新教材适用2023-2024学年高中数学第4章指数函数与对数函数4.1指数4.1.1n次方根与分数指数幂学案新人教A版必修第一册

4．1.1n次方根与分数指数幂学习目标1．理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．2．能利用根式的性质对根式进行运算．3．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．核心素养1．通过学习n次方根、根式，培养数学抽象素养．2．借助根式的性质对根式进行运算，培养数学运算素养．3．通过理解分数指数幂的含义提升数学抽象素养.知识点1n次方根1．a的n次方根的定义一般地，如果_xn＝a_，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2．a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数eq\r(n,a)_Rn为偶数±eq\r(n,a)_[0，＋∞)想一想：正数a的n次方根一定有两个吗？提示：不一定．当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数，当n为奇数时，正数a的n次方根只有一个且仍为正数．练一练：1．27的立方根是_3_.2．4的平方根是_±2_.知识点2根式1．根式的定义式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做_根指数_，a叫做_被开方数_.2．根式的性质(n>1，且n∈N*)(1)负数没有_偶次_方根．(2)0的任何次方根都是0，即eq\r(n,0)＝_0_.(3)(eq\r(n,a))n＝_a_.(4)n为奇数时，eq\r(n,an)＝_a_.(5)n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a_，a≥0，,－a_，a<0.))想一想：(eq\r(n,a))n与eq\r(n,an)中的字母a的取值范围是否一样？提示：取值范围不同．式子(eq\r(n,a))n中隐含a是有意义的，若n为偶数，则a≥0，若n为奇数，a∈R；式子eq\r(n,an)中，a∈R.练一练：1.eq\r(3,－8)等于(B)A．2 B．－2C．±2 D．－8[解析]eq\r(3,－8)＝eq\r(3,(－2)3)＝－2.2．下列各式正确的是(A)A．(eq\r(3,a))3＝a B．(eq\r(4,7))4＝－7C．(eq\r(5,a))5＝|a| D．eq\r(6,a6)＝a[解析](eq\r(3,a))3＝a，(eq\r(4,7))4＝7，(eq\r(5,a))5＝a，eq\r(6,a6)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a(a≥0),－a(a<0)))，故选A.知识点3分数指数幂的意义(a>0，m，n∈N*，且n>1)正分数指数幂负分数指数幂0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义提醒：1.分数指数幂不可理解为eq\f(m,n)个a相乘，它是根式的一种写法．2．把根式eq\r(n,am)化成分数指数幂的形式时，不要轻易对eq\f(m,n)进行约分．练一练：可化为(C)[解析]知识点4有理数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈Q)(1)aras＝_ar＋s_.(2)(ar)s＝_ars_.(3)(ab)r＝_arbr_.[拓展](1)ar÷as＝ar－s；(2)eq\f(ar,br)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))r.练一练：1．若a>0，n，m为实数，则下列各式中正确的是(D)[解析]由指数幂的运算法则知1÷an＝a0÷an＝a0－n正确，故选D.2．＝eq\f(\r(3),3)_.[解析]题型探究题型一n次方根的概念典例1(1)16的平方根为_±4_，－27的5次方根为eq\r(5,－27)_；(2)已知x7＝6，则x＝eq\r(7,6)_；(3)等式eq\r((a－3)(a2－9))＝(3－a)eq\r(a＋3)成立的实数a的取值范围是_a∈[－3,3]_.[分析]解答此类问题应明确n次方根中根指数对被开方数的要求及n次方根的个数要求．[解析](1)∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为eq\r(5,－27).(2)∵x7＝6，∴x＝eq\r(7,6).(3)eq\r((a－3)(a2－9))＝eq\r((a－3)2(a＋3))＝|a－3|eq\r(a＋3)，要使|a－3|eq\r(a＋3)＝(3－a)eq\r(a＋3)成立，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3≤0，,a＋3≥0，))解得a∈[－3,3]．[归纳提升](1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数；(2)(eq\r(n,a))n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定．