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文档简介

§2.4.1

平面向量的数量积的物理背景及其含义3．两个非零向量夹角的概念1．向量共线定理复习引入：2．平面向量基本定理已知两个非零向量a和b，作OA=a，

OB=b，则∠AOB=θ

（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。当θ＝0°时，a与b同向；OAB当θ＝180°时，a与b反向；OABB当θ＝90°时，称a与b垂直，记为a⊥b.OAab讲解新课：

1．力做的功：θFS力F所做的功W可用下式计算

W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角2．平面向量数量积的定义：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b

a·b=|a||b|cosθ规定:零向量与任一向量的数量积为0。3．“投影”的概念：

|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。在方向上的投影4．向量的数量积的几何意义：等于的长度与的乘积。5．两个向量的数量积的性质：特别地OABθ

abB1设、是非零向量，是与方向相同的单位向量。（3）与同向时，当与反向时，6．平面向量数量积的运算律其中，是任意三个向量，注：三、讲解范例：解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10例1已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。例2已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角θ=60°，求(a+2b)(a-3b)。解：(a+2b)(a-3b)=|a|2-|a||b|cosθ-6|b|2=36-6×4×cos60°-6×16=-72例3已知|a|=3，|b|=4，当且仅当k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直？解：（a+kb)·(a-kb)=|a|2-k2|b|2

=9-16k2故k=3/4或k=-3/4而(a+kb)·(a-kb)=0(2)1．若a=0，则对任一向量b

，有a

·

b=0．2．若a≠0，则对任一非零向量b,有a·b≠0．3．若a≠0，a

·b=0，则b=04．若a

·

b=0，则a

·

b中至少有一个为0．5．若a≠0，a

·

b=b

·

c，则a=c6．若a

·

b=a

·

c,则b≠c,当且仅

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