2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）数学真题及参考答案+评析

2022年高考数学全国卷试题评析

+

2022年普通高等学校招生全国统一考试

甲卷数学真题及参考答案

目录

2022年高考数学全国卷试题评析.....................................3

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学...........7

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学参考答案.....12

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学..........17

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学参考答案..…22

全国甲卷适用地区：云南、四川、广西、贵州、西藏

2022年高考数学全国卷试题评析

2022年教育部教育考试院命制6套高考数学试卷，包括全国甲卷2套（文、

理科）、全国乙卷2套（文、理科）、新高考I卷1套（不分文理科）、新高考

II卷（不分文理科）。试题落实立德树人根本任务，促进学生德智体美劳全面发

展，体现高考改革要求；试题突出数学学科特点，强化基础考查，突出关键能力，

加强教考衔接，服务“双减”政策实施，助力基础教育提质增效。

一.设置现实情境，发挥育人作用

高考数学命题坚持思想性与科学性的统一，发挥数学应用广泛、联系实际的

学科特点，设置真实情境，命制具有教育意义的试题，发挥教育功能和引导作用。

1.设置优秀传统文化情境

以中华优秀传统文化为情境材料设置试题，让学生领略中华民族的智慧和数

学研究成果，进一步树立民族自信心和自豪感，培育爱国主义情感。新高考H卷

第3题以中国古代建筑中的举架结构为背景，考查学生综合应用等差数列、解析

几何、三角函数等基础知识解决实际问题的能力。全国甲卷理科第8题取材于我

国古代科学家沈括的杰作《梦溪笔谈》，以沈括研究的圆弧长计算方法''会圆术"

