2023年高考全国乙卷数学(文)真题试题及答案

2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷)

文科数学

一、选择题

/2+?+叶。

A.1B.2C.逐D.5

答案：C

由题意首先化筒2+i?+2i3,然后计算其模即可.

解：由题意可得2+i?+2i3=2-l_2i=l_2i，

则|2+i2+2i3|=|l-2i|=#+(_2『=也.

故选：C.

2.设全集U={0,1,2,4,6,8},集合河={0,4,6},N={0,1,6},则()

A.{0,2,4,6,8}B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U

答案：A

由题意可得的值，然后计算即可.

解：由题意可得eN={2,4,8},则M_Q/N={0,2,4,6,8}.

故选：A.

3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1,则该零件的表面积为()

日益］

1*6iI*•I•Ii•♦•

•••••**•*•

日

•・•・*»•♦«1*■•・・・

A.24B.26C.28D.30

答案：D

由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.

解：如图所示，在长方体4旦G"中，AB=BC=2,A4=3,

点、H」JK为所在棱上靠近点4,G,2,A的三等分点，O,L,M,N为所在棱的中点，

则三视图所对应的几何体为长方体ABC。-AgG〃去掉长方体ON/G-之后所得的几何体,

该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，

其表面积为：2x(2x2)+4x(2x3)-2x(lxl)=30.

故选：D.

7T

4.在二ABC中，内角A,3,C的对边分别是4,0,c,若acosB—bcosA=c,且。=《，则NB=()

7t冗-3兀2兀

A.—B.-C.----D.—

105105

答案：C

首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得ZA的值，最后利用三角形内角和

定理可得NA的值.

解：由题意结合正弦定理可得sinAcosB-sinBcosAusinC,

即sinAcosB-sinBcosA=sin(A+8)=sinAcosB+sinBcosA,

整理可得sinBcosA=0,由于8e(0,7i),故sin8>0,

7T

据此可得cosA=0,A=一,

2

EC4C兀713兀

则3=71—A—C=7T---------=—.

2510

故选：C.

5.已知/(%)=专工是偶函数，则。=()

A.-2B.-1C.1D.2

答案：D

根据偶函数的定义运算求解.

解：因为“另=芸为偶函数，则y(x)_"r)=壬—匕学二=史二!21=0,

又因为x不恒为0,可得e'—e("T)x=o,即e，=e("-W，

则x=(a-l)x,即1解得a=2.

故选：D.

6.正方形A3C。的边长是2,E是A6的中点，则EC.£■£)=()

A.亚B.3C.2有D.5

答案：B

(\UUUUUU

方法一：以｛AB,A。｝为基底向量表示EC,££),再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平

面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求cosZDEC,进而根据数量积的定义运算求解.

,,uiHuumuimuun

解：方法一：以｛AB,A。｝为基底向量，可知45=AO=2,A8-AO=0,

uuniwuuniuunuu«uunuuruumiuunuum

则EC=EB+BC=-4B+AD,ED=£4+AD=——AB+AD,

22

uumuun(iuunuun\fiuunuum\]uun。uun、

所以=•一++AD=-1+4=3；

方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，

UUUUUU

则E(l,0),C(2,2),D(0,2),可得EC=(1,2),E£>=(-1,2),

UUUUUU1

所以后。・石。=-1+4=3；

方法三：由题意可得：ED=EC=逐,CD=2,

DE2+CE2-DC25+5-4_3

在中，由余弦定理可得cosNOEC=-——

2DEeCE2x>/5x^55

uuuimUuuUnlluumnuun3

所以EC・ED=ECEDas/DEC=非x昌二=3.

5

故选：B.

7.设。为平面坐标系的坐标原点，在区域^乂了他4^+^4^内随机取一点4，则直线0A的倾斜角不

大于三的概率为（）

4

1111

A.—B.-C.—D.—

8642

答案：C

根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.

解：因为区域｛（演力14％2+3；244｝表示以。（（）,（））圆心，外圆半径R=2，内圆半径r=1的圆环,

7C兀

则直线OA的倾斜角不大于一的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角NMON=一,

44

结合对称性可得所求概率02X41.

r=-------=—

2兀4

故选：C.

