新高考数学一轮复习讲练测专题5.1任意角和弧度制及任意角的三角函数（讲）解析版

专题5.1任意角和弧度制及任意角的三角函数新课程考试要求1.了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算.2.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（例1.5.6）、数学建模（例7.8）、直观想象（例7.8）、数学运算（多例）、数据分析等.考向预测（1）三角函数的定义；（2）扇形的面积、弧长及圆心角；（3）在大题中考查三角函数的定义，主要考查：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标．【知识清单】知识点1．象限角及终边相同的角1．任意角、角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．2.弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝eq\f(l,r)，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值eq\f(l,r)与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．若一个角的弧度数为α，角度数为n，则αrad＝(eq\f(180α,π))°，n°＝n·eq\f(π,180)rad．知识点2．三角函数的定义1.任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么（1）点P的纵坐标叫角α的正弦函数，记作sinα＝y；（2）点P的横坐标叫角α的余弦函数，记作cosα＝x；（3）点P的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作tanα＝eq\f(y,x).它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数y＝sinx，x∈R；余弦函数y＝cosx，x∈R；正切函数y＝tanx，x≠eq\f(π,2)＋kπ（k∈Z）．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦知识点3．扇形的弧长及面积公式(1)弧长公式在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角大小为α，则|α|＝eq\f(l,r)，变形可得l＝|α|r，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度．(2)扇形面积公式由圆心角为1rad的扇形面积为eq\f(πr2,2π)＝eq\f(1,2)r2，而弧长为l的扇形的圆心角大小为eq\f(l,r)rad，故其面积为S＝eq\f(l,r)×eq\f(r2,2)＝eq\f(1,2)lr，将l＝|α|r代入上式可得S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2，此公式称为扇形面积公式．(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示名称角度制弧度制弧长公式l＝eq\f(nπr,180)l＝__|α|r__扇形面积公式S＝eq\f(nπr2,360)S＝eq\f(|α|,2)r2＝eq\f(1,2)lr注意事项r是扇形的半径，n是圆心角的角度数r是扇形的半径，α是圆心角的弧度数，l是弧长【考点分类剖析】考点一象限角及终边相同的角【典例1】（2021·赤峰二中高三月考（理））若角SKIPIF1<0的终边与240°角的终边相同，则角SKIPIF1<0的终边所在象限是（）A．第二或第四象限 B．第二或第三象限C．第一或第四象限 D．第三或第四象限【答案】A【解析】写出SKIPIF1<0的表达式，计算SKIPIF1<0后可确定其终边所在象限．【详解】由题意SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0在第二象限，当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0在第四象限．故选：A．【规律方法】象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．【变式探究】（2021·上海高一课时练习）设与SKIPIF1<0终边相同的角的集合为M，则①SKIPIF1<0；②M中最小正角是SKIPIF1<0；③M中最大负角是SKIPIF1<0，其中正确的有____________.（选填序号）【答案】①②③【解析】先将角化为SKIPIF1<0的结构即可判断①是否正确，再适当地取k的值可以判断②和③是否正确.【详解】因为SKIPIF1<0，所以①正确，令k=0，可得②正确；令k=-1，可得③正确.故答案为：①②③.【总结提升】象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示(1)象限角：象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}(2)轴线角：角的终边的位置集合表示终边落在x轴的非负半轴上{α|α＝k·360°，k∈Z}终边落在x轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}终边落在y轴的非负半轴上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}终边落在y轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}终边落在y轴上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}终边落在x轴上{α|α＝k·180°，k∈Z}终边落在坐标轴上{α|α＝k·90°，k∈Z}考点二三角函数的定义【典例2】（2021·西安市经开第一中学高三其他模拟（理））若点SKIPIF1<0在角SKIPIF1<0的终边上，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】本题首先可根据题意得出SKIPIF1<0，然后根据二倍角公式得出结果.【详解】因为点SKIPIF1<0在角SKIPIF1<0的终边上，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选：B.【典例3】（2021·重庆市长寿中学校高三其他模拟）角SKIPIF1<0终边上有一点SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】结合三角函数的定义确定正确选项.【详解】角SKIPIF1<0终边上有一点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充要条件.故选：C【典例4】（江西高考真题）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则y=_______.【答案】-8【解析】根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角.=【规律方法】1.已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解．2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．【变式探究】1.（2021·黑龙江高三其他模拟（理））已知点SKIPIF1<0是角SKIPIF1<0的终边与单位圆的交点，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】依题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，进而由二倍角公式可得SKIPIF1<0.【详解】依题意，由任意角三角函数的定义可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.2.