∠ABC＝90°，AB＝8，∴AO=A∵两点之间线段最短，∴当A、O、E三点共线时，AE取得最小值，此时，AE＝AO﹣OE=73故选：B．5．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是正方形ABCD内一点，若∠APB＝90°，则PC的最小值是（）A．1 B．5 C．5−1 D．【解答】解：如图所示：取AB的中点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O．∵∠APB＝90°，∴点P在⊙O上．∵AB＝2，∴OP＝1，12AB当O、P、C在一条直线上时，PC有最小值．PC的最小值＝OC﹣OP=OB2故选：C．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝4，CB＝6，点D是AC边上的动点，连接BD，过点C作CE⊥BD于点E，则AE的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：如图，取BC中点F，连接AE、EF．∵CE⊥BD，∠BEC＝90°，∴点E在以BC长为直径的圆周上上运动，当点A、E、F在同一直线上时，AE最短．∵CA＝4，CB＝6，∴BF=12∴AF=4∴AE＝AF﹣BF＝5﹣3＝2，即AE的最小值为2．故选：A．7．Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A．165 B．1 C．13−3 【解答】解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PAB＝∠PBC∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在Rt△BCO中，∠OBC＝90°，BC＝3，OB＝2，∴OC=O∴CP＝OC﹣OP=13∴CP最小值为13−故选：D．8．如图，△ABC为等边三角形，AB＝3．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为（）A．1.5 B．3 C．433【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝3，∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴点P的运动轨迹是AC，设AC所在圆的圆心为O，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：此时PA＝PC，OB⊥AC，则AD＝CD=12AC=32，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD∴PD=32，BD∴PB＝BD﹣PD=3故选：B．9．如图，点A，B的坐标分别为A（3，0）、B（0，3），点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．322+1 B．322 【解答】解：如图，作点A关于点O的对称点A'（﹣3，0），则点O是AA'的中点，又∵点M是AC的中点，∴OM是△AA'C的中位线，∴OM=1∴当A'C最大时，OM最大，∵点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，∴点C在以B为圆心，2为半径的⊙B上运动，∴当A'C经过圆心B时，A′C最大，即点C在图中C'位置．A'C'＝AB+BC'＝32+2∴OM的最大值=3故选：A．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为平面内一动点，且DE＝2，连接BE，点M为BE的中点，则AM的最小值为（）A．3 B．4 C．32 D．10﹣25【解答】解：由题意知：E点在以D为圆心，以2为半径的圆上，连接BD，取BD的中点O，连接AO，MO，在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝8，BC＝6，∴BD=6∵O为BD的中点，∴AO=12∵M为BE的中点，DE＝2，∴OM=12∵AM＞AO﹣OM，即AM＞4，∴当A，O，M三点共线时，AM有最小值为4，故选：B．二、填空1．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠DBC=13∠BDC．其中∠DAC＝25°，那么∠BAC＝【解答】解：如图：∵AB＝AC＝AD，∴B、C、D在以A为圆心，以AB为半径的同一个圆上，∵∠DAC＝25°，∴∠DBC=12∠∵∠DBC=13∠∴∠BDC＝3∠DBC＝37.5°，∴∠BAC＝2∠BDC＝75°，故答案为：75°．2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CAD＝2∠BAC，若∠BCD＝105°，则∠BDC＝25°．【解答】解：以A为圆心，AB为半径画圆，∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，∵∠CAD＝2∠BAC，∴∠CBD＝2∠BDC，∵∠CBD+∠BDC+∠BCD＝180°，∴3∠CBD+105°＝180°，∴∠CBD＝25°．故答案为：25°．3．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD．若∠ABC＝112°，则∠ADC＝124°．【解答】解：∵AB＝BD＝BC，∴A、D、C在以B为圆心，以AB为半径的圆上，如图，作圆周角∠AEC，∵∠ABC＝112°，∴∠E=12∵四边形ADCE是⊙B的圆内接四边形，∴∠ADC+∠E＝180°，∴∠ADC＝180°﹣56°＝124°，故答案为：124．4．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，F是BD边上的一个动点，连接AF，过点B作BE⊥AF于E，在点F变化的过程中，线段DE的最小值是5−1【解答】解：如图，∵BE⊥AF于E，∴E在以AB为直径圆心为O的圆上，∴当O、E、D三点共线的时候线段DE最小，∵AB＝2，四边形ABCD为正方形，∴AO＝1＝OE，AD＝2，∴OD=OA∴段DE最小值为OD﹣OF=5故答案为：5−5．