河北省保定市重点初中2023-2024学年高一数学第一学期期末达标检测试题含解析

河北省保定市重点初中2023-2024学年高一数学第一学期期末达标检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．若函数唯一的一个零点同时在区间、、、内，那么下列命题中正确的是A.函数在区间内有零点B.函数在区间或内有零点C.函数在区间内无零点D.函数在区间内无零点2．已知，都是正数，则下列命题为真命题的是（）A.如果积等于定值，那么当时，和有最大值B.如果和等于定值，那么当时，积有最小值C.如果积等于定值，那么当时，和有最小值D.如果和等于定值，那么当时，积有最大值3．设函数，其中，，，都是非零常数，且满足，则（）A. B.C. D.4．已知函数则的值为（）A. B.C.0 D.15．过点且与直线垂直的直线方程为A. B.C. D.6．在长方体中，，，则该长方体的外接球的表面积为A. B.C. D.7．函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则的值是（）A. B.C. D.8．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是A①和② B.②和③C.③和④ D.②和④9．已知关于的方程的两个实数根分别是、，若，则的取值范围为（）A. B.C. D.10．定义在上的奇函数满足，且当时，，则方程在上的所有根的和为（）A. B.C. D.11．已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.12．已知函数的图像是连续的，根据如下对应值表：x1234567239-711-5-12-26函数在区间上的零点至少有（）A.5个 B.4个C.3个 D.2个二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20cm，则扇形的周长为___cm.14．用表示a，b中的较小者，则的最大值是____.15．“”是“”的______条件（请从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选择一个填）16．已知函数则的值为_______三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知函数.(1)解关于不等式；(2)若对于任意，恒成立，求的取值范围.18．已知定义域为的函数是奇函数（1）求实数，的值；（2）判断的单调性，并用单调性的定义证明；（3）当时，恒成立，求实数的取值范围19．如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形,PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动（Ⅰ）求三棱锥E-PAD的体积;（Ⅱ）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（Ⅲ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF20．已知关于的不等式（Ⅰ）解该不等式；（Ⅱ）定义区间的长度为，若，求该不等式解集表示的区间长度的最大值21．已知函数（是常数）是奇函数，且满足.（1）求的值；（2）试判断函数在区间上的单调性并用定义证明.22．设集合存在正实数，使得定义域内任意x都有.（1）若，证明；（2）若，且，求实数a的取值范围；（3）若，，且、求函数的最小值.

参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、D【解析】有题意可知，函数唯一的一个零点应在区间内，所以函数在区间内无零点考点：函数的零点个数问题2、D【解析】根据基本不等式计算求出和的最小值与积的最大值，进而依次判断选项即可.【详解】由题意知，，A：，则，当且仅当时取到等号，所以有最小值，故A错误；B：，则，当且仅当时取到等号，所以有最大值，故B错误；C：，则，当且仅当时取到等号，所以有最小值，故C错误；D：，则，有，当且仅当时取到等号，所以有最大值，故D正确；故选：D3、C【解析】代入后根据诱导公式即可求出答案【详解】解：由题，∴，∴，故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题4、D【解析】根据分段函数解析式及指数对数的运算法则计算可得；【详解】解：因为，所以，所以，故选：D5、D【解析】所求直线的斜率为，故所求直线的方程为，整理得，选D.6、B【解析】由题求出长方体的体对角线，则外接球的半径为体对角线的一半，进而求得答案【详解】由题意可得，长方体体对角线为，则该长方体的外接球的半径为，因此，该长方体的外接球的表面积为.【点睛】本题考查外接球的表面积，属于一般题7、D【解析】由正切函数的性质，可以得到函数的周期，进而可以求出解析式，然后求出即可【详解】由题意知函数的周期为，则，所以，则.故选D.【点睛】本题考查了正切函数的性质，属于基础题8、D【解析】利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择【详解】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．综上，真命题是②④.故选D【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题9、D【解析】利用韦达定理结合对数的运算性质可求得的值，再由可求得实数的取值范围.【详解】由题意，知，因为，所以.又有两个实根、，所以，解得.