半线性椭圆问题petrov galerkin逼近双调方程混合元一种新格式

Ph.M.Dissertation，ZhengzPh.M.Dissertation，ZhengzhouUniversit，No.20061201407010200PetrovGalerkiaPProximationmodeltose linearelliPtieboundaryvaluProblesananewsehemeforthemixedfiniteelementethofothbiharmonicequnCandida:51Hongyin:ChenShaoehuSPeeia:ComPutationalathmaDeParentofMathematies，ZhengzhouUniverZhengzhou，450052，P.R.ChinMay，200要本文主要研究了二阶半线性椭圆问题的PetovGal要本文主要研究了二阶半线性椭圆问题的PetovGalerkin逼近和双调和方程混合元的一种新格式.对二阶半线性椭圆问题分别用双二次多项式空间作为形函数空间，用双线性多项式空间作为试探函数空间，证明了此逼近模式与标准的双二次有限元逼近模式具有相同的收敛阶.并且根据插值算子的逼近性质进一步证明了有限元解to对双调和方程的混合有限元方法采用一种新的格式，对流函数用双二次多项式逼近，对涡函数用双一次多项式逼近，假设矩形剖分拟一致，在原始光滑性cialtRaviar格式中分别用双二次多项式逼近具有相同的收敛阶.toCiletRaviart混合元格式.AbstraInthisPaPerAbstraInthisPaPerweintroduceaPetrovGalerkinaPProximationmodeltosemilinearelliPboJndaryvalueProblemsandanewsehemeforthemixedfiniteelementmethodforthebiharnan(1bilinearPolynomialsPaeeareusedastheshaPefunctionsPaeeandthetestfunetionsPaeeresPeetive]y.WeProvethattheaPProximationorderofthestandardquadratiefiniteelementeanbtionconvergetotheProPosedPetrovGalerkinaPProximatesolutionTothemixedfiniteelemenmethodforthebiharpnonieequationtheflowfunetion15aPProximatedbybiquadratiePolynomiaan1thevortexfunetionbybilinearPolynomialAssumingthatthereetangularelementPitio15uasiuniformthenProPosedsehemeeanaeheivethesameaPProximationorderastheCiarleRaviartmixedfiniteelementwiththeflowfuntionandthevortexfunetionsbyPieeewisequadraPo]ynomialsorderelliPticProblems:FourthorlinearelliPProblesdefeetiterationCiarletRaviarment女目录引 第一章预目录引 第一章预备知 第二章矩形元上插值算子的逼近性 第三章二阶半线性椭圆问题的PetrovGaierkin逼 第四章双调和方程混合元一种新格式 附录:硕士期间的主要研究成 致 l 有限元方法是在古典助zGalerkin变分方法的基础上，以分片插值多项式为工.具，结合计算机的发展与推广而迅速发展起来的一种求解微分方程的数值方cournl 有限元方法是在古典助zGalerkin变分方法的基础上，以分片插值多项式为工.具，结合计算机的发展与推广而迅速发展起来的一种求解微分方程的数值方cournt1943年提出在三角形网格上用逐片线性函数去lt这是有限元方法最原始的思想.到了二十世纪五十年代，有限元方法为航空结构工程师们所发展，随后逐步波及到土木结构工程.到六十年代，有限元方法在许多领域开始广泛应用，包括船舶，巨型建筑的设计，流体力学以及电磁学等.国内最早研究有限元方法的是冯康院士(19201993)，他独立与西方科学家奠定了有限元方法的数学理论基础([l]3).从而把有限元方法从工程局限中解放au*初一刀rez的一般数学理论.二十世纪八十年代初，Falkosbom提出了一种弱化的混合有限元分析方法([9])，扩大了混合有限元方法的适用范围.混合有限元方法可以同时逼近多个未知函数，对处理高阶方程和含有两个或两个以上未知函数的方程更为便利.