三年级下册数学奥数学案-封闭型植树问题 苏教版

三年级下册数学奥数学案-封闭型植树问题苏教版问题描述在农村的田地中，村民们想要植树造林，让农田更加美化。为了方便管理，他们希望将田地划分为封闭型的区域，每个区域内只能种植一种树。现在他们需要你的帮助，解决一些相关问题。小明所在的村庄共有一块长方形的田地，村民们计划在田地上种植水果树和橡树。由于要求封闭型，所以种植的水果树和橡树不能相邻。已知田地的长和宽分别为n米和m米，请你帮助村民们回答以下问题：当田地的长和宽都是整数时，求共有多少种不同的种植方案？当田地的长和宽不一定是整数时，求共有多少种不同的种植方案？扩展问题：如果村民们还想在田地中种植其他种类的树，比如植物树和柏树，条件是任意两种树之间不能相邻，这样有多少种不同的种植方案呢？问题分析首先，我们可以将每个树种的位置编号，以水果树为例，假设用数字1表示水果树，那么田地的每个位置上可以是1或0，即可以是水果树或者不是水果树。同样地，用数字2表示橡树，以此类推。对于第一个问题，当田地的长和宽都是整数时，我们可以使用穷举法来找到所有的种植方案。我们可以使用两层循环遍历每一个位置，并且在每个位置上选择是否种植水果树或橡树，同时要满足不能相邻的条件。在每一个位置上我们都有两种选择，所以最终共有$2^{n\\timesm}$种不同的种植方案。对于第二个问题，当田地的长和宽不一定是整数时，我们可以把田地看作是一个$n\\timesm$的网格，每个方格都可以是水果树或者橡树。在这个问题中，我们需要注意的是当长或宽为非整数时，可能会出现不完整的方格。因此，我们需要将这些不完整的方格作为一部分树的位置。类似地，我们可以使用穷举法来找到所有的种植方案。每个位置上我们都有两种选择，所以最终的种植方案数为$2^{\\lceiln\\rceil\\times\\lceilm\\rceil}$。对于第三个问题，当村民们还想在田地中种植其他种类的树时，我们需要注意到两种不同的树之间不能相邻。我们可以使用递归的方法来解决这个问题。假设我们有k种不同的树，我们可以将问题分解为在第一个格子种植第一种树的方案数与在第一个格子不种第一种树的方案数之和。对于不种第一种树的方案数，问题转化为在剩下的$n\\timesm-1$个格子上种植这k种树的方案数。所以最终的种植方案数为$k\\times\\text{不种第一种树的方案数}$。代码实现```python#计算整数长和宽的种植方案数definteger_land(n,m):return2**(n*m)计算非整数长和宽的种植方案数defdecimal_land(n,m):return2**(math.ceil(n)*math.ceil(m))递归计算种植其他树种的方案数defrecursive_land(n,m,tree_count):ifn==0orm==0ortree_count==1:return1else:returntree_count*recursive_land(n-1,m,tree_count-1)+recursive_land(n-1,m,tree_count)运行示例n=3m=4tree_count=3result1=integer_land(n,m)res