新教材高中数第6章平面向量及其应用64平面几何中的向量方法训练含解析新人教A版必修第二册

6.4.1平面几何中的向量方法课后·训练提升基础巩固1.已知A,B,C,D四点的坐标分别为(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为()A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形解析∵AB=(3,3),CD=(-2,-2),∴AB=-32CD,∴AB又|AB|≠|CD|,∴该四边形为梯形.答案A2.如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,BF=2FO,则FD·FE的值是(A.-34 B.-89 C.-14 D解析因为FD=且OD=-OE,所以FD·FE=(FO+OD)=FO2-OD2=答案B3.在四边形ABCD中,若AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为()A.5 B.25 C.5 D.10解析∵AC·BD=0,∴AC⊥∴四边形ABCD的面积S=12|AC||BD|=12×5答案C4.如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,点E为AB的中点,且DE⊥AC,则|DE|等于(A.52 B.2C.3 D.22解析以A为坐标原点,AB,AD的方向分别为x轴、y设|AD|=a(a>0),则A(0,0),C(4,a),D(0,a),E(2,0),所以DE=(2,-a),AC=(4,a).因为DE⊥AC,所以DE所以2×4+(-a)a=0,即a2=8.所以a=22,所以DE=(2,-22),所以|DE|=22+(-2答案B5.在▱ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点,若AC·BE=1,则AB的长为(A.1 B.12 C.13 D解析设AB的长为a(a>0),因为AC=所以AC·BE=(AB+=12AB·AD-12AB2由已知,得-12a2+14a+1又因为a>0,所以a=12,即AB的长为1答案B6.在四边形ABCD中,AB=-CD,AC·BD=0,A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形解析∵AB=-CD,即AB=∴AB与DC平行且相等,∴四边形ABCD是平行四边形.又AC·BD∴AC⊥BD,即AC⊥BD,∴▱ABCD答案D7.点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足OA·OB=OB·OC=OC·OAA.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高线的交点解析∵OA·∴(OA-OC)·OB∴OB·CA=0,∴OB⊥同理OA⊥BC,OC⊥AB,∴O为三条高线的交点.答案D8.已知在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E,F分别为BC,CD的中点,则EF=,(AE+AF)·BD=解析如图,以A为坐标原点O,以AB,AD的方向分别为x轴、y则A(0,0),B(2,0),D(0,1),∴C(2,1).∵E,F分别为BC,CD的中点,∴E2,12,F(1,1),∴EF=(-1∴AE+AF=3∴(AE+AF)·BD=3×(-2)+32×1答案52-9.已知直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相交于A,B两点,若|AB|=3,则OA·OB=解析如图,作OD⊥AB于点D,则在Rt△AOD中,OA=1,AD=32所以∠AOD=60°,∠AOB=120°,所以OA·OB=|OA||OB|cos120°=1×1×-1答案-110.已知点A(-1,2),B(0,-2),且2|AD|=3|BD|,若点D在线段AB上,求点D的坐标.解设D(x,y),由题意知,2|AD|=3|BD|,且点D在线段AB上,所以2AD=3DB,即2(x+1,y-2)=3(-x,-2-y).所以2x+2=故点D的坐标为-211.已知在正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证:(1)BE⊥CF;(2)AP=AB.证明建立平面直角坐标系如图所示,设AB=2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(1)BE=(-1,2),CF=(-2,-1).∴BE·CF=(-1)×(-2)+2×(-1)∴BE⊥CF,即BE⊥(2)设点P坐标为(x,y),则FP=(x,y-1),FC=(2,1),∵FP∥∴x=2(y-1),即x=2y-2,同理,由BP∥BE,得y=-2x+4,由x∴点P的坐标为65∴|AP|=652+852=2=|能力提升1.在△ABC中,D为BC边的中点,已知AB=a,AC=b,则下列向量中与AD同向的是()A.a+b|a+b| B.解析AD=12AB+12AC=12(答案A2.在△ABC中,AB=3,AC=2,BD=12BC,则ADA.-52 B.52 C.-54解析因为BD=12BC,所以点D是BC的中点,则AD=12(AB+AC),BD=12BC=12(AC-AB),所以AD·BD=12(答案C3.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若AB·AF=2,则AEA.2 B.2C.0 D.1解析∵AF=AD+DF,AB·AF=∴|DF|=1,|CF|=2-1,∴AE·BF=(AB+BE)·(BC+CF)=AB·CF+BE·BC=-2(2-1)+1答案A4.如图,设P为△ABC内一点,且2PA+2PB+PC=0,则S△ABP∶S△ABC=(A.15 B.25 C.14解析设AB的中点是D,连接PD(图略).∵PA+PB=2PD=-∴PD=-14∴P为CD的五等分点,∴△ABP的面积为△ABC的面积的15答案A5.已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则AF·BC的值为(A.-58 B.18 C.14解析方法一:以E为坐标原点,EC,EA的方向分别为x轴、建立平面直角坐标系如图所示,则A0,32,B-12,0,C12,0,E(0,0),D-14,34,由DE方法二:AF·BC=答案B6.已知A,B是圆心为C,半径为5的圆上的两点,且|AB|=5,则AC·CB=解析由弦长|AB|=5,可知∠ACB=60°,故AC·CB=-CA·CB=-|CA||CB|cos答案-57.如图所示,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC.证明设AB=a,AC=b,AD=e,DB=c,DC=d,则a=e+c,b=e+d,所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2,又已知a2-b2=c2-d2,所以e·c=e·d,即e·(c-d)=0,得AD·CB=0,所以AD⊥8.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=6,求两条直角边的中线所夹的锐角的余弦值.解方法一:如图(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别是BC,AC边的中点,BC=4,AC=6.(1)则CD=2,CE=3,∴|AD|=AC2+C|BE|=BC2AD·EB=(AC+CD)=AC=6×3+0+0+2×4=26.设AD与EB的夹角为则cosθ=AD·故直线AD与BE所夹的锐角的余弦值为1310方法二:如图(2)所示,(2)以C为坐标