利用混合有限元方法还有很多优点，例如在计算多孔介质流时，通常计算速度，如用通常的有限元方法只能先求出压力，然后求导得到速度，了离散解的精度.另外混合有限元解具有很好的物理意义和物理性能但要求所构造的混合有限元空间必须满足LBB相容条件，给有限元空间的选取带来了—定的困难.有限元方法在近似求解椭圆方程边值问题及抛物方程初边值问题方面已经许抛则性很弱甚至可出现间断，存在扰动的传播与反射，没有抛物问题那样强的耗散性质等等GABaker([10出了一类非标oale改in有限元方法，也称Petrovoale南乙totoPetovGalerkinGalerkin使得方法具有更大的灵活性.to子的性质进一步证明了线性有限元解的亏量迭代序列收敛到PetovGalerkin用上述同样的单元，对双调和方程的混合有限元格式，采用对流函数用双二次cial本文的写作安排如下:第一章:介绍预备知识，列举本文所用到的记号和定理.第二章:矩形元上插值算子的逼近性质.第三章:to第四章:双调和方程混合元的一种新格式.第一章预备知识本章介绍一些本文用到的一些主要结论和函数空间，所采用的符号与文献3]中的符号基本一致.的证明参见相关文献.1.1sobolev空间及一些记号Rn为。维欧式空间，。为Rnp次可积函数组成的集合.Lco第一章预备知识本章介绍一些本文用到的一些主要结论和函数空间，所采用的符号与文献3]中的符号基本一致.的证明参见相关文献.1.1sobolev空间及一些记号Rn为。维欧式空间，。为Rnp次可积函数组成的集合.Lco合.则按范数lP<cP二cogDJOXm为非负函数，1pcop这个空间依范ococ，maP=cococ，maP=co构成一个Ba空间，我们称之为sobolev空间，并定义半范数cDp=lmm=HizbertmDDv定义设xYxcyxxIx的恒等算子了是连续的，即存在常数M丫xEXx嵌入从记为x、YI为嵌入算子，M为嵌入常数.M下面给出本文用到的几个不等式.从n肋wsi不等 couvoincacRn为有界区域，rcJmeas(Doc特别当，。。川(卿，时，此不等式给出了，u +1pcoqp +1pcoqp1.2有限元基本理论vHilbet空间，对一般的抽象变分问题，VVv)dapmaxdiams为单元的最大内切球直径，hmax定义两个有限入为仿射等价的，如果存在可逆的仿射变换艺==枷若存在正常数c使得剖分族几满足定义KK定义1.5c厂，我们称有限元空间为协调元空间.否则成为非协调员空—族有限元称为仿射族，如果其所有有限元都仿射等价于某一参考有限元插值逼近定理:U{K)上成立下列关系出现的最高阶偏导数的阶数m上成立下列关系出现的最高阶偏导数的阶数mk为非负整数，1pqc.(在不依赖于KcKvcmv+在定理条件下，有限元空间殊上的插值算子n。将具有下面逼近性质1Ivflv，hlvflv毛Chvl*vv。泌。Lram引理:let上的双线性泛函，如果满足l)有界性，即存在正常数Ml(2)强制性，即存在常数c0vv)lYV任万…则对任意foH’，存在唯一的。。Hv)VvEHHH的共扼空间.下面考虑抽象的变分形式(l.5)丫vh关于其解的存在唯一性及误差估计有如下引理CaafLaxMilgram定理的条件，则离散问题有唯一解，且eiCaafLaxMilgram定理的条件，则离散问题有唯一解，且eiIulvv1.3混合有限元理论许多问题都可以化为下列抽象的混合变分形式:丫上的双线性型，GHM上的连续线性泛函.下面给出上述混合变分问题解的适定性的判别条件.基本定理l.9)YV2a则混合变分问题存在唯一解(u，哟。HxXhxMgx二M则称为协调元空间，否则称为非协调元空间对于协调元，混合元变分问题的离散形式为对于协调元，离散混合变分问题有如下结论:Vv*(1.10对于协调元，离散混合变分问题有如下结论:Vv*(1.10基本定理若双线性型allVvhYEMhS叩则离散格式(l.10)u*x(l.9)间有误差估计unlcl离散的IBB条件和正定性条件太强了，在实际应用中，会遇到一些问题不满足.上述条件.为了克服这样的缺陷，Falkosborn1980年创立了一种改进的方IBB条件要弱一些，能够适用于的问题六个基本假定，G;Hilbet空间v使得M连续嵌入)，并使得对于任doVHxVv任ydVEHxVv任ydVEw使得H、斌而且有)lvh其中vhbvh，再0V‘vn丫vhrh:Y*Y其中y.当少几c基本定理本定理有下面五个结)立l.10)存在唯)如果(Hl)一(丛)成立，那么有下面的误差估计:sh)如果(Hl)一(丛)成立，那么有下面的误差估计:shHHs注:此定理的条件总体来说较多，但这些条件都比IBB条件和正定性要弱些，因—些条件是自然成立的，应用上述定理可以很好的解决许多方程的混合有限元解的存在唯一性以及误差估计问题，例如:Poison阶双调和方程，定长stokes问题和弹性力学问题等.l.5)PetovGalerkin近的一般uvHilbert空aux的双线即存M(1.12丫u任U，Vv对一般的抽象变分问题，求。。