为背景，让学生直观感受我国古代科学家探究问题和解决问题的过程，引发学生

的学习兴趣。

2.设置社会经济发展情境

以我国的社会经济发展、生产生活实际为情境素材设置试题，如：新高考I

卷第4题以我国的重大建设成就“南水北调”工程为背景，考查学生的空间想象、

运算求解能力，引导学生关注社会主义建设成果，增强社会责任感;全国甲卷文、

理科第2题以社区环境建设中的“垃圾分类”为背景考查学生的数据分析能力；

全国乙卷文、理科第19题以生态环境建设为背景材料，考查学生应用统计的基

本知识和基础方法解决实际问题的能力，对数据处理与数学运算素养也作了相应

的考查。

3.设置科技发展与进步情境

选取我国科技发展与进步中取得的重要成就作为试题背景，体现数学的应用

价值和时代特征，激发青年学生树立为国家服务、奉献科技事业的信念。如全国

乙卷理科第4题，以嫦娥二号卫星在完成探月任务后继续进行深空探测，成为我

国第一颗环绕太阳飞行的人造行星为情境，考查学生综合应用数列、函数、不等

式等基本知识观察问题、分析问题和解决问题的能力。

二.加强教考衔接，发挥引导作用

2022年高考数学依据课程标准命题，深化基础考查，突出主干知识，创新

试题设计，加强教考衔接，发挥高考试题对中学教学改革的引导和促进作用。

1.依据课程标准

高考数学命题贯彻高考内容改革要求，依据高中课程标准，进一步增强考试

与教学的衔接。试题的考查内容范围和比例、要求层次与课程标准保持一致，注

重考查内容的全面性，同时突出主干、重点内容的考查，引导教学依标施教。试

题突出对学科基本概念、基本原理的考查，强调知识之间的内在联系，引导学生

形成学科知识系统；注重本原性方法，淡化特殊技巧，强调对通性通法的深入理

解和综合运用，促进学生将知识和方法内化为自身的知识结构。全国乙卷第21

题考查分类与整合的思想，全国甲卷第20题考查数形结合的思想，新高考I卷

第16题体现特殊与一般的思想，新高考H卷第19题对统计与概率的思想进行了

深入考查。数学试题力图引导中学遵循教学规律、提高课堂教学效果，实现作业

题、练习题减量提质。

2.加强主干考查

试卷在选择题、填空题、解答题3种题型上都加强了对主干知识的考查。如

新高考I卷第12题，要求学生在抽象函数的背景下，理解函数的奇偶性、对称

性、导数等概念以及它们之间的联系，对数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心

素养都有较高的要求。再如全国甲卷理科第19题，以学校体育比赛为情境，考

查概率的基础知识和求离散型随机变量的分布列与期望的方法，体现了对主干知

识的深入考查。

3.创新试题设计

高考数学创新试题形式，引导教学注重培养核心素养和数学能力，增强试题

开放性，鼓励学生运用创造性、发散性思维分析问题和解决问题，引导教学注重

培育学生的创新精神。在多选题的设计上，进一步增强选项的灵活性，突出对发

散性思维和创新性思维的考查。在填空题的答案设计上，给学生较大的思考空间，

对知识之间的联系、直观想象等素养作了深入的考查。

试卷创新结构不良问题的设计，有效增强试题的开放性，考查学生创新思维

能力。如新高考H卷第21题给出3个条件，要求学生选取2个作为已知条件，

证明另外一个成立，给学生提供了选择的自由度和发挥空间，有利于对学生思维

水平的考查。

三.加强素养考查，发挥选拔功能

数学试题加强学科核心素养考查，强化数学思想方法的渗透，深入考查关键

能力，优化试题设计，发挥数学科高考的选拔功能，助力提升学生综合素质。

1.加强思维品质考查，增强思维的灵活性

数学试题通过突出思维品质考查，强调独立思考和创新意识。全国乙卷理科

第9题、文科第12题，研究球内四棱锥体积的最大值问题，要求学生有较强的

空间想象能力和分析问题能力，将问题转化为三次函数的最值问题，进而利用导

数求解。新高考n卷第8题对思维的灵活性有较高要求，在抽象的情境中发现函

数周期性是问题的关键。全国甲卷理科第20题、文科第21题，考查直线、抛物

线、三角函数、不等式的基本性质以及解析几何的基本思想方法，要求学生在复

杂的直线与抛物线的位置关系中，能抓住问题的本质，发现解决问题的关键，选

择合理的方法。

2.加强关键能力考查，增强试题的选拔性

数学试题通过设置综合性的问题和较为复杂的情境，加强关键能力的考查。

新高考I卷第22题重视基于数学素养的关键能力的考查，在数学知识、数学能

力和创新思维层面都有所体现，具有较好的选拔功能。新高考H卷第22题将函

数、导数、数列与不等式等知识有机结合，考查学生灵活应用函数、不等式思想

解决复杂问题的能力，对直观想象能力和逻辑推理能力也有较高的要求。

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）

理科数学

（适用地区:云南、四川、广西、贵州、西藏）

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号

填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及

科目，在规定的位置贴好条形码。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，

将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若z=—1+Gi,贝=（）

zz-1

r-r,173,1V3.

A.-1+V3iB.-1-V3iC.1D.-----i

2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识•为了解讲座效果，随机抽取10

位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这1。位社区居民在

讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

则（）

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

3.设全集。={一2,-1,0,1,2,3},集合A={—1,2},3={兄x?—4x+3=0}，则电（AUB）=

()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多面体

的体积为()

5.函数y=(3*—3f)cosx在区间一封的图像大致为()

6.当％=1时;函数/(x)=alnx+2取得最大值一2,则八2)=()

x

,1八I

A.-1B.一—C.-D.1

22

7.在长方体ABCO—ABCR中，已知BQ与平面ABC。和平面A44B所成的角均为

30°,则()

A.AB^2ADB.AB与平面AgC。所成的角为30°

C.AC=CB]D.与。与平面55GC所成的角为45°

8.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，

如图，是以。为圆心，0A为半径的圆弧，C是AB的中点，。在A8上，CD_LAB.“会

CD2

圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+——.当。4=2,ZAOB=60°时,

0A

D

B

11-3^11-4739-3739-473

-------B.-------C.------

-2-

9.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为S甲和S乙,

体积分别为埼和％.若新=2,则步（

)

s乙彩

D.等

A.>/5B.2夜C.回

10.椭圆。：=+与=1（。>。>0）的左顶点为A,点尸，。均在C上，且关于y轴对称.若

a

直线AP,AQ的斜率之积为则C的离心率为（）

4

R应1

A.--cD.-

22-13

11.设函数/0）=5①（。尢+三）在区间（0,兀）恰有三个极值点、两个零点，则0的取值范

围是（）

5\f/

AB19|a

13一

--19一

3676,6

XI

3111

2Q=则

3-2-4-4-

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设向量a,力的夹角的余弦值为』，且|a|=l,|6|=3,贝U（2a+b）b=.

3

14.若双曲线V一一了=1（m>0）的渐近线与圆/+；/-4丫+3=0相切,则加=

m

15.从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为.

AC

16.已知△ABC中，点。在边BC上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.当——取得

AB

最小值时，BD=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21

题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求

作答。

（―）必考题：共60分。

17.（12分）

2S

记S„为数列｛4｝的前〃项和.已知。+〃=2an+1.