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD边上的动点，且CE+CF＝4，DE和AF相交于点P，在点E，F运动的过程中，CP的最小值为25−2【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝CD＝BC＝4，∠ADC＝∠BCD＝90°，∵CE+CF＝4，CF+DF＝4，∴CE＝DF，在△ADF和△DCE中，AD=DC∠ADF=∠DCE∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠DAF＝∠CDE，∵∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠DAP+∠FDP＝90°，∴∠APD＝90°，∴点P在以AD为直径的圆上，设AD的中点为G，由图形可知：当C、P、G在同一直线上时，CP有最小值，如图所示：∵CD＝4，DG＝2，∴CG=42+∴CP＝CG﹣PG＝25−故答案为：25−6．如图示，A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点C在y轴上，且∠ACB＝45°，则点C的坐标为（0，6）或（0，﹣6）．【解答】解：在x轴的上方作等腰直角△ABF，FB＝FA，∠BAF＝90°，以F为圆心，FA为半径作⊙F交y轴于C，连接CB，CA．∵∠ACB=12∠∵B（﹣2，0），A（3，0），△ABF是等腰直角三角形，∴F（12，52），FA＝FB＝FC=522则（12）2+（52−m）2＝（5解得m＝6或﹣1（舍弃）∴C（0，6），根据对称性可知C′（0，﹣6）也符合条件，综上所述，点C的坐标为（0，6）或（0，﹣6）．故答案为（0，6）或（0，﹣6）．7．如图，等边△ABC中，AB＝23，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，求线段CP长的最小值2．【解答】解：以AB为边向左作等边三角形ABD，作△ABD使得外接圆⊙O．连接OC，OP．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵∠PAB＝∠PBC，∴∠PAB+∠PBA＝∠PBC+∠PBA＝∠ABC＝60°，∴∠APB＝120°，∵△ADB是等边三角形，∴∠D＝60°，∴∠D+∠APB＝180°，∴点P在⊙O上，∵AB＝23，O外心，∴OA＝OB＝2，OB平分∠ABD，∴∠ABO＝30°，∴∠OBC＝90°，∴OC=O∴PC≥OC﹣OP，∴PC≥2，∴PC的最小值为2，故答案为2．8．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，D点是△ABC所在平面上的一个动点，且∠BDC＝60°，则△DBC面积的最大值是33【解答】解：如图，作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝2，BC＝23，∴BH=12BC∴AH=2∴sin∠ABC=AH∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∠BAC＝120°，以A为圆心，AB为半径作⊙A，延长HA交⊙A于点D，∵∠BDC＝60°，∴点D在⊙O上运动，当D运动到如图的位置时，△DBC面积的最大值，最大值为：12故答案为：339．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形外一动点，且点E在CD的右侧，∠AED＝45°，P为AB的中点，当E运动时，线段PE的最大值为2+22．【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O，连接PO，EO，∵∠AED＝45°，∠ACD＝45°，∴A，C，E，D四点共圆，∵正方形ABCD的边长为4，∴OE＝OD=12BD＝2∵P为AB的中点，O是BD的中点，∴OP=12∵PE≤OP+OE＝2+22，∴当点O在线段PE上时，PE＝OP+OE＝2+22，即线段PE的最大值为2+22，故答案为：2+22．10．如图，点D为边长是43的等边△ABC边AB左侧一动点，不与点A，B重合的动点D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是163．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝43，∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°，∵∠ADB＝120°，∴∠ADB+∠ACB＝180°，∴四边形ACBD是圆内接四边形，∴OA＝OB=33AB∴⊙O直径为8．如图，作四边形ACBD的外接圆⊙O，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，∴CD＝CH，∠DAC＝∠HBC，∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠DAC+∠DBC＝180°，∴∠DBC+∠HBC＝180°，∴点D，点B，点H三点共线，∵DC＝CH，∠CDH＝60°，∴△DCH是等边三角形，∵四边形ADBC的面积S＝S△ADC+S△BDC＝S△CDH=34CD∴当CD最大时，四边形ADBC的面积最大，∴当CD为⊙O的直径时，CD的值最大，即CD＝8，∴四边形ADBC的面积的最大值为34CD2＝163故答案为：163．11．在等边三角形ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，AE与BD相交于点P．若△BCD的面积是123，BE＝6，∠APB＝120°，则△ABP的外接圆的半径长为833【解答】解：如图以A