8.函数/（》）=/+原+2存在3个零点，则。的取值范围是（）

A.(-oo,—2)B.(一»,-3)C.(-4,-1)D.(-3,0)

答案：B

写出/'（幻=3/+。，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.

解:/(x)=x3+ax+1,P!iJf'(x)=3x2+a,

若〃x)要存在3个零点，则〃x)要存在极大值和极小值，则打。,

9.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛

同学抽到不同主题概率为。

52I

A.—B.—C.1-D.—

6323

答案：A

根据古典概率模型求出所有情况以及满足题意得情况，即可得到概率.

解：甲有6种选择，乙也有6种选择，故总数共有6x6=36种，

若甲、乙抽到的主题不同，则共有A；=30种,

则其概率为二30==5，

366

故选：A.

10.已知函数/(x)=sin(0x+0)在区间直线》=£和》="为函数y=/(x)的图像

63

的两条对称轴，则/()

A百1C

A.-----B.——-ID

22T

答案：D

5兀

根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入户-访即可得到答案.

兀27r

解：因为.f（x）=sin（3x+e）在区间单调递增,

6'T

所以工=生-工71271

=一，且0>0,则7=兀，W=-一"=2,

2362T

7t兀，r

当X=2时，/（x）取得最小值，则2・—卜(P=2E----,KGZ»

662

"5兀，k&Z,不妨取左=0,则/(x)=sin(2x-?

则(p=2kji一

66\6

故选：D.

11.已知实数乂〉满足x2+y2—4x—2y—4=0,则的最大值是（）

A.1+乎B.4C.1+372D.7

答案：C

法一：令x-y=k,利用判别式法即可；法二：通过整理得（x-2y+（）-1）2=9,利用三角换元法即可,

法三：整理出圆的方程，设x-y=左，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.

解：法一：令x—y=k,则x=k+y,

代入原式化简得2y2+（2%—6）y+炉一4A—4=0,

因为存在实数）'，则AN0,即（2女—6）2—4x2（公一妹一4）之0,

化简得人2一2%-17〈0，解得1-30/<1+30，

故x-y的最大值是30+1，

法二：x2+y2-4x-2y-4=0,整理得(x—zj+()-1)2=9,

令x=3cos8+2,y=3sin(9+l,其中6e[0,27i],

则x-y=3cos-3sin+1=30cos[6+5)+1,

ee[0,2〃],所以e+，则6+。=2兀，即6=上时，取得最大值3及+1，

44444

法三：由x2+y2_4x_2y_4=0可得(x_2y+(y_l)2=9,

\2-1-k\

设x-y=Z,则圆心到直线X—y=k的距离d

解得1-3正WZW1+30

故选：C.

12.设A,8为双曲线=1上两点，下列四个点中，可为线段A8中点的是()

9

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1,-4)

答案：D

根据点差法分析可得心8M=9,对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：

结合双曲线的渐近线分析判断.

解：设4(石,芳),3(々,必)，则4?的中点M与匕，汽上

X+%

可得38=近二&，2=2)1+3

X1+x

%一马2X1+x2

2

2

2L9-22

y

1-%O

A,8在双曲线上,2=

因以-

一

9-

所以心8•%=3*=9.

玉一了2

对于选项A：可得左=1/心=9,则AB：y=9x—8,

y=9x-8

联立方程42V2，消去y得72X2-2X72X+73=0,

X--=1

9

此时A=(-2x72)•■-4x72x73=-288<0,

所以直线A8与双曲线没有交点，故A错误；

995

对于选项B：可得攵=—2,左A6=—a，则AB:y=—5X—5,

[95

y=——x——

22

联立方程（2，消去y得45%2+2X45X+61=0，

X-----1

I9

此时A=（2x45）2-4x45x61=-4x45x16<0，

所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；

对于选项C：可得％=3,心8=3,则AB:y=3x

由双曲线方程可得a=1,。=3,则AB:y=3x为双曲线的渐近线，

所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误：

997

对于选项D：=4,kAB——,则AB:y=w%—a，

[97

y=—x——

44

联立方程（2，消去y得63元2+126%—193=0，

x-----1

I9

此时△=1262+4X63X193>0，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；

故选：D.