（1）证明：｛%｝是等差数列；

（2）若a4M7，旬成等比数列，求S“的最小值.

18.（12分）

在四棱锥P-ABCD中,PDA.底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=6.

（1）证明：BD±PA；

（2）求PO与平面248所成的角的正弦值.

19.（12分）

甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，

没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜

的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.

（1）求甲学校获得冠军的概率；

（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.

20.（12分）

设抛物线。：丁=2力5>0）的焦点为凡点。（〃,0）,过F的直线交C于M,N两点.当

直线MO垂直于x轴时，月=3.

（1）求C的方程；

（2）设直线A/D,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,A6的倾斜角分别为

a,/3.当a-1取得最大值时，求直线AB的方程.

21.（12分）

已知函数/（x）=--lnx+x-«.

（I）若/（x）»0,求a的取值范围；

（2）证明:若/'（X）有两个零点和々，则中2<1.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的

第一题计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）

X-9

在直角坐标系中，曲线G的参数方程为《6（/为参数），曲线G的参数方程

y=4t

2+s

x=-----,

为16(s为参数).

y=-y［s

(1)写出G的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为

2cos6-sine=0,求G与孰交点的直角坐标，及G与交点的直角坐标.

23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)

已知a,b,c均为正数，且/+户+4C2=3,证明：

(1)a+b+2c<3；

(2)若h=2c,则！+123.

ac

绝密★启用前

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）

理科数学参考答案

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号

填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及

科目，在规定的位置贴好条形码.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将

答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.C2.B.3.D4.B5.A6.B7.D8.B9.C10.A11.C12.A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.11

14.如

3

16.V3-l##-l+V3

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21

题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求

作答.

（-）必考题：共60分.

2s

17.（1）解：因为—^+〃=2〃〃+1,即〃①，

n

当力之2时，2s+（力一I）?=2（力一1）/_]②，

①一②得，2s“+"2_2S〃_]+〃一2（〃一1）々〃_],

即+2〃-1=2%+1,

即2(〃一1”“一2(〃一l)a,T=2(〃-1),所以a“一qH—1=1,〃22且〃£N*,

所以｛%｝是以1为公差的等差数列.

(2)-78.

18.(1)证明：在四边形ABCD中，作于E,CFJ_AB于尸，

因为8//AB,AD=C£>=C8=l,AB=2,

所以四边形ABCO为等腰梯形，

所以AE=BF=L,

2

故。E=¥，BD=NDE2+BE。=百,

所以AD?+BD?=AB?，

所以AD_L30，

因为P£>_L平面ABCD,BDu平面ABCD,

所以PDL8D，

又PDcAD=D,

所以8。，平面PA。，

又因B4u平面尸AD，

所以8£>，QA；

(2)—.

5

19.(1)0.6;

(2)分布列见解析，£(X)=13.

【解析】依题可知，X的可能取值为0,10,20,30,所以，

p(x=0)=0.5x0.4x0.8=0.16,

=10)=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

P(X-20)=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

p(X=30)=0.5x0.6x0.2=0.06.

即X的分布列为

X0102030

p0.160.440.340.06

期望£(x)=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

20.(1)y2=4x；

(2)AB:x->/2y+4.

21.已知函数/(x)=---Inx+x—ci-

(1)(-oo,e+l]

(2)由题知,/(x)一个零点小于1,一个零点大于1

不妨设％<1<々

1

要证罚/<1，即证玉<一

X2

1(1

因为王，一@(0,1),即证/&)〉/—

X2lX2)

1

因为/(玉)=/(马)，即证/(々)>/—

ex-1

即证---lnx+x-xex-Inx——>0,XG(1,+OO)

xx

ex-

即证——xev-2>0

x

ev-if1A

F面证明x>1时，----xex>0,Inx—x—<0

x21x)

设g(x)=---xeA,x>1,

x

则g'(x)=

A

ex—1

设9(%)=1ex=^eA>0

x

所以p(x)>^l)=e，而e：<e

所以《―£>0,所以g'(x)>。

X

所以g(X)在(1,XQ)单调递增

x

即g(x)>g(l)=O,所以£-一>0

X

令〃(九)=\nx-—\x——Lx>l

h\x)=—

x扪打小=空<。

所以力(X)在(1,+CQ)单调递减

即/?(%)<//⑴=0,所以Inx-<0；

综上2皿1x-J>。,所以中Li.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则

按所做的第一题计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.(1)/=6x-2(y>0)；

(2)C3C的交点坐标为(；」)，(1,2)，CC的交点坐标为鸟,一1),(-1,-2).

