基于markov链的长江水质预测模型

基于markov链的长江水质预测模型

马尔可夫预测方法是马尔可夫链在预测领域的应用方法。起初，这种方法在水文、天然气、地震等方面得到了广泛应用，此后，经济学家在研究生产力和预测业务利润方面发挥了作用。在马尔可夫预测第167个非常重要的问题之一是一对状态转换的概率分布。传统的估计方法是将n状态的观察时间和系统从当前状态移到另一个状态的概率中进行估计。当系统从当前状态转移到另一个状态时，需要通过概率分布概率，然后计算一阶跃概率矩阵。但事实上，我们不知道系统在n状态下观察到的总概率，而系统在不同时间内在n状态下的概率。1转移m步后状态概率向量预测模型马尔可夫链是指系统的未来状态,仅与现在的状态有关,而与以前状态无关的随机过程,它具有无后效性特点.马尔可夫链的预测就是根据某些变量的现在状态及其变化趋向,预测其在未来某一特定期间内可能出现的状态,从而为决策提供依据.设一个系统有n个状态,在时刻t的n个状态设为s1,s2,…,sn,在时刻t位于状态si,而在时刻t+1转移到状态sj的概率为pij,i,j=1,2,…,n,称矩阵P=(pij)n×n为一步转移概率矩阵.根据概率转移矩阵的定义,其中的元素满足:pij≥0,n∑j=1pij=1,i=1,2,⋯,npij≥0,∑j=1npij=1,i=1,2,⋯,n,即矩阵P(pij)n×n中每一行的元素之和等于1.设在初始时刻t=0时,系统的n种状态s1,s2,…,sn的概率向量为α(0)=(p0(1),p0(2),…,p0(n)),则系统在时刻t=1的概率向量α(1)=(p1(1),p1(2),…,p1(n))为(p1(1),p1(2),⋯,p1(n))=(p0(1),p0(2),⋯,p0(n))[p11⋯p1n⋮⋮pn1⋯pn](p1(1),p1(2),⋯,p1(n))=(p0(1),p0(2),⋯,p0(n))⎡⎣⎢⎢p11⋮pn1⋯⋯p1n⋮pn⎤⎦⎥⎥即α(1)=α(0)P,按上式递推,可以得到系统在时刻t=m的n种状态的概率向量α(m)=(pm(1),pm(2),…,pm(n))为α(m)=α(0)Pm,此式即为转移m步后状态概率向量预测模型.2步状态转移概率矩阵计算传统的估算方法178是已知系统存在n种状态S={s1,s2,…,sn},假设在N次观察中,系统处于第i状态共有ni次,显然Ν=n∑i=1niN=∑i=1nni,设系统当前时刻处于第i状态si在下一个时刻转移到第j状态状态sj的次数为nij次,显然ni=n∑j=1nijni=∑j=1nnij,用频率估计概率的方法可以估算一步状态转移概率矩阵P=(pij)n×n,其中pij=Ρ{X=sj|X=si}=nijni,i,j=1,2,⋯,npij=P{X=sj|X=si}=nijni,i,j=1,2,⋯,n显然pij∈‚n∑j=1pij=1,i=1,2,⋯,n.pij∈‚∑j=1npij=1,i=1,2,⋯,n.然而历史统计资料有时并没有给出系统处于n种状态的总的观察次数N,只给出系统处于n种状态下的概率,此时我们无法按着上述方法来估计一步状态转移概率矩阵.因此有必要从另外的途径获取一步状态转移概率矩阵的估算方法.为了获得较为精确的一步转移概率矩阵,利用最优化的思想,即在m个时刻中要使实际状态的概率向量与理论计算的状态的概率向量的误差平方和达到最小为准则,为此可建立最优化模型.设α(t)=(pt(1),pt(2),…,pt(n))是时刻t系统在n个状态下的概率向量,t=0,1,2,…,m,设一步状态转移概率矩阵为P=(pij)n×n.实际上由于客观环境的变化,相邻时刻的一步转移概率矩阵并不完全相同,因此α(t+1)与α(t)P之间总存在误差,t=0,1,2,…,m-1,由误差平方和达到最小的准则,建立如下最优化模型,记为模型(1).minf(Ρ)=m-1∑t=0∥α(t+1)-α(t)Ρ∥2=m-1∑t=0(α(t+1)-α(t)Ρ)(α(t+1)-α(t)Ρ)Τs.t{n∑j=1pij=1,i=1,2,⋯,npij≥0,i,j=1,2,⋯,n其中约束条件是由一步转移概率矩阵的定义得来的.模型(1)是一个二次规划问题,可以有现成的算法求解,也可用Matlab软件求解.3t下面以2005年全国数学模型竞赛的A题为例,说明本模型的应用.已知1995—2004年枯水期长江全流域Ⅰ类、Ⅱ类、Ⅲ类、Ⅳ类、Ⅴ类、劣Ⅴ类这6类水质所占的比例,如表1所示.现要对长江未来10年的水质污染的发展趋势作出预测.为此可建立长江水质污染的马尔可夫链趋势预测的一步转移概率矩阵估计的最优化模型.设枯水期长江全流域水质在第t年属于Ⅰ类、Ⅱ类、Ⅲ类、Ⅳ类、Ⅴ类、劣Ⅴ类这6类状态的比例向量分别为α(t)=(pt(1),pt(2),…,pt(6)),t=0,1,2,…,9.设P=(pij)6×6为6类状态的一步转移概率矩阵,根据误差平方和达到最小的准则,把表一中数据代入模型(1),建立如下最优化模型:minf(Ρ)=9∑t=0(α(t+1)-α(t)Ρ)(α(t+1)-α(t)Ρ)Τs.t{6∑j=1pij=1,i=1,2,⋯,6pij≥0,i,j=1,2,⋯,6用Matlab软件求解,得Ρ=[0.46070.00000.53930.00000.00000.00000.03450.27780.50490.06120.06030.06140.00000.27050.33080.32300.00000.01420.00001.00000.00000.00000.00000.00000.00000.11070.17470.00000.00000.1746]由下式α(9+k)=α(9)Ρk,k=1,2,⋯,10可以对长江未来10年的水质污染属于Ⅰ类、Ⅱ类、Ⅲ类、Ⅳ类、Ⅴ类、劣Ⅴ类这6类状态的比例向量作出预测,预测结果见表2:从预测计算结果可以看出,枯水期长江全流域水质属于Ⅳ类、Ⅴ类、劣Ⅴ类这6类状态的比例并没有发生根本性的减少,