二、填空题

13.已知点A（l,有）在抛物线C：V=2px上，则A到C的准线的距离为.

9

答案：

4

由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为x=-3,最后利用点的坐

4

标和准线方程计算点A到C的准线的距离即可.

解：由题意可得：（逐y=2pxl,则2〃=5,抛物线的方程为y2=5x,

准线方程为x=-*,点A到C的准线的距离为1一（一^]=g.

4I4J4

9

故答案为：一.

4

14.若。€（0,51,12!10=；,则sind-cos6=.

答案：—必

5

根据同角三角关系求sin。，进而可得结果.

/、

解：因为8£0,-,则sin。＞0,cos。＞0,

I2J

又因为tane=^=,，则cose=2sin6,

cos。2

且8s2e+sin2e=4sin2e+sin2e=5sin2e=l，解得sin6=且或sin6=—@（舍去）,

55

75

所以sin。一cos6=sin6—2sin6=-sin6=-V

故答案为：一Yj

5

x-3y<-1

15.若x,y满足约束条件<x+2y<9,则z=2x-y的最大值为.

3x+y>7

答案：8

作出可行域，转化截距最值讨论即可.

解：作出可行域如下图所示：

z=2x-y,移项得y=2x—z,

x-3y=-1x=5

联立有《解得《

x+2y=9j=2

设A（5,2）,显然平移直线y=2x使其经过点A,此时截距-z最小，则z最大,

代入得z=8,

故答案为：8.

16.已知点S,AB,C均在半径为2的球面上，ABC是边长为3的等边三角形，S4,平面ABC,则S4=

答案：2

先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.

解：如图，将三棱锥S-A8C转化为直三棱柱SWN-ABC,

设.ABC的外接圆圆心为。一半径为广，

2「=_5..万

则sinZACB73'，可得r=g,

T

设三棱锥S-ABC的外接球球心为0,连接OA,OOt,则OA=2,00,=gSA,

因为042=00：即4=3+；SA2,解得Sl=2.

故答案为：2.

【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法

（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，

把空间问题转化为平面问题求解；

（2）若球面上四点尸、A、B、C构成的三条线段以、PB、PC两两垂直，且以=a,PB=b,PC=c,一般

把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2=a2+〃+c2求解；

（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；

（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；

（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位

置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.

三、解答题

17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质

相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的

伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为巧，y[=1,2,…,10）.试验结果如下：

试验序号i12345678910

伸缩率七545533551522575544541568596548

伸缩率先536527543530560533522550576536

记2,.=x,.-x（i=1,2,…,10）,记z”Z2,Zo的样本平均数为z,样本方差为?.

⑴求Z，S2；

（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果

z>2J—，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否

V10

则不认为有显著提高）

答案：(I)z=ll,$2=61；

（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.

（1）直接利用平均数公式即可计算出,亍，再得到所有的z,值，最后计算出方差即可；

(2)根据公式计算出2,右的值，和三比较大小即可.

【小问1详解】

_545+533+551+522+575+544+541+568+596+548「一

x=-------------------------------------------------------552.3,

10

_536+527+543+530+560+533+522+550+576+536

y=------------------------------------------------------=541.3,

10

彳=5—9=552.3-541.3=11,

47一。的值分别为：9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,

,,2(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2

故s=-----------------------------------------------------------------------------------

10

【小问2详解】

由(1)知：2=11，2.—=2A/6?T=V244-故有

V10\10

所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.

18.记Sn为等差数列｛4｝的前〃项和，已知4=11，=40.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)求数列｛|。』｝的前〃项和

答案:(1)an=15-2n

fl4«-n2,n<7

(2)T

n-14〃+98,〃28

(1)根据题意列式求解4,d,进而可得结果；

(2)先求S.，讨论区,的符号去绝对值，结合S“运算求解.

