双曲线专练-2024届高三数学一轮复习

双曲线1.已知双曲线（，）的一条渐近线的方程为，左焦点在直线上，A，B分别是左、右顶点，点P为右支上位于第一象限的动点，直线PA，PB的斜率分别为，，则的取值范围为()A. B. C. D.2.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线分别交双曲线C的两条渐近线于M，N两点，O为坐标原点.若点M是线段的中点，且，则()A.1 B. C.2 D.3.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作一条渐近线的平行线，且与另一条渐近线交于点P，连接.若，则双曲线C的离心率为()A. B. C. D.4.双曲线(，)的左、右焦点分别为，.过作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为()A. B. C. D.5.设O为坐标原点，，为双曲线的左、右焦点，经过原点O的直线与双曲线交于P，Q两点，且，则四边形的面积为()A. B. C. D.6.已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线C交于P，Q两点，且，，则当取得最小值时，双曲线C的离心率为()A.3 B. C.2 D.7.已知，是双曲线（，）的左，右焦点，点P在E上，D是线段上的点，若，，，则当面积最大时，双曲线E的方程是()A. B.C. D.8.双曲线的下焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，若过A，B和点的圆的圆心在x轴上，则直线l的斜率为()A. B. C. D.9.（多选）已知双曲线C过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是()A.双曲线C的方程为B.双曲线C的离心率为C.曲线经过双曲线C的一个焦点D.焦点到渐近线的距离为110.（多选）已知，是双曲线的左右焦点，过的斜率存在且不为0的直线l与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，则下列说法正确的是()A.双曲线的渐近线方程为 B.双曲线的焦距为C.若，则或9 D.OP与AB的斜率满足11.（多选）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若，则()A.B.双曲线的离心率C.双曲线的渐近线方程为D.原点O在以为圆心，为半径的圆上12.（多选）已知双曲线的左，右顶点分别为A，B，左，右焦点分别为，，点P是双曲线C的右支上一点，且三角形为正三角形(O为坐标原点)，记PA，PB的斜率分别为，，设I为的内心，记，，的面积分别为，，，则下列说法正确的是()A. B.双曲线C的离心率为C. D.13.已知双曲线，(，)的两个焦点分别为，，过x轴上方的焦点的直线与双曲线上支交于M，N两点，以为直径的圆经过点M，若，，成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为__________.14.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过的直线与圆相切，且与双曲线的左支交于x轴上方的一点P，当时，直线的斜率为__________.15.设双曲线的右焦点为，点A满足，点P、Q在双曲线上，且.若直线PQ，PF的斜率之积为，则双曲线的离心率为_________.16.已知双曲线的离心率，点，分别是它的下焦点和上焦点，若P为该双曲线上支上的一个动点，则与P到一条渐近线的距离之和的最小值为________.17.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，点，且的面积为.（1）求双曲线C的标准方程；（2）直线交x轴于点B，与双曲线C的左、右两支分别交于点E，F（不同于点A），记直线AE，AF分别与直线交于点M，N，证明：B是MN的中点.18.已知双曲线的右顶点为A，右焦点为F，点F到E的一条渐近线的距离为，动直线l与E在第一象限内交于B，C两点，连接AB，AC.（1）求E的方程；（2）若，证明：动直线l过定点.19.设A，B为双曲线（，）的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，为等腰直角三角形.（1）求双曲线C的离心率；（2）已知，若直线AM，AN分别交直线于P，Q两点，若为x轴上的动点，当直线l的倾斜角变化时，若为锐角，求t的取值范围.20.已知双曲线的右焦点为F，过点F的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点.(1)若直线AB的斜率为1，求线段AB的中点坐标；(2)若点，在双曲线C的右支上，且，，，过点P且斜率为的直线与过点Q且斜率为的直线交于线段AB上一点M，且，求实数的值.