故选：D.10、D【解析】首先由题所给条件计算函数的周期性与对称性，作出函数图像，在上的所有根等价于函数与图像的交点，从两函数的交点找到根之间的关系，从而求得所有根的和.【详解】函数为奇函数，所以，则的对称轴为：，由知函数周期为8，作出函数图像如下：在上的所有根等价于函数与图像的交点，交点横坐标按如图所示顺序排列，因为，，所以两图像在y轴左侧有504个交点，在y轴右侧有506个交点，故选：D【点睛】本题考查函数的图像与性质，根据函数的解析式推出周期性与对称性，考查函数的交点与方程的根的关系，属于中档题.11、C【解析】求解不等式化简集合，，再由题意可得，由此可得的取值范围【详解】解：由，即，解得或，所以或，，命题是命题的必要不充分条件，，则实数的取值范围是故选：C12、C【解析】利用零点存在性定理即可求解.【详解】函数的图像是连续的，；；，所以在、，之间一定有零点，即函数在区间上的零点至少有3个.故选：C二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、6π＋40【解析】根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角，再由扇形的弧长公式，可得弧长，即可求解扇形的周长，得到答案.【详解】由题意，根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角，∴由扇形的弧长公式，可得弧长，∴扇形的周长为.【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.14、【解析】分别做出和的图象，数形结合即可求解.【详解】解：分别做出和的图象，如图所示：又，当时，解得：，故当时，.故答案为：.15、必要不充分【解析】根据充分条件、必要条件的定义结合余弦函数的性质可得答案.【详解】当时，可得由，不能得到例如：取时，，也满足所以由，可得成立，反之不成立“”是“”的必要不充分条件故答案为：必要不充分16、【解析】首先计算，再求的值.【详解】，所以.故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1）当时，不等式的解集是当时，不等式的解集是当时不等式的解集是（2）【解析】（1）将不等式，转化成，分别讨论当时，当时，当时，不等式的解集.（2）将对任意，恒成立问题，转化为，恒成立，再利用均值不等式求的最小值，从而得到a的取值范围.【详解】（1）因为不等式所以即当时，解得当时，解得当时，解得综上：当时，不等式的解集是当时，不等式的解集是当时不等式的解集是（2）因为对于任意，恒成立所以，恒成立所以，恒成立令因为当且仅当，即时取等号所以【点睛】本题主要考查了含参一元二次不等式的解法以及恒成立问题，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于中档题.18、（1），（2）在上单调递增，证明见解析（3）的取值范围为.【解析】（1）根据得到，根据计算得到，得到答案.（2）化简得到，，计算，得到是增函数.（3）化简得到，参数分离，求函数的最大值得到答案.【详解】（1）因为在定义域R上是奇函数.所以，即，所以．又由，即，所以，检验知，当，时，原函数是奇函数.（2）在上单调递增.证明：由（1）知，任取，则，因为函数在上是增函数，且，所以，又，所以，即，所以函数R上单调递增.（3）因为是奇函数，从而不等式等价于，因为在上是增函数，由上式推得，即对一切有恒成立，设，令，则有，，所以，所以，即的取值范围为.19、（Ⅰ）（Ⅱ）平行，（Ⅲ）详见解析【解析】(1)三棱锥的体积＝＝·＝.(2)当点为的中点时，与平面平行∵在中，分别为、的中点，∴，又平面，平面，∴平面(3)证明：∵⊥平面，平面，∴，又，，平面，平面.又平面，∴.又，点是的中点，∴，又,平面，∴⊥平面.∵平面，∴.考点：本小题主要考查三棱锥体积的计算、线面平行、线面垂直等的证明，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.点评：计算三棱锥体积时，注意可以根据需要让任何一个面作底面，还经常利用等体积法求三棱锥20、（Ⅰ）当时，原不等式的解为，当或时，原不等式的解集为，当或时，原不等式的解为（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）原不等式化为，根据1＜a＜2，a=1或a=2分类讨论，能求出原不等式的解集；（Ⅱ）当a≠1且a≠2时，，由此能求出该不等式解集表示的区间长度的最大值试题解析：（Ⅰ）原不等式可化为，当，即时，原不等式的解为；当，即或时，原不等式的解集为；当，即或时，原不等式的解为综上所述，当时，原不等式的解为，当或时，原不等式的解集为，当或时，原不等式的解为（Ⅱ）显然当或时，该不等式解集表示的区间长度不可能最大当且时，，设，，则当时，，当时，，当时，，∴当时，考点：一元二次不等式的解法21、(1),(2)在区间（0，0.5）上是单调递减的【解析】（Ⅰ）∵函数是奇函数，则即∴------------------------2分由得解得∴，．------------------------------------------------------6分（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）知，∴，----------------------------------------8分当时，----------------------------10分∴，即函数在区间上为减函数．------------12分[解法2：设，则＝＝------------------------------10分∵∴，，∴，即∴函数在区间上为减函数．------------------