【小问1详解】

设等差数列的公差为d，

%=%+"=11(al+d=U阿=13

由题意可得。“、10x9,”,、，即I。，解得

S]o=lOqH------d=40[2〃]+9d=8\d=—2

、2

所以4=13-2(〃-1)=15-2〃，

【小问2详解】

因为s=由3+15二也=14〃—〃2,

"2

令a“=15—2〃>0,解得〃<3，且〃eN*，

当〃W7时，则。”>0,可得北=闻+|。23---=---Fa”=5“=14〃―/；

当刀N8时,则a“<0,可得工,=同+同---卜|%|=(《+%4---卜％)—(/■*---卜a”)

222

=S7-(S„-S7)=257-S„=2(14x7-7)-(14n-n)=/?-14n+98；

14n-/?2,n<7

综上所述：T“=,

n2-14z?+98,n>8

19.如图，在三棱锥P—ABC中，ABJ.BC，AB=2,8C=20，PB=PC=C，BP,AP,3c的

中点分别为2E,0,点尸在AC上，BFLAO.

(1)求证：所〃平面ADO；

(2)若NPO/=120。，求三棱锥P—A6c的体积.

答案：(1)证明见解析

⑵

3

(1)根据给定条件，证明四边形石户为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.

(2)作出并证明R0为棱锥的高，利用三棱锥的体积公式直接可求体积.

【小问1详解】

一.....1

连接OE,OF,设4尸=/AC,则3/=BA+AF=(1—t)3A+r3C,AO=-BA+-BC,BFA.AO,

则BFAO=[(\-t)BA+tBC](-BA+-BC)=(t-i)B^+LBC5=4(/-1)+4/=0,

22

解得/=L则/为AC的中点，由。,七,。,尸分别为PB,PABC,AC的中点，

2

于是DE//AB,DE=LAB,OFHAB,OF=-AB,即DEHOF,DE=OF,

22

则四边形O。石尸为平行四边形，

EF//DO,EF^DO,又EFa平面ADO,DOu平面ADO,

所以£///平面A。。.

【小问2详解】

过尸作PM垂直FO的延长线交于点M,

因为尸8=PC,。是3c中点，所以PO1BC,

在中，PB=yj6,BO=-BC=y/2,

2

所以PO=YPB2-OB2=后方=2,

因为AB，8c,O///AB,

所以OFJ_BC，又POcOF=O,2。，。尸匚平面；^。？，

所以8C1平面？0/，又AWu平面「0/，

所以8CLPM,又BCFM=O,BC,FMu平面A8C,

所以QM_L平面ABC,

即三棱锥P-ABC的高为PM,

因为APOF=120°,所以ZPOM=60°,

所以PM=POsin6()0=2x^=百，

2

又S-='AB-BC=、x2x2丘=20,

所以％ABc=!SaABc.PM=-x2y/2xy/3=^-.

r-At3(--3ZAA6C3"3

A

20.已知函数/(x)=(l+a)ln(l+x).

(1)当a=-l时，求曲线＞=/(x)在点(lj(x))处的切线方程.

(2)若函数〃x)在(0,+。)单调递增，求。的取值范围.

答案：(1)(ln2)x+y-ln2=0；

⑵[a\a>^.

(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线

方程即可；

(2)原问题即/'(x)NO在区间(0,+8)上恒成立，整理变形可得g(x)=0t2+x-(x+i)in(x+l)N(^

区间(0,+8)上恒成立，然后分类讨论a40,a2；,0<a<；三种情况即可求得实数”的取值范围.

【小问1详解】

当a=T时，/(x)=(：-l]ln(x+l)(x>-l),

则/'(九)=一-^x]n(x+l)+

XkXJ.XI1

据此可得/(l)=o,/'(l)=-ln2,

所以函数在处的切线方程为y—0=—山2(%—1),即(ln2)x+y-ln2=0.

【小问2详解】

由函数的解析式可得了'(x)=[+)ln(x+l)+g+a)x£yj(x>-l),

满足题意时/'(X)20在区间(0,+8)上恒成立.

