新教材适用2023-2024学年高中数学第5章三角函数5.3诱导公式第2课时诱导公式(二)学案新人教A版必修第一册

第2课时诱导公式(二)学习目标1．了解公式五和公式六的推导方法．2．灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．核心素养1．借助诱导公式求值，培养数学运算素养．2．通过诱导公式进行化简和证明，提升逻辑推理素养．知识点诱导公式五、六公式五公式六终边关系角eq\f(π,2)－α与角α的终边关于直线y＝x对称角eq\f(π,2)＋α与角α的终边垂直图形公式sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝_cos_α_，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝_sin_α_sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝_cos_α_，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝_－sin_α_提醒：诱导公式五、六反映的是角eq\f(π,2)±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．想一想：如何由公式四及公式五推导公式六？提示：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝－sinα.练一练：1．已知sinα＝eq\f(3,5)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))的值为(D)A．eq\f(3,5) B．－eq\f(4,5)C．eq\f(4,5) D．±eq\f(4,5)[解析]∵sinα＝eq\f(3,5)，∴cosα＝±eq\f(4,5)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα＝±eq\f(4,5)，故选D．2．下列与sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))的值相等的式子为(D)A．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ)) B．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))C．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ)) D．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))[解析]sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝－cosθ.对于A，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝cosθ；对于B，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝－sinθ；对于C，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝－sinθ；对于D，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝－cosθ.故选D．3．化简：eq\f(sin(π－α)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))cos(π＋α),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α)))＝_－sin_α_.[解析]∵eq\f(3,2)π－α＝π＋eq\f(π,2)－α，eq\f(3,2)π＋α＝π＋eq\f(π,2)＋α，∴原式＝eq\f(sinα(－sinα)(－cosα),(－cosα)·sinα)＝－sinα.题型探究题型一利用诱导公式化简求值典例1(1)已知cos31°＝m，则sin239°tan149°的值是(B)A．eq\f(1－m2,m) B．eq\r(1－m2)C．－eq\f(1－m2,m) D．－eq\r(1－m2)(2)已知cos(60°＋α)＝eq\f(1,3)，且－180°<α<－90°，则cos(30°－α)的值为(A)A．－eq\f(2\r(2),3) B．eq\f(2\r(2),3)C．－eq\f(\r(2),3) D．eq\f(\r(2),3)[解析](1)sin239°tan149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin59°(－tan31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝eq\r(1－cos231°)＝eq\r(1－m2).故选B．(2)由－180°<α<－90°，得－120°<60°＋α<－30°.又cos(60°＋α)＝eq\f(1,3)>0，所以－90°<60°＋α<－30°，即－150°<α<－90°，所以120°<30°－α<180°，cos(30°－α)<0，所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－eq\r(1－cos2(60°＋α))＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝－eq\f(2\r(2),3).故选A．[归纳提升]利用诱导公式化简、求值的策略(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解．(2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围．(3)常见的互余关系：eq\f(π,3)－α与eq\f(π,6)＋α，eq\f(π,4)＋α与eq\f(π,4)－α等．对点练习❶(1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,2)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))的值为eq\f(1,2)_；(2)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝eq\f(1,2)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)π＋α))的值为－eq\f(1,2)_.[解析](1)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,2).(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(π,3)＋α))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝－eq\f(1,2).题型二三角恒等式的证明典例2求证：eq\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3,2)π))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2(π＋θ))＝eq\f(tan(9π＋θ)＋1,tan(π＋θ)－1).[分析][证明]左边＝eq\f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－θ))·(－sinθ)－1,1－2sin2θ)＝eq\f(2sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))))sinθ－1,1－2sin2θ)＝eq\f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))sinθ－1,1－2sin2θ)＝eq\f(－2cosθsinθ－1,cos2θ＋sin2θ－2sin2θ)＝eq\f((sinθ＋cosθ)2,sin2θ－cos2θ)＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ).右边＝eq\f(tan(9π＋θ)＋1,tan(π＋θ)－1)＝eq\f(tanθ＋1,tanθ－1)＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ).∴左边＝右边，故原式得证．[归纳提升]证明三角恒等式的策略(1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，应遵循化繁为简的原则．(2)常用的方法：定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“1”的代换法．对点练习❷求证：eq\f(sin(θ－5π)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ)),cos(3π－θ)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))sin(－4π－θ))＝－1.[证明]左边＝eq\f(－sin(5π－θ)sinθcosθ,cos(π－θ)sinθ[－sin(4π＋θ)])＝eq\f(－sin(π－θ)sinθcosθ,－cosθsinθ(－sinθ))＝eq\f(－sinθ,sinθ)＝－1＝右边，故原式得证．题型三诱导公式的综合运用典例3若α的终边与单位圆交于点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(\r(15),4)))，且α为第二象限角，试求eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))),sin(π＋α)－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＋1)的值．[解析]由题意知m2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),4)))2＝1，解得m2＝eq\f(1,16)，因为α为第二象限角，故m<0，所以m＝－eq\f(1,4)，所以sinα＝eq\f(\r(15),4)，cosα＝－eq\f(1,4).原式＝eq\f(－cosα,(－sinα)－(－cosα)＋1)＝eq\f(\f(1,4),－\f(\r(15),4)－\f(1,4)＋1)＝－eq\f(3＋\r(15),6).[归纳提升]诱导公式综合应用要“三看”一看角：(1)化大为小；(2)看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．二看名：一般是弦切互化．三看形：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．对点练习❸已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(2\r(2),3))).(1)求tanα的值；(2)求eq\f(\r(2)sin(π－α)＋sin(\f(π,2)＋α),3\r(2)cos(－α)－sin(π＋α))的值．[解析](1)由题得m2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)))2＝1，所以m＝±eq\f(1,3)，因为角α的终边在第二象限，所以m＝－eq\f(1,3).所以tanα＝eq\f(\f(2\r(2),3),－\f(1,3))＝－2eq\r(2).(2)eq\f(\r(2)sin(π－α)＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),3\r(2)cos(－α)－sin(π＋α))＝eq\f(\r(2)sinα＋cosα,3\r(2)cosα＋sinα)＝eq\f(\r(2)tanα＋1,3\r(2)＋tanα)＝eq\f(\r(2)×(－2\r(2))＋1,3\r(2)－2\r(2))＝－eq\f(3\r(2),2).误区警示对诱导公式理解不透彻而致错典例4已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(1,4)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－x))＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝eq\f(19,16)_.[错解]∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(1,4)，∴coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(1,4)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－x))＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))))＋1－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋1－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝－eq\f(1,4)＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2))＝eq\f(11,16).[错因分析]在利用诱导公式sin(π－α)时，没能正确利用“符号看象限”来判断符号．[正解]∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(1,4)，∴coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(1,4)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－x))＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))))＋1－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋1－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝eq\f(1,4)＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al