新教材高中数第6章平面向量及其应用63平面向量基本定理训练含解析新人教A版必修第二册

6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理课后·训练提升基础巩固1.若向量e1,e2是平面内的一组基底,则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()A.e1-e2,2e2-2e1 B.e1-e2,e1+e2C.2e2-e1,-2e2+e1 D.2e1+e2,4e1+2e2解析不共线的向量才能作为基底,因为e1-e2=-12(2e2-2e1),所以向量e1-e2,2e2-2e1共线,排除A;因为2e2-e1=-(-2e2+e1),所以2e2-e1,-2e2+e1共线,排除C;因为2e1+e2=12(4e1+2e2),所以2e1+e2,4e1+2e2共线,排除D.故选答案B2.已知向量a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1,e2不共线,则a+b与c=6e1-2e2的关系是()A.不共线 B.共线 C.相等 D.不确定解析∵a+b=3e1-e2,∴c=2(a+b).∴a+b与c共线.答案B3.如图所示,在矩形ABCD中,BC=5e1,DC=3e2,则OC等于()A.12(5e1+3e2) B.12(5e1-3eC.12(3e2-5e1) D.12(5e2-3e解析OC=12AC=12(BC-BA)=12答案A4.设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,则()A.AD=-13AB+C.AD=43解析由题意得AD=AC+答案A5.已知A,B,D三点共线,且对任一点C,有CD=43CA+λCB,则λA.23 B.13 C.-13 D解析因为A,B,D三点共线,所以存在实数t,使AD=tAB,则CD-CA=t(CB所以CD=CA+t(CB-CA)=(1-t)所以1-t=43答案C6.设点D为△ABC中BC边上的中点,O为AD边上靠近点A的三等分点,则()A.BO=-16AB+C.BO=56AB-解析依题意,得BO=AO-AB=13AD-答案D7.已知a=e1+e2,b=2e1-e2,c=-2e1+4e2(e1,e2是同一平面内的两个不共线向量),则c=.(用a,b表示)

解析设c=λa+μb,λ,μ∈R,则-2e1+4e2=λ(e1+e2)+μ(2e1-e2)=(λ+2μ)e1+(λ-μ)e2.因为e1,e2不共线,所以-2=λ故c=2a-2b.答案2a-2b8.如图,在△MAB中,C是边AB上的一点,且AC=5CB,设MA=a,MB=b,则MC=.(用a,b表示)

解析MC=MA+AC=MA+答案16a+59.向量a在基底{e1,e2}下可以表示为a=2e1+3e2,若a在基底{e1+e2,e1-e2}下可表示为a=λ(e1+e2)+μ(e1-e2),则λ=,μ=.

解析由条件,可知λ+μ答案52-10.如图,在△OAB中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取点D,使DB=13OB,设OA=a,OB=b,用a,b表示向量OC解OC=OA+AC=OA+BA=OA+OA-OB=11.已知单位圆O上的两点A,B及单位圆所在平面上的一点P,OA与OB(1)在△OAB中,若点P在AB上,且AP=2PB,若AP=rOB+sOA,求r+s的值;(2)P满足OP=mOA+OB(m为常数),若四边形OABP为平行四边形,求m解(1)∵AP=2PB,∴AP=∴AP=23(又AP=rOB+sOA,∴r=23,s=-23,∴r+s的值为(2)如图,∵四边形OABP为平行四边形,∴OB=又OP=mOA+∴OB=OB+(m+1)依题意OA,OB∴m+1=0,解得m=-1.能力提升1.已知非零向量OA,OB不共线,且2OP=xOA+yOB.若PA=λAB(λ∈R),则x,y满足的关系式是(A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0解析由PA=λAB,得OA-OP=λ(即OP=(1+λ)OA-λOB.又2OP=xOA+yOB,且非零向量OA,OB∴x=2+2λ,y=-2λ,答案A2.在△ABC中,N是AC边上一点,且AN=12NC,P是BN上的一点,若AP=mAB+29ACA.19 B.13 C.1 D解析如图,因为AN=12NC,所以AN=因为B,P,N三点共线,所以m+23=1,所以m=13.故选答案B3.如图所示,|OA|=|OB|=1,|OC|=3,∠AOB=60°,OB⊥OC,设OC=xOA+yOB,则()A.x=-2,y=-1 B.x=-2,y=1C.x=2,y=-1 D.x=2,y=1解析过点C作CD∥OB交AO的延长线于点D,连接BC(图略).由|OB|=1,|OC|=3,∠AOB=60°,OB⊥OC,知∠COD=30°.在Rt△OCD中,可得OD=2CD=2,则OC=OD+OB=-2OA+OB,即x=-2,答案B4.若OP1=a,OP2=b,P1P=λPP2(λ≠-1),A.a+λb B.λa+(1-λ)bC.λa+b D.11+λa+解析∵P1P=λPP2,∴OP-∴(1+λ)OP=OP1∴OP=11+λO故选D.答案D5.已知向量AB与AC的夹角为120°,且|AB|=2,|AC|=3.若AP=λAB+AC,且AP⊥BC,A.37 B.13 C.6 D.解析∵AB与AC的夹角为120且|AB|=2,|AC|=3,∴AB·AC=|AB||AC|cos120°=2×3×-1∵AP⊥BC,∴AP∴AP·BC=(AC+λAB)·(AC-AB)=AC2-λAB2+(∴32-λ×22+(λ-1)×(-3)=0,解得λ=127.故选D答案D6.如图,平面内有三个向量OA,OB,OC,其中OA与OB的夹角为120°,OA与OC的夹角为30°,且|OA|=|OB|=1,|OC|=23.若OC=λOA+μOB(λ,μ∈解如图,以OC为对角线作▱OMCN,使得M在直线OA上,N在直线OB上,则存在λ,μ,使OM=λOA,ON=μ即OC=OM+ON=λOA在Rt△COM中,|OC|=23,∠COM=30°,∠OCM=90°,∴|OM|=4,∴OM=4OA.又|ON|=|MC|=2,∴ON=2OB,∴OC=4OA+2OB,即λ=4,μ=2.∴λ+μ=6.7.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)证明:a,b可以作为一组基底;(2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式;(3)若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值.解(1)证明:若a,b共线,则存在λ∈R,使a=λb,则e1-2e2=λ(e1+3e2).∴(1-λ)e1-(3λ+2)e2=0.∵e1,e2不共线,∴1-λ∴λ不存在,故a与b不共线,可以作为一组基底.(2)设c=ma+nb(m,n