课题学习最短路径问题 省赛获奖

第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题目标突破目标突破总结反思总结反思13.4课题学习最短路径问题知|识|目|标1．通过观察、归纳、操作等活动，掌握翻折法(轴对称)解决最短路径问题．2．通过观察、归纳、操作等活动，掌握平移法解决最短路径问题．13.4课题学习最短路径问题目标突破目标一利用翻折法(轴对称)解决最短路径问题例1[教材问题1变式]如图13－4－1，在锐角∠AOB内有一定点P，试在OA，OB上确定两点C，D，使△PCD的周长最短．图13－4－113.4课题学习最短路径问题解：△PCD的周长等于PC＋CD＋PD，要使△PCD的周长最短，根据“两点之间，线段最短”，只需使得PC＋CD＋PD的大小等于某两点之间的距离，于是考虑作点P关于射线OA和OB的对称点E，F，则△PCD的周长等于线段EF的长．作法：如图，①作点P关于射线OA的对称点E；②作点P关于射线OB的对称点F；③连接EF，分别交OA，OB于点C，D.则C，D就是所要求作的点．13.4课题学习最短路径问题证明：连接PC，PD，则PC＝EC，PD＝FD.在OA上任取异于点C的一点H，连接HE，HP，HD，则HE＝HP.∵△PHD的周长＝HP＋HD＋PD＝HE＋HD＋DF>ED＋DF＝EF，而△PCD的周长＝PC＋CD＋PD＝EC＋CD＋DF＝EF，∴△PCD的周长最短．13.4课题学习最短路径问题【归纳总结】通过翻折法(轴对称)将折线问题转化为直线问题，构造“两点之间，线段最短”的基本图形，从而解决最短路径问题．题型二利用平移法解决最短路径问题13.4课题学习最短路径问题例2[教材复习题13第15题变式]如图13－4－6，荆州护城河在CC′处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：DD′，EE′(桥宽不计)，设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何架桥可使ADD′E′EB的路程最短？图13－4－613.4课题学习最短路径问题[解析]

由于含有固定线段“桥”，导致不能ADD′E′EB通过轴对称直接转化为一条线段，常用的方法是构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答，这就是“造桥选址问题”．解：作AF⊥CM，且AF＝河宽，作BG⊥CN，且BG＝河宽，连接GF，与河岸相交于E′，D′.过D′作DD′⊥CM于D，过E′作E′E⊥CN于E，DD′，EE′即为桥的位置．13.4课题学习最短路径问题证明：由作图可知，AF∥DD′，AF＝DD′，则四边形AFD′D为平行四边形，于是AD＝FD′，同理，BE＝GE′，由“两点之间，线段最短”可知，GF最小．即当桥建于如图13－4－5所示位置时，ADD′E′EB最短．13.4课题学习最短路径问题【归纳总结】通过平移法将折线问题转化为直线问题，构造“两点之间，线段最短”的基本图形，从而解决最短路径问题．

►

知识点最短路径问题

13.4课题学习最短路径问题总结反思最短路径问题的理论根据：“两点之间，线段最短”“垂线段最短”等．在解决最短路径问题时，我们通常利用______、______等图形变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径．轴对称

平移

13.4课题学习最短路径问题如图13－4－7，在河的两岸有A，B两个村庄，A村已通上燃气，燃气公司打算将A村的管道再接到B村，应如何设计路线才能使管道最短？图13－4－7图13－4－813.4课题学习最短路径问题解：如图13－4－8，管道路线为AM→MN→NB.找出以上画法的错