uVv〔auv)auxfV上的线性泛函.定理}对一般的抽象变分问题，求。。uVv〔auv)auxfV上的线性泛函.定理}训v(1.14u任U，v任只其中y为常数.Vv任只vv)}yto*vVv。任价(1.16Pet结论.2:设条l.14)l.巧)成立uhvh任价.(1.18第二章矩形元上插值算子的逼近性质本章主要是在[15]的基础上建立矩形元上插值算子的逼近性质.令T形，其长为Zh2h:通过连接对边中点得到四个子矩形T如图:aa第二章矩形元上插值算子的逼近性质本章主要是在[15]的基础上建立矩形元上插值算子的逼近性质.令T形，其长为Zh2h:通过连接对边中点得到四个子矩形T如图:aa定义oxq产12。是双二次拉格朗日插值多项式定义在T的节点i=下面我们给出插值算子逼近性质的一个重要定理.定理Xx0x0乙+(+(=+h1h+(xx0y0hZ)uxx0hly0hhh+hh+由u+Illul _.2.1宁万t万、ulu4us一uZ)ulu4usuZ刀“2JJ，+ ++UUU扮UU22+uuuuu64114121 _.2.1宁万t万、ulu4us一uZ)ulu4usuZ刀“2JJ，+ ++UUU扮UU22+uuuuu6411412158+jU ++++ U+U+UUU242一uuuu22121411+u5奋u_33l51书1‘u_行瞬lU+一丽材l6++44487u88+uu3材l4u1us19封2材2l+uZu4材2一uZu6材27一uZus材3材9l+封36一u3u7材38一材39一材45+7一2石峋u93u7ush:14，二l一诺+hZ’45’73女l+tt67十5u6us7材89一一5l二56—试4531_ +u+配况444，8ll2一l5封lu7u1uglh8材4 材3材12uZug封2U5一一—243—348石u4ug4l4石h8材4 材3材12uZug封2U5一一—243—348石u4ug4l4石u91245lu4U4探6材4u3us封4材7一一石u737++封67一封57一封68材lu+石u7us石“7u9usughZ‘11_219_.211二2.u_24382111119l2石l34lu6u1u1uZ封l3l封23uZu4扮2封2封4封左35一材36一一u48材49一usu7封58封6封6材9一u7us8U180材4材7一u.11_21而_11‘.2.19++19211_11u石uZ3个面ll双l5+uu7l材lll3石l2uZu6封27材2材u3usu3ug份4封57一58一6ll1且_1808979通过应用柯西不等式于是我们可以得到:l2.1应用类似的方法我们可以得到下面的推论:定理2.12.224]中的结论简单且结果更优.PetolrinPetovPetolrinPetovGalerkin项式空间作为形函数空间，用双线性多项式空间作为试探函数空间，可以证明此逼近模式与标准的双二次有限元逼近模式有同样的收敛阶.根据第二章插值算子的逼近性质进一步证明了半线性有限元解的亏量迭代序列收敛到被给出的3.1Frank等在[16]且对线性椭圆边值问题[1722]，在剖分拟一致条件下通过应用超收敛和渐进展开式讨论了这种格式的有效性，证明了线性有限元解作为第一次迭代校正的原始逼近，能够获得与标准的二次有限元相同的逼近阶 即经过多次迭代校正可弥补损失的亏量.对线性二点边值问题[222324]迭代校正收敛到PetovGalerkin解.在这篇文章中我们将介绍半线性椭圆边值题亏量迭代格式，并对[24]算子收敛性结论进行了改进，结论简单且比[24]PetovGalerkin逼近格式.接下来我们证明，对半线性有限元解亏量迭代校3.2半线性椭圆边值问题考虑半线性椭圆边值问题i刀几ufzfu(uufzfu(u连续.(3v((zuv，这里r令几是拟一致矩形剖分，TI是通过连接每个矩形几的中点得到的子矩形.令以i=12)是定义在Ti上的分片双i次多项式空间.显然KcHI衅二Kn川(卿Petoaeriu*vuv)，3.2)3.13.3)用下面的中值定理.w=不+从一否下面的估计式成立.}=不+从一否下面的估计式成立.}uuhCl}乃u一uluuhChl}几ur(1ll)lff(vlwlvl*l妻(1W=(1vZIv2Iv)}毛C}wlIlvI儿(wwZIlv.根据(3.3)3.4)以看u*vu*v*IhI:(zu1I*I(由此可以推出(3.63.11)h)v令VvavUv3.14)可以写成下面形式:根据边值问题解推广的先验估计我们有2蕊C沪3.16)蕊C沪3.16)例}2Cl}引32u+且成立误差估计式alriz)=v)+(vuu2即(1212即(1212蕊v)+镇ll由定理褥奋定理被证明.