已知角α的终边过点P−3,−8m,且sinα=−45A.−12B.12C.【答案】B【解析】由题意可知，OP=−8m∵cosα=−45可得−8m即100m2=9+64m23．已知角α的终边在射线y=−3xx≥0上，则sinA.−310B.1010C.【答案】A【解析】由题得α在第四象限,且tanα=−3所以sin故答案为：A.【总结提升】(1)已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sinα＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，余弦值cosα＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，正切值tanα＝eq\f(a,b)．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．考点三：三角函数值的符号判定【典例5】（2021·全国高一专题练习）若SKIPIF1<0，则角SKIPIF1<0是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【解析】根据已知直接判断即可.【详解】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0是第三象限或第四象限角，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0是第二象限或第四象限角，故角SKIPIF1<0是第四象限角.故选：D.【典例6】（2021·吉林吉林市·高三其他模拟（理））已知SKIPIF1<0是第二象限角，则（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由已知结合三角函数的定义及象限角的范围，及正弦的二倍角公式判断即可.【详解】由SKIPIF1<0是第二象限角，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：C【总结提升】判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解．【变式探究】1.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，则实数a的取值范围是()A．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]【答案】A【解析】∵，∴角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．∴∴.故选A.2.已知sinθ>0且cosθ<0，则角A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】依据题设及三角函数的定义可知角θ终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，所以终边在第二象限，应选答案B.考点四：扇形的弧长及面积公式

【典例7】（2021·江苏南通市·高三其他模拟）《掷铁饼者》取材于希腊现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在挪铁饼的过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为SKIPIF1<0，掷铁饼者双手之间的距离约为SKIPIF1<0，“弓”所在圆的半径约为SKIPIF1<0，则挪铁饼者的肩宽约为___________SKIPIF1<0.(精确到SKIPIF1<0)【答案】SKIPIF1<0【解析】由求出圆弧所对圆心角的大小，再由弧长公式即可求得.【详解】如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，△AOB中，过O作OM⊥AB于M，则M是弦AB中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，“弓”所在的弧长SKIPIF1<0，所以其肩宽为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【典例8】（2021·广东佛山市·高三其他模拟）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝SKIPIF1<0（弦SKIPIF1<0矢＋SKIPIF1<0），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为SKIPIF1<0，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约为___________平方米（精确到1平方米，参考数据SKIPIF1<0【答案】9【解析】读懂题意，理解“弦”、“矢”的含义，求出圆心角为SKIPIF1<0，半径等于4米的“弦”、“矢”，根据题中的公式弧田面积＝SKIPIF1<0（弦SKIPIF1<0矢＋SKIPIF1<0）计算即可得出答案.【详解】根据题意SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则弦为SKIPIF1<0，矢为SKIPIF1<0,所以弧田面积约为SKIPIF1<0.故答案为：9【典例9】（2021·浙江高一期末）已知一扇形的周长为SKIPIF1<0，当这个扇形的面积最大时，半径SKIPIF1<0的值为_________________．【答案】SKIPIF1<0【解析】根据题意得到面积关于半径SKIPIF1<0的函数关系式，利用二次函数知识可求得结果.【详解】因为扇形的周长为SKIPIF1<0，所以扇形的弧长SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以扇形的面积SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【总结提升】1.(1)弧度制下l＝|α|·r，S＝eq\f(1,2)lr，此时α为弧度．扇形面积公式12lr=12αr2，扇形中弦长公式2rsinα2，扇形弧长公式l=αr.在角度制下，弧长l＝eq\f(nπr,180)，扇形面积S＝eq\f(nπr2,360)，此时n(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．2.当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S转化为r的函数，函数思想、转化为方程的思想是解决数学问题的常用思想．【变式探究】1.（2021·全国高三其他模拟（理））中国传统扇文化有着深厚的底蕴，一般情况下，折扇可以看做是从一个圆形中前下的扇形制作而成的，当折扇所在扇形的弧长与折扇所在扇形的周长的比值为SKIPIF1<0时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的圆心角的弧度数为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设扇形的弧长为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，圆心角的弧度数为SKIPIF1<0，由扇形的弧长与折扇所在扇形的周长的比得出SKIPIF1<0，即得出所求.【详解】设扇形的弧长为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，圆心角的弧度数为SKIPIF1<0，由题意得SKIPIF1<0，变形可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以折扇所在扇形的圆心角的弧度数为SKIPIF1<0．故选：A.2．（2021·安徽合肥市·高三三模（理））在平面直角坐标系中，已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当t由SKIPIF1<0变化到SKIPIF1<0时，线段SKIPIF1