新高考数学一轮复习讲练测专题3.1函数的概念及其表示（讲）解析版

专题3.1函数的概念及其表示新课程考试要求1．了解函数的概念，会求简单的函数的定义域和值域.2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法.3．了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.核心素养培养学生数学抽象（例1.3）、数学运算（例2--12）、数学建模（例9）、直观想象（例5.10）等核心数学素养.考向预测1.分段函数的应用,要求不但要理解分段函数的概念，更要掌握基本初等函数的图象和性质．2．函数的概念，经常与函数的图象和性质结合考查.【知识清单】1．函数的概念函数两个集合A，B设A，B是两个非空数集对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应2．函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.【考点分类剖析】考点一函数的概念【典例1】【多选题】（2021·浙江高一期末）在下列四组函数中，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不表示同一函数的是（）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】根据同一函数的要求，两个函数的定义域和对应法则应相同，对四个选项中的两个函数分别进行判断，得到答案.【详解】A选项，SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，所以二者不是同一函数，故A符合题意；B选项，SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0定义域相同，对应法则也相同，所以二者是同一函数，故B不符合题意；C选项，SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，所以二者不是同一函数，故C符合题意；D选项，SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，所以二者不是同一函数，故D符合题意；故选：ACD.【规律方法】函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同．【变式探究】（2021·浙江高一期末）下列函数中，与函数SKIPIF1<0是相等函数的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】依次判断各个选项的解析式和定义域是否和SKIPIF1<0相同，二者皆相同即为同一函数，由此得到结果.【详解】SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0；对于A，SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0定义域不同，不是同一函数，A错误；对于B，SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0定义域相同，解析式相同，是同一函数，B正确；对于C，SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0定义域不同，不是同一函数，C错误；对于D，SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0解析式不同，不是同一函数，D错误.故选：B.【易混辨析】1.判断两个函数是否为相同函数，注意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同．2.从图象看，直线x=a与图象最多有一个交点.考点二：求函数的定义域【典例2】（2019·江苏高考真题）函数的定义域是_____.【答案】.【解析】由已知得,即解得，故函数的定义域为.【典例3】（2021·全国高一课时练习）（1）已知SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的定义域；（2）已知SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的定义域；（3）已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的定义域．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0.【解析】利用抽象函数的定义域求解.【详解】（1）∵SKIPIF1<0中的SKIPIF1<0的范围与SKIPIF1<0中的x的取值范围相同．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0．（2）由题意知SKIPIF1<0中的SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0中SKIPIF1<0的取值范围与SKIPIF1<0中的x的取值范围相同，∴SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0．（3）∵函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0.【规律方法】1.已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．2．抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．【变式探究】1.函数的定义域为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】故答案选C2．（2020·河南省郑州一中高二期中（文））已知函数定义域是，则的定义域是（）A．[0,] B． C． D．【答案】A【解析】因为函数定义域是所以所以，解得：故函数的定义域是[0,]故选：A【特别提醒】求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达．高频考点三：求函数的解析式【典例4】（2021·全国高一课时练习）已知fSKIPIF1<0=x2+SKIPIF1<0，则函数f(x)=_______，f（3）=_______．【答案】SKIPIF1<011【解析】利用换元法可求出SKIPIF1<0，进一步可得SKIPIF1<0.【详解】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【典例5】（2021·全国高三专题练习）如图所示，函数SKIPIF1<0的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0，4)、(2，0)、(6，4)，求函数SKIPIF1<0的解析式．【答案】SKIPIF1<0【解析】根据图象分段求出解析式，再写成分段的形式即可得解.【详解】设线段SKIPIF1<0所对应的函数解析式为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0与SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，同理，线段SKIPIF1<0所对应的函数解析式为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【规律方法】1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．3.已知求，或已知求，用代入法、换元法或配凑法．4.若与或满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解．5.应用题求解析式可用待定系数法求解．【变式探究】1.已知单调函数f(x)，对任意的x∈R都有f[f(x)−2x]=6，则f(2)=()A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】设t=f(x)−2x，则ft=6令x=t，则f解得t=2，∴fx∴f2故选C．2．（2021·全国高一课时练习）已知二次函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的解析式．（2）求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）3．【解析】（1）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入求解SKIPIF1<0，化简求解系数．（2）将二次函数配成顶点式，分析其单调性，即可求出其最值．【详解】（1）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴由题SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（2）由（1）可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0单调递增，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.考点四：求函数的值域