第四章双调和方程混合元的一种新格式本章对双调和方程的混合有限元方法采用了一种新的格式，对流函数用双二Cial第四章双调和方程混合元的一种新格式本章对双调和方程的混合有限元方法采用了一种新的格式，对流函数用双二Cialtatcialtat式是最常用格式之一，这种格式误差估计的阶数取决于多项式的次数和涡函数通过离散空间中多项式次数的提高而提高.因而在自然性光滑条件下，为了获得更高的逼近阶，合理的选择是对流函数用二次多项式逼近，对涡函数用低于二次的多项式逼近.本文的目的就是寻找这样的空间.考虑双调和方程的凸多边foHalat项式逼近.alat项式逼近.ddrxh是剖分的最大直径.令T，离散形式为:求(*Xrx丫vh〔rrcialt已经用不同的方法证明了cialtRaviart{p4.3主要结论和证Cialcial4.3主要结论和证Cialcial见，这里假设。是护中的矩形区域.设几。是。的拟一致矩形剖分，几是通过*中每个矩形的所有对边中点得到的四个子矩形.定义以112在我们的这种情况下城优几，因此误差估计不能用通常的办法来证明.、M假设上的连续双线性型满足考虑下面的抽象问题Vv任这里xM’分别是xM的对偶空间<.，.>V少任{咋cXcM，是有限元空间.43.1[六个基本假定和基本定理lwlwvwvI:T^满足:XHM=川QH瓜vdxdyD(H1)H3H4s(hch构造算子rh满足(H5)对一个给定的voHrxV价任胜，dHlP0P0Vl2HlP0Banach，且范数定义为=inf}v+Pvv!}v}lCvl显:betI(wu)w侧几u)dx=I(wu)(4.16)204144I(ww))}wYw04144I(ww))}wYw任巧/POWv)成Izvl蕊簇VwvPOv)v)和v)v).可几哟六办.gg~丫v任巧POg因此，(4.10)存在一类解，所有解相差一个常数rvl44)为了得到定理的证明，必须先估计rvl44)为了得到定理的证明，必须先估计CldI由rhy从而C)l蕊c比vzz13 z13 J一为!112一儿所以有通过基本定理3所以ruoIp镇1llu蕊su蕊su镇ChZlo]冯康，基于变分原理的差分格式.应用数学与计算数学，1%]冯康，石钟慈，弹性结构的数学理论.科学出版社，]冯康，冯康文集.国防工业出版社，.]冯康，基于变分原理的差分格式.应用数学与计算数学，1%]冯康，石钟慈，弹性结构的数学理论.科学出版社，]冯康，冯康文集.国防工业出版社，.1619[5EBrezzi，OntheexisteneeuniquenessandaPProximationofsaddlePointProblemsarisinns3orh8]罗振东，有限元混合法理论基础及其应用.济南，山东教育出版社，19[9]R.5.Falk，J.E.Osbom，Ermrestimatesformixedmethods，RAIRO，Numer.Anal.，3(1980)，249~277110GABaker，AfiniteelementmethodforfirstorderhyPerbolieequations[JMatheomP1975299951006林大学自然科学学报，864:40[12CiarletPGTheFiniteElementMethodforElliPtieProblemsNorthHollandAmsterdam1978[l3]李立康，索伯列夫空间引论.上海科学出版社，[l4]李荣华，边值问题的Galerkin151JBGaoandYDYangTheDefectIterationoftheFiniteElementforElliPtieBouValueProblemsandPetrovGalerkinAPProximationJComPut.MathVol.16No.l1989152~1643[16RFrankJ.HertlingJ.RMonnet，TheaPPlieation[16RFrankJ.HertlingJ.RMonnet，TheaPPlieationofiterateddefeeteorreetiontov硕ationreHabilitationSehrift，UniversitatHeidelberg1990[18}R.RannaeherDefeetcorreetionteehniquesinthefiniteelementmethod，MetzDaysonNmeriealAnalysis，Univ.Metz.，June1990eory20QLinAHZhou，Defecteoetionforfiniteelementgradient，SystSeiandMathS5:3(1992)，278~2Problems，Mathnumer.Sinieae[23〕MAKlasnoselskete.，APProximationSolutionofOPeratorEquationgs，MoseowP1969