变化率问题（定）

1.1.1变化率问题莱布尼茨牛顿

17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，牛顿和莱布尼茨在前人的探索与研究的基础上,几乎同时创立了微积分,使它成为数学的一个重要分支.它是数学发展史上继欧氏几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造,是数学史上的里程碑,是人类智慧最伟大的成就之一.

如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分．为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;

二、求曲线的切线;

三、求已知函数的最大值与最小值;

四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一,它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．问题1气球膨胀率

大家都玩过气球，吹过气球，我们都会有这个一样感受：“气球越来越难吹”．（假如我们每次吹气的频率与气量是一样的且气球是标准的球体）你能否从数学角度来解释呢？气球膨胀图当吹进去的气体相同时，气球膨胀越来越慢．即:气球半径的增加量越来越小.气球膨胀率是刻画气球变化快慢的重要指标．

(1).从表格中，你观察到了什么？

气球的体积V1气球的体积V1V2-V1气球的半径r1气球的半径r2r2-r1半径的平均变化快慢0110.0000.6200.6200.6201210.6200.7820.1610.1612310.7820.8950.1130.1133410.8950.9850.0900.0904510.9851.0610.0760.0765611.0611.1270.0660.066二、探究新知，揭示概念

实例：气球的半径变化问题思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，所以，虽然运动员在这段时间里的平均速为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．thO问题1气球膨胀率问题２高台跳水h(t)=-4.9t2+6.5t+10.思考：如果把这两个函数推广到一般函数y=f(x)，平均膨胀率与平均速度统称为平均变化率，你会描述f(x)在[x1,x2]的平均变化率吗？x1＋Δx

Δy＝f(x2)－f(x1)

函数平均变化率的定义注意：x1，x2是定义域内不同的两点，因此Δx≠0，但Δx可正也可负；Δy＝f(x2)－f(x1)是相应Δx＝x2－x1的改变量，Δy的值可正可负，也可为零．因此，平均变化率可正可负，也可为零．直线AB的斜率AB练习：已知函数f(x)=－x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则＝（）A．3B．3Δx-(Δx)2C．3-(Δx)2D．3-ΔxD例1过曲线f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．例2.已知函数f(x)=x2，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率：(1)[1,3](2)[1,2](3)[1,1.1];(4)[1,1.001]解：【动动手】1.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.解：从出生到第3个月该婴儿体重的平均变化率：第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.2.已知函数

f(x)=2x+1，g(x)=-2x,分别计算在区间[–3,–1]、[0,5]上f(x)、g(x)的平均变化率.解：函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为函数g(x)在[-3,-1]上的平均变化率为函数g(x)在[0,5]上的平均变化率为

平均变化率的应用例3甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？解：由图象可知甲的平均速度为：乙的平均速度为：则乙的平均速度较大.【动动手】甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？解：甲赚钱的平均速度为乙赚钱的平均速度为．所以乙的经营成果比甲的好．

【当堂检测】1．函数f(x)＝5－3x2在区间[1,2]上的平均变化率为______.2．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为________.3．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是________．-92乙

【当堂检测】4．设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（）A.B.

C.D.D备选例题1.如图是函数y＝f(x)的图象，则：(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；(2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．解：(1)f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率：小