专题1.4 角平分线（学生版）

专题1.4角平分线1.会叙述角平分线的性质及判定；2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题；3.会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”；4.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．知识点01角平分线的性质与判定【知识点】角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等；角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上；辅助线的添加：过角平分线上一点向两边作垂线段。【知识拓展1】利用角平分线的性质求面积（长度）例1．（2022春·辽宁抚顺·八年级阶段练习）如图，在四边形中，，，，对角线平分，则的面积为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【即学即练】1．（北京市燕山区2022-2023学年八年级上学期期末质量监测数学试卷）如图，中，是边的高线，平分，，，则的面积是（

）A． B． C． D．【知识拓展2】利用角平分线的性质求角度例1．（2022春·安徽阜阳·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，平分，，，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【即学即练】2．（2022春·河北邢台·八年级校考阶段练习）两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连接并延长．若，则的度数为（）A．6 B．5 C．5 D．4【知识拓展3】角平分线的相关最值问题例3．（2022春·山东临沂·八年级统考期中）如图，四边形中，，，连接，，垂足是且，点是边上的一动点，则的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【即学即练】3．（2022春·成都市·八年级阶段练习）如图，在中，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是（）A． B． C． D．【知识拓展4】角平分线的判定例4．（2022春·山东临沂·八年级统考期中）如图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”这样说的依据是（

）A．全等三角形的对应角相等B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形角平分线的相交于一点D．角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上【即学即练4】4．（2022春·河北邯郸·八年级校考阶段练习）如图，为外一点，为的垂直平分线，分别过点作，，垂足分别为点，，且．(1)求证：为的角平分线；(2)若，，求的长．【知识拓展5】尺规作图与相关计算、证明例5．（2022春·广东广州·八年级校考期末）如图，已知中，，．(1)请用尺规作图作的角平分线；（不要求写作法，保留作图痕迹）(2)过点C作交的延长线于点E，求证：．【即学即练4】5．（2022春·吉林长春·八年级期末）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交于点和，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若，则点到边的距离是(

)A． B． C． D．【知识拓展6】角平分线的综合运用例6．（2022春·湖北荆州·八年级统考期中）如图，在中，，D为边上一点，且，，过点D作于F，作的平分线分别交，于H，G，连接，得到如下结论，①，②，③，④平分，其中正确的是（

）A．①③ B．①③④ C．②④ D．①②③④【即学即练6】6．（北京市大兴区2022~2023学年八年级上学期数学期末检测试卷）如图，在中，，的平分线与外角的平分线相交于点M，作的延长线得到射线，作射线，有下面四个结论：①；②；③射线是的角平分线；④．所有正确结论的序号是___________．知识点02三角形的角平分线【知识点】三角形角平分线定理：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.应用：位置的选择问题【知识拓展1】三角形的角平分线的应用例1．（2022·山东滨州·八年级月考）如图，是三条两两相交的公路，现需建一个仓库，要求仓库到三条公路距离相等，则仓库的可能地址有（）处．A． B． C． D．【即学即练1】1．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校二模）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（

）A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点【知识拓展2】角平分线定理例2．（2022春·湖北荆门·八年级校联考期中）如图，在中，是它的角平分线，．(1)求的值；(2)求证：；(3)求的长．【即学即练2】2．（2022春·广东江门·八年级校考阶段练习）（1）模型：如图1，在中，平分，，，求证：．（2）模型应用：如图2，平分交的延长线于点，求证：．（3）类比应用：如图3，平分，，，求证：．【知识拓展3】三角形的角平分线（内心）例3．（2022·福建福州·八年级福州日升中学校考期中）如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积和周长都为24，则点O到BC的距离为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【即学即练3】3．（2022·山东枣庄·八年级统考期末）如图，的两直角边、的长分别是9、12．其三条角平分线交于点，将分为三个三角形，则等于（

）A．1：1：1 B．1：2：3 C．3：4：5 D．2：3：4题组A基础过关练1．（2022春·北京海淀·八年级期末）如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（

）A．在、两边高线的交点处 B．在、两内角平分线的交点处C．在、两边中线的交点处 D．在、两边垂直平分线的交点处2．（2022秋·陕西西安·八年级考阶段练习）如图，在中，，平分，垂直平分，若，则的值为（）A． B． C．1 D．3．（2022春·北京朝阳·八年级校考期中）如图，是的角平分线，、分别是和的高，则下列说法正确的是（

）A．垂直B．平分C．垂直平分D．垂直平分4．（2022春·八年级课时练习）如图，从内一点出发，把剪成三个三角形(如图1)，边放在同一直线上，点都落在直线上（如图2），直线，则点是的（

