电路 (第四版) 课件 第8章 二阶电路分析

第8章二阶电路分析8.1二阶电路的零输入响应8.2二阶电路的阶跃响应和冲激响应8.3一般二阶电路

8.1二阶电路的零输入响应

零输入响应是由储能元件的原始储能引起的响应。首先研究最简单的二阶电路,即RLC串联电路的零输入响应。设图8-1(a)所示电路已达稳态,开关S在t=0时打开,t≥0+时的电路如图8-1(b)所示,该电路为RLC串联的零输入电路。由图8-1(a)可以求出电路的初始条件,即

图8-1RLC串联电路的零输入响应

解该式,可以求出常数A1和A2,即

代入式(8-3)即可得出响应uC

。

例8-1在图8-1电路中,已知R1=R=10Ω,US=10V,L=0.16H和C=0.01F,求t≥0+时的uC

和i。图8-2例8-1的响应曲线

8.1.2临界阻尼响应

8.1.3欠阻尼响应

图8-3欠阻尼响应曲线

由分析知道,无论是过阻尼、欠阻尼还是临界阻尼的响应过程,电路中的原始储能都是逐渐衰减并最后到零。换句话说,电路中的储能均由电阻消耗了,因此,电阻的大小决定着暂态过程的长短。对于欠阻尼过程来说,如果令R=0,则α=0,于是式(8-9)变为

例8-2图8-4(a)所示电路已达稳态,在t=0时打开开关S,试求t≥0+时的电压uC

和电流i。图8-4例8-1图

8.2二阶电路的阶跃响应和冲激响应

对于二阶电路来说,当激励为阶跃函数时,所产生的响应称为阶跃响应;若激励为冲激函数,则响应称为冲激响应。

8.2.1二阶电路的阶跃响应

图8-5所示为阶跃电流源激励下的GLC并联电路。由阶跃函数的定义知,当t<0-时,电路中无储能,即电容和电感均处于零状态,所以有uC(0-)=0和iL(0-)=0。

当t≥0+时,根据KCL,有

8.2.2二阶电路的冲激响应

和一阶电路相同,如果二阶电路的激励为冲激函数,当冲激过后,冲激源所携带的能量就储存到储能元件上,电路的响应就是由该能量所引起的响应。冲激过后,电路中的外加激励为零,此时的响应就是零输入响应,即冲激响应。所以求冲激响应的首要任务是求冲激源能量的转移,即求电路的初始储能或初始状态,其次是求电路的零输入响应。

图8-6(a)所示为冲激电压源激励的RLC串联电路。由于是冲激激励,所以uC(0-)=0,i(0-)=0。根据7.6节的结论,电感对冲激相当于开路,电容对冲激相当于短路,则冲激作用在t=0时刻的等效电路如图8-6(b)所示,所以有

再根据电感元件的VCR,有

如图8-6

可见,冲激所携带的能量转移到了电感元件上,冲激使电感电流发生了跃变。由于在t=0时流过电容的电流为零,所以电容电压不可能跃变,则

t≥0+时的电路如图8-6(c)所示,该电路为RLC串联的零输入电路。若以uC

为变量,则该电路的响应就是8.1节所求的零输入响应,即根据特征根的不同冲激响应有三种不同的结果。此时的初始条件为

例8-3设电路为欠阻尼情况,试求图8-7(a)所示电路的冲激响应iL。图8-7例8-2图

8.3一般二阶电路

在实际中常常会遇到含有两个储能元件的任意二阶电路,将前面讨论的方法用于这样的电路,其分析的步骤与方法如下:

第一步:设方程变量,列出电路方程。对于动态电路来说方程变量必须是状态变量uC或iL,并用函数f(t)统一表示它们,然后根据KVL、KCL(或第3章的方法)以及支路上的VCR列出电路方程。零输入电路的方程为二阶齐次常微分方程,非零输入电路的方程是非齐次二阶微分方程。

第二步:确定初始条件如果电路中只有阶跃激励,则初始状态为零;如果电路只有冲激激励,则可通过求冲激源能量的转移结果得到初始状态。

第三步:求微分方程对应特征方程的特征根,确定电路自由(暂态)响应fn(t)的形式,即为过阻尼响应、临界阻尼响应或者欠阻尼响应。若电路是零输入或冲激激励,则利用初始条件求出响应中的两个未知常数便可以得出电路响应。

第四步:求出强制(稳态)响应。如果激励是直流,则强制(稳态)响应为

式中f(∞)为终值或稳态响应,可以通过电路直接求得。对于直流激励而言,在t→∞时,电容是开路的,电感是短路的。

第五步:求出全响应。因为全响应是强制(稳态)响应与自由(暂态)响应之和,根据式(8-16),即

可以由初始条件确定全响应中的两个未知常数,即可得出电路的全响应。

例8-4已知图8-8(a)所示电路已达稳态,t=0时闭合开关S,试求uC。图8-8-例8-3图

本章研究了含有两个储能元件的电路,描述这种电路的方程是二阶微分方程。由于电路参数的不同,特征方程的特征根有三种情况,即两个不相等的负实根、两个相等的负实

根和一对共轭复根。对应的电路响应分