答案以及解析1.答案：D解析：由双曲线的一条渐近线方程为，得，在中，令，得，故左焦点为，则，结合得，，故，，设，，，则，因为P在第一象限，故，，则，显然，故等号不成立，即.故选D.2.答案：D解析：易知OM是的中位线，所以，由，得，从而是等腰三角形，，又，所以，即渐近线的倾斜角为，因此.故选D.3.答案：A解析：由条件知，，.不妨设过点且与一条渐近线平行的直线的方程为.联立得方程组解得即，所以，.因为，所以，解得.所以双曲线C的离心率.故选A.4.答案：D解析：通解：不妨取渐近线，此时直线的方程为，与联立并解得，即.因为直线与渐近线垂直，所以的长度即为点到直线(即)的距离，由点到直线的距离公式得，所以.因为，，且直线的斜率为，所以，化简得，又，，所以，整理得，即，解得.所以双曲线的方程为，故选D.优解：因为过点向其中一条渐近线作垂线，垂足为P，且，所以，再结合选项，排除选项B，C；若双曲线方程为，则，，渐近线方程为，不妨取渐近线，则直线的方程为，与渐近线方程联立，得，则，又直线的斜率为，所以双曲线方程不符合题意，排除A，故选D.5.答案：D解析：由双曲线的对称性，不妨设P在右支上，则有，又，可得，，又，所以，由于，进而，又与的面积相等，故四边形的面积为.故选D.6.答案：D解析：不妨设P位于第一象限，双曲线C的右焦点为，连接，，O为中点，四边形为平行四边形，，；设，，则，由得：，解得：；在中，，，（当且仅当时取等号），当取得最小值时，双曲线C的离心率.故选：D.7.答案：C解析：如图所示，（已知条件集中在和中，且和互补，考虑在两个三角形内用余弦定理求解）设，，，，则，，在中，由余弦定理得①，在中，由余弦定理得②，得③，（两角互补，余弦值互为相反数，通过两式相加化简）在中，由余弦定理得④，③④联立消去x得，因为，所以当面积最大时，mn最大，由基本不等式可得，当且仅当，即，时等号成立，mn取得最大值，为24.此时由④解得，所以，在双曲线中有解得所以双曲线E的方程为.故选C.8.答案：B解析：由题意可知：，设，，AB的中点为P，过点A，B，M的圆的圆心坐标为，则，由题意知：直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为：，联立方程组，消元可得：，则，，由韦达定理可得：，，解法一：所以AB的中点P的坐标，则，由圆的性质可知：圆心与弦中点连线的斜率垂直于弦所在的直线，所以，整理可得：，则圆心到直线AB的距离，由弦长公式可得：，由垂径定理可得：，也即，将（*）代入可得：，即，整理可得：，则，因为，所以，则.解法二：由，化简得，又，所以，同理，所以，是方程的两个根，所以，又，所以，所以所以，则.故选：.9.答案：ACD解析：设双曲线C的方程为，将点代入可得①，因为渐近线方程为，所以②.由①②解得，，故双曲线的方程为，A正确；由A可知，，，所以离心率，B错误；双曲线的焦点坐标为，其中满足，C正确；焦点到渐近线的距离为，D正确.故选ACD.10.答案：BD解析：根据题意可得，，则，，则，，则对于A，双曲线的渐近线方程为，即，故错误；对于B，双曲线的焦距为，故正确；对于C，由双曲线的定义可得，且，则或又因为，故应该舍去，所以，故C错误；对于D，设，，则将A，B坐标代入双曲线方程可得，两式相减作差可得变形可得，即，且，，所以，故正确.故选：BD11.答案：ABC解析：设，则.由双曲线的定义知，即，，即，，，故A中说法正确；在中，，则在中，，化简并整理，得，离心率，故B中说法正确；双曲线的渐近线方程为，故C中说法正确；若原点O在以为圆心，为半径的圆上，则，即，与不符，故D中说法错误.故选ABC.12.答案：ABD解析：因为为正三角形，所以所以，所以故A正确将P点坐标代入双曲线方程可得即即即即设()，则解之得：或(舍)所以，所以故B正确故C错误设的内切圆半径为r，则，，所以，即，故D正确故选：ABD13.答案：解析：由双曲线的定义，，，，，令，在中，，，，，，，又在中，，，又，，，.14.答案：解析：设直线与圆相切于点D，连接DO，过点作于E，则，，，由点P位于双曲线的左支，可得，在等腰中，，则，，即，解得或（舍），故，则直线的斜率为.15.答案：解析：如图，取P，Q的中点为M，连接OM，PF，则由题意可得，，，所以，相似，所以，因为直线PQ，PF的斜率之积为，所以，设，，则，且，两式相减可得，即，即，即，所以双曲线的离心率为.故答案为：.16.答案：5解析：双曲线的离心率所以，解得，所以，双曲线，由，的双曲线的渐近线方程为由为该双曲线上支上的一个动点，根据双曲线的定义可得：所以，设点P到渐近线的距离为d则，过作渐近线的垂线，垂足为M，如图.所以所以同理与到渐近线的距离之和的最小值为5故答案为：517.答案：（1）（2）证明见解析解析：（1）由题知解得双曲线C的标准方程为.（2）证明：将代入，可得.设，，则，，则，.直线AE的方程为，令，得；直线AF的方程为，令，得.，，，即B是MN的中点.18.答案：（1）（2）证明见解析解析：（1）由题可得，双曲线E为等轴双曲线，故其一条渐近线方程为，，则点F到E的一条渐近线的距离，所以，所以E的方程为.（2）证明：根据题意，直线l的斜率一定存在，所以设直线，，，由（1）可得，，因为动直线l与E在第一象限内交于B，C两点，所以.联立消去y整理得，则，由根与系数的关系得，，.由斜率定义得，，.因为，所以，化简得，，即，变形得，，①将，代入①整理可得，，②将，代入②得，，化简得，，即，解得或.当时，直线，此时直线l过点，不符合题意；当时，直线，此时直线l过点.综上，动直线l过定点.19.答案：（1）2（2）或解析：（1）易知右焦点，将代入，得，当直线l垂直于x轴时，为等腰直角三角形，此时，即，整理得，因为，所以，方程两边同除以得，解得或（舍去），所以双曲线C的离心率为2.（2）因为，所以，因为，所以，故，所以双曲线的方程为.当直线l的斜率存在时，设其方程为，与双曲线方程联立，消y得，设，，则，，则，因为直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，所以，，解得，直线，则，同理可求得，所以，，因为为锐角，所以，即，所以，所以，即，解得或.当直线l的斜率不存在时，将代入双曲线方程可得，此时不妨设，，此时直线，点P