）A．三条角平分线的交点B．三条高的交点C．三条中线的交点D．三边中垂线的交点5．（2022春·四川成都·八年级统考期末）如图，OE平分∠AOB，EM∥OA，EN⊥OA，若EN＝3，ON＝5，则EM＝_____．6．（2022春·吉林长春·八年级期末）如图，在中，、分别平分和，于点D，，若的面积为25，的周长则为___________．7．（2022春·上海·八年级上海市民办立达中学校考阶段练习）如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点，则__________度．8．（2022春·广东梅州·八年级校考阶段练习）数学阅读：古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的面积为，其中，这个公式称为“海伦公式”．数学应用：如图，在中，已知，，．(1)请运用海伦公式求的面积；(2)若，为的两条角平分线，它们的交点为，求的面积．9．（2022春·广东惠州·八年级校考阶段练习）请回答下列问题：(1)已知：和内一点．求作：点，使，且点到的两边，的距离相等．(2)如图，已知及点，，求作点，使得到，的距离相等，且．10．（2022春·福建厦门·八年级校考期中）在内有一点D，过点D分别作，，垂足分别为B，C．且，点E，F分别在边和上．(1)如图1，若，请说明点D在的角平分线上．(2)如图2，若，，，猜想，，具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．11．（2022春·江苏扬州·八年级阶段练习）如图，已知．(1)用直尺和圆规按照下列要求作图：作的角平分线；（保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）；(2)过点画射线，使，交的延长线与点，过点画，垂足为，图中相等吗？证明你的结论．12．（2023·辽宁大连·八年级统考期中）如图，点M，N是内部两点．尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法．(1)作：(2)作的平分线：(3)求作点P，使，且点P到，的距离相等．题组B能力提升练1．（2022春·江苏·八年级期中）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，，当最小时，的面积是（）A．2 B．1 C．6 D．72．（2022·广东广州·八年级期中）如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点D，交AB的延长线于点E，于点F，现有下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（

）A．①② B．②④ C．①②④ D．①②③④3．（2022春·云南昭通·八年级统考期中）如图，在中，P，Q分别是，上的点，作，，垂足分别为M，N，若，，则下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2022春·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，点在线段上（不与点，重合），在的上方分别作和，且，，，连接，交于点，下列结论错误的是（

）A． B．C． D．连接，则平分5．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，任意画一个的，再分别作的两角的角平分线和，、相交于点P，连接，有以下结论：①；②平分；③；④；⑤，其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6．（2022春·吉林·八年级期末）如图，中，，，，，平分，如果点P，点Q分别为，上的动点，那么的最小值是______．7．（2022·江苏宿迁·八年级校考期中）如图，的三边，，的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则：：___________8．（2022•寿阳县八年级期末）如图，点在的平分线上，，于，点在上，且，若是上的动点，则的最小值是．9．（2022春·天津滨海新·八年级校考期中）如图，四边形中，，点为的中点，且平分．(1)求证：平分；(2)求证：；(3)探究：线段、、之间的数量关系，并证明．10．（2022春·湖北武汉·八年级校考期中）四边形中，平分．(1)如图1，若，E是的中点，求证：平分；(2)如图2，若平分，求证：E是的中点；(3)在（2）的条件下，若，求四边形的面积．11．（2022春·辽宁大连·八年级期末）如图：点C在射线上，，且．(1)实践与操作：利用圆规和直尺，①以点B为圆心为半径画弧交射线于点E，连接；②作的平分线分别交于F，交于G（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．(2)猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明．题组C培优拔尖练1．（2022·福建福州·八年级期中）如图，在中，，的平分线交于点，过点作于点，交于点，过点作于点．下列结论中正确的个数是（

）①；②；③；④A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①②④2．（2022春·天津·八年级校考期中）如图，在和中，，，，．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论，其中错误的是（

）A． B． C．MO平分 D．OM平分3．（2022·山东临沂·八年级期中）如图，已知AC平分∠BAD，于点E，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是______．4．（2022春·北京大兴·八年级统考期中）如图，与都是等边三角形，和相交于点，连接下面结论中，；；不是的平分线；所有正确结论的序号是______．5．（2022春·安徽淮北·八年级校考阶段练习）如图，和中，，，，连接，，与交于点M，与交于点N．(1)求证：；(2)求证：；(3)连接，有以下两个结论：①平分；②平分．其中正确的有．6．（2022春·广东东莞·八年级校考期中）如图，，，，，交于点，若点在上．(1)，求的度数；(2)求证平分；(3)连接，求证：．7．（2022春·湖南长沙·八年级长沙县湘郡未来实验学校校考阶段练习）如图，在中，，点P是边上的一点，，且，点C关于直线的对称点为D，连接，的边上的高为．(1)求的大小；(2)判断直线，是否平行？并说明理由；(3)求证：．8．（2022秋·湖南长沙·八年级湖南师