【典例6】函数的值域为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，，（当且仅当，即时取等号），的值域为.故选：.【典例7】【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，值域为SKIPIF1<0，则（）A．函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0 B．函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0C．函数SKIPIF1<0的定义域和值域都是SKIPIF1<0 D．函数SKIPIF1<0的定义域和值域都是SKIPIF1<0【答案】BC【解析】根据抽象函数的定义域即可判断选项A，根据SKIPIF1<0值域为SKIPIF1<0，即可判断选项B，令SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0得范围即为定义域，由SKIPIF1<0可得值域，即可判断选项C，由SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，但无法判断定义域，可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】对于选项A：令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，故选项A不正确；对于选项B：因为SKIPIF1<0值域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，可得函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，故选项B正确；对于选项C：令SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0恒成立，所以函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，故选项C正确；对于选项D：若函数SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时无法判断其定义域是否为SKIPIF1<0，故选项D不正确，故选：BC【典例8】（2021·浙江高一期末）函数SKIPIF1<0的定义域是_________，函数SKIPIF1<0的值域为__________．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】①由SKIPIF1<0解不等式，即可求出定义域；②利用换元法，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将原函数转化为关于SKIPIF1<0的二次函数，求值域即可.【详解】①由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0的定义域是SKIPIF1<0.②令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以原函数可化为SKIPIF1<0，其对称轴为SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0.故答案为：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0【规律方法】函数值域的常见求法：(1)配方法配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c(a≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法．(2)数形结合法若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法．(3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题）(4)利用函数的单调性①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即若y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则y最小＝f(a)，y最大＝f(b)；若y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则y最小＝f(b)，y最大＝f(a)．②形如y＝ax＋b＋eq\r(dx＋c)的函数，若ad＞0，则用单调性求值域；若ad＜0，则用换元法．③形如y＝x＋eq\f(k,x)(k＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x＞0时，函数y＝x＋eq\f(k,x)(k＞0)的单调减区间为(0，eq\r(k)]，单调增区间为[eq\r(k)，＋∞)．一般地，把函数y＝x＋eq\f(k,x)(k＞0，x＞0)叫做对勾函数，其图象的转折点为(eq\r(k)，2eq\r(k))，至于x＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决．*(5)导数法利用导函数求出最值，从而确定值域．高频考点五：分段函数及其应用【典例9】（2021·河南新乡市·高三月考（理））如图，在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0出发，沿SKIPIF1<0向，以每SKIPIF1<0个单位的速度在正方形SKIPIF1<0的边上运动；点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0出发，沿SKIPIF1<0方向，以每秒SKIPIF1<0个单位的速度在正方形SKIPIF1<0的边上运动.点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0同时出发，运动时间为SKIPIF1<0(单位：秒)，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0(规定SKIPIF1<0共线时其面积为零，则点SKIPIF1<0第一次到达点SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的图象为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据题意，分别求出当SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0对应的函数解析式，进而得答案.【详解】根据题意，当SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0所以根据分段函数的解析式即可得在区间上的函数图像为选项A.故选:A.【典例10】（2021·四川达州市·高三二模（理））已知函数SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，结合图象有SKIPIF1<0，从而得到SKIPIF1<0SKIPIF1<0求解.【详解】函数SKIPIF1<0的图象如图所示：设SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，其对称轴为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，在SKIPIF1<0上递增，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0【典例11】（2021·全国高一课时练习）对于任意的实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0中较小的那个数，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则集合SKIPIF1<0_______；SKIPIF1<0的最大值是_______.【答案】SKIPIF1<01【解析】作出函数SKIPIF1<0的图象，解出方程SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，由图可得SKIPIF1<0，然后可得其最大值.【详解】函数SKIPIF1<0的图象如下，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0则集合SKIPIF1<0由题意及图象得SKIPIF1<0由图象知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最大，最大值是1.故答案为：SKIPIF1<0，1【典例12】（江苏高考真题）已知实数SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则a的值为________【答案】SKIPIF1<0【解析】分当SKIPIF1<0时和当SKIPIF1<0时两种分别讨论求解方程，可得答案.【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0解