令(--)ln(x+1)+(—j----0,贝ij—(x+l)ln(x+l)+(x+ax~)20,

IX)IX)XI1

令g(x)-ax2+x-(x+l)ln(x+l),原问题等价于g(x)NO在区间(0,+动上恒成立，

则g'(x)=2ar-ln(x+l),

当aWO时，由于2奴W0,ln(x+l)>0,故g'(x)<0,g(x)在区间(0,+8)上单调递减，

此时g(x)<g(O)=O,不合题意;

令〃(x)=g'(x)=2ax_ln(x+l),则/(x)=2a..—,

当azL2aNl时，由于」一<1,所以〃'(x)>0,〃(x)在区间(0,+e)上单调递增，

2x+1

即g'(x)在区间(0,+8)上单调递增，

所以g'(x)>g'(O)=O，g(x)在区间(。,+8)上单调递增,g(x)>g(O)=O,满足题意.

当寸，由l(x)=2a—一匚=0可得x=」--1,

2x+12a

当xe(0,卷一1)时，〃'(％)<0,〃(x)在区间(°，——1)上单调递减，即g'(x)单调递减，

注意到g'(0)=0,故当时，g[x)<g，(0)=0,g(x)单调递减，

由于g⑼=0,故当xw时，g(x)<g⑼=0,不合题意.

综上可知：实数〃得取值范围是

【点睛】方法点睛：

(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的

和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

(2)由函数的单调性求参数的取值范围的方法

①函数在区间(a⑼上单调，实际上就是在该区间上r(x)“(或/'(x)wo)恒成立.

②函数在区间(a⑼上存在单调区间，实际上就是/'(X)"(或/'(x)W0)在该区间上存在解集.

21.已知椭圆。：与+忘=1(。>。〉0)的离心率是半，点A(—2,0)在C上.

(1)求C的方程；

(2)过点(一2,3)的直线交C于P,Q两点，直线ARAQ与y轴的交点分别为证明：线段MN的

中点为定点.

y2X2

答案：(1)乙+二=1

94

(2)证明见详解

(1)根据题意列式求解。力,c,进而可得结果；

(2)设直线PQ方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为产为定值即可.

【小问1详解】

b=2a—3

由题意可得，a2=h2+c2解得<8=2

c亚c=石

e---——

,a3

2x2

所以椭圆方程为2v-+二=1.

94

【小问2详解】

由题意可知：直线尸。的斜率存在，设PQ：y=Z（x+2）+3,尸（石,X）,。（士,必），

y=&（尤+2）+3

联立方程〈J,消去y得：（4攵-+9）d+8%（2Z+3）尢+16（攵2+3%）=0,

I94

则△=64公（2k+3『-64（45+9）（k2+3k）=一1728攵>0,解得左<0,

用得——8M2Z+3）16俨+3攵）.

%止+95一吐+9

因为A（—2,0）,则直线AP：广武1a+）

令x=o,解得即用（。，3；

X1+2（士+2

同理可得N（0,3

2y।2%

则3+2%+2_[%（%+2）+3][M/+2）+3]

=­1

2%+2々+2

［辰］+（2々+3）］（々+2）+［如2+（2A+3）］（x+2）2公：々+（4%+3）（芯+々）+4（2k+3）

（X|+2）（X?+2）XR+2（$+x2）+4

32M抬+3&）—33）

4公+9108

16（F+3/r）16M2k+3）+4

4^+94k2+9+

所以线段尸2中点是定点（0,3）.

（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；

（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；

也可令系数等于零，得出定值；

（3）得出结论.

【选修4-4】（10分）

22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程

.」九八万、fx=2cosaH

为夕=2sin®|一4。4一I，曲线C2：4（1为参数，一<a<?t）.

（42）[y=2sina2

（1）写出G的直角坐标方程；

（2）若直线y=x+加既与q没有公共点，也与G没有公共点，求，”的取值范围.

答案：（1）为2+（>一1）2=1/«0,1],>«1,2