［选修4-5：不等式选讲］

23.(1)证明：由柯西不等式有［。一+3-+(2c)］(r+r+1~)2(a+b+2c),

所以a+b+2c43,

当且仅当。=b=2c=l时，取等号，

所以a+b+2c43；

(2)证明：因为b=2c,a>0,b>0,c>0,由(1)得a+Z?+2c=a+4c<3,

即0<a+4c<3,所以二一2,，

。+4c3

由权方和不等式知■!■+■!■=£+2i之（+2）=9之3

aca4ca+4ca+4c

121

当且仅当一二一，即a=l,c=一时取等号，

a4c2

所以—F—>3

ac

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）

文科数学

（适用地区:云南、四川、广西、贵州、西藏）

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号

填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及

科目，在规定的位置贴好条形码。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，

将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合4=（-2,-1,0,1,2},B=则Ap|B=（）

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{0,1}D.{1,2}

2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10

位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在

讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

则（)

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

3.若z=l+i.则|iz+3Z|=（）

A.475B.472C.2#>D.2&

4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1.则该多面体

的体积为（）

A.8B.12C.16D.20

5.将函数/(x)=sin(^yx+■|)(^y>0)的图像向左平移5个单位长度后得到曲线C,若C

关于y轴对称，则①的最小值是()

1clclr1

A.-B.-C.-D.一

6432

6,从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上

的数字之积是4的倍数的概率为()

7.函数/(x)=(3X—3T)cosx在区间一%工的图像大致为()

X

A.-1B.C.-D.1

22

9.在长方体ABC。—A4CA中，己知8Q与平面ABC。和平面A448所成的角均为

30°,则()

A.AB=2ADB.AB与平面封与^。所成的角为30°

C.AC=CB{D.BQ与平面3与G。所成的角为45°

10.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为27r，侧面积分别为S甲和S乙，

体积分别为埼和力.若萨=2,则a=（）

s乙吃

A.V5B.2夜C.MD.

4

丫221

11.已知椭圆。：^+与=1（。>。>0）的离心率为2,分别为。的左、右顶点，B

ah3

为c的上顶点.若则c的方程为（）

2222222

XVXV_VX2.

A.---1---=1B.---1---=1C.----1---=1D.---hy=1

181698322

12.已知|9'〃=10,。=10切一9,则（）

A.a>O>hB.a>b>0C,b>a>0D.h>0>a

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量。=（加,3）,力=（1,优+1）.若aJ_b,贝iJ/%=.

14.设点〃在直线2x+y—1=0上，点（3,0）和（0,1）均在上，则。用的方程为

15.记双曲线C:二一与=1（。>0,。>0）的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C

a~b~

无公共点”的e的一个值_____________.

A.Q

16.已知△A8C中，点。在边BC上，AADB=120°,AD=2,CD=2BD.当一取得

AB

最小值时，BD=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21

题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求

作答。

（-）必考题：共60分。

17.（12分）

甲、乙两城之间的长途客车均由4和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行

情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

准点班次数未准点班次数

A24020

B21030

（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；

（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？

n(ad-bc')2

(a+b)(c+d)(a+c)(8+d)

P(K2..k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

18.(12分)

记S“为数列J｛a,,｝的前八项和.已知名•+〃=2%+1.

(I)证明：｛a,,｝是等差数列；

(2)若能,外，a9成等比数列，求S“的最小值.

19.(12分)

小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD是

边长为8(单位：cm)的正方形，△以^△F3C,Z\G8,ZV/D4均为正三角形，且它

们所在的平面都与平面A8CD垂直.

(1)证明：防〃平面A8CD；

(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).

20.(12分)

已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=/(x)在点处的切线也是曲线

y=g(无)的切线.

(1)若玉=-1,求a：

(2)求。的取值范围.

21.(12分)

设抛物线。：：/=2「匹(2>0)的焦点为£点。5,0),过户的直线交C于M,N两点.当

直线MZ)垂直于x轴时，

(1)求C的方程：

(2)设直线A/D,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,A3的倾斜角分别为

a,(3.当a取得最大值时，求直线AB的方程.

(-)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，

则按所做的第一题计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

'2+t

X-

在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为16(r为参数)，曲线G的参数方程

6(s为参数).

y

(i)写出G的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为

2cos。一sin6>=0,求G与G交点的直角坐标，及G与C2交点的直角坐标.

23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)

己知a,"c均为正数，且