对点练习❶计算下列各值：(1)256的4次算术方根是_4_；(2)32的5次方根是_2_.(3)设3<a<5，则eq\r((3－a)2)＋eq\r(6,(5－a)6)＝_2_.[解析](1)∵(±4)4＝256，∴256的4次算术方根为4.(2)∵25＝32，∴32的5次方根为2.(3)由于3<a<5，所以3－a<0,5－a>0，所以eq\r((3－a)2)＋eq\r(6,(5－a)6)＝|3－a|＋|5－a|＝a－3＋5－a＝2.题型二利用根式的性质化简或求值典例2化简：(1)eq\r(4,(3－π)4)；(2)eq\r((a－b)2)(a>b)；(3)(eq\r(a－1))2＋eq\r((1－a)2)＋eq\r(3,(1－a)3).[解析](1)eq\r(4,(3－π)4)＝|3－π|＝π－3.(2)eq\r((a－b)2)＝|a－b|＝a－b.(3)由题意知a－1≥0，即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.[归纳提升]n为奇数时，(eq\r(n,a))n＝eq\r(n,an)＝a，a为任意实数均可；n为偶数时，a≥0，(eq\r(n,a))n才有意义，且(eq\r(n,a))n＝a，而a为任意实数eq\r(n,an)均有意义，且eq\r(n,an)＝|a|.对点练习❷求下列各式的值：(1)eq\r(7,(－2)7)；(2)eq\r(4,(3a－3)4)(a≤1)；(3)eq\r(3,a3)＋eq\r(4,(1－a)4).[解析](1)eq\r(7,(－2)7)＝－2.(2)eq\r(4,(3a－3)4)＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a.(3)eq\r(3,a3)＋eq\r(4,(1－a)4)＝a＋|1－a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，a≤1，,2a－1，a>1.))题型三根式与分数指数幂的互化典例3(1)用根式的形式表示下列各式(x>0)．(2)把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0.①eq\r(5,a6)；②eq\f(1,\r(3,a2))；③eq\r(4,\f(b3,a2))；④eq\r((－a)6).[解析](1)(2)①eq\r(5,a6)＝aeq\f(6,5).[归纳提升]根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．对点练习❸(1)化简的结果是(A)A.eq\f(3,5) B．eq\f(5,3)C．3 D．5(2)用分数指数幂表示下列各式：①eq\r(\f(b3,a)·\r(\f(a2,b6)))(a>0，b>0)；②eq\r(a－4b2\r(3,ab2))(a>0，b>0)．[解析](2)①eq\r(\f(b3,a)·\r(\f(a2,b6)))＝eq\r(\f(b3,a)·\f(a,b3))＝1.题型四利用分数指数幂的运算性质化简求值典例4(1)计算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(3,5)))0＋2－2·－(0.01)0.5＝eq\f(16,15)_；(2)化简：eq\r(3,a\f(7,2)\r(a－3))÷eq\r(\r(3,a－8)\r(3,a15))÷eq\r(3,\r(a－3)\r(a－1)).[分析]将根式化为分数指数幂的形式，利用分数指数幂的运算性质计算．[解析](1)原式＝1＋eq\f(1,4)×＝1＋eq\f(1,6)－eq\f(1,10)＝eq\f(16,15).[归纳提升]1.幂的运算的常规方法(1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数．(2)化根式为分数指数幂．(3)化小数为分数．2．分数指数幂及根式化简结果的具体要求利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数．对点练习❹计算下列各式(式中字母均为正数)．[解析](1)原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)))))(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝eq\f(5,2)－1＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,8)＝eq\f(27,16).1．已知x5＝6，则x等于(B)A.eq\r(6) B．eq\r(5,6)C．－eq\r(5,6) D．±eq\r(5,6)[解析]由根式的定义知，x5＝6，x＝eq\r(5,6)，选B.2．若2＜a＜3，化简eq\r((2－a)2)＋eq\r(4,(3－a)4)的结果是(C)A．5－2a B．2a－5C．1 D．－1[解析]由于2＜a＜3，所以2－a＜0,3－a＞0，所以原式＝a－2＋3－a＝1，故选C.3．(多选题)下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是(BC)[解析]对于A，