第十一章动量定理

第十一章动量定理动力学普遍定理概述对质点动力学问题：建立质点运动微分方程求解。对质点系动力学问题：理论上讲，n个质点列出3n个微分方程，联立求解即可。实际上的问题是：1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非常困难； 2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运动,仅需

要研究质点系整体的运动情况。从本章起,讲述解答动力学问题的其它方法,而首先要讨论的是动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理)。

表明两种量

——一种是同运动特征相关的量(动量、动量矩、动能等)，一种是同力相关的量(冲量、力矩、功等)——之间的关系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答动力学问题非常方便简捷。几个有意义的实际问题地面拔河与太空拔河，谁胜谁负？冰上拔河，谁胜谁负？几个有意义的实际问题偏心转子电动机工作时为什么会左右运动；会不会上下跳动？蛤蟆夯是如何工作的？光滑台面几个有意义的实际问题蹲在磅秤上的人站起来时，磅秤指示数会不会发生变化？水水池隔板抽去隔板后将会发生什么现象？第十一

章动量定理

§11-1动量与冲量

§11-3质心运动定理

结论与讨论

§11-2动量定理

§11-1动量与冲量一、动量1、质点的动量质点的质量与速度的乘积mv

称为质点的动量。动量是矢量，其方向与速度方向一致。动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。例：枪弹：速度大，质量小；船：速度小，质量大。m在国际单位制中，动量的单位为kg·m/s。动量的量纲为dimmv

=MLT-12、质点系的动量（1）质点系内各质点动量的矢量和，称为质点系的动量主矢，简称为质点系的动量。用p表示。[例]三物块用绳连接如图示，其质量为m1=2m2=4m3，如绳的质量和变形均不计，

则三物块均以同样的速度v运动。求该质点系的动量。m3m1m2v2v1v345°（2）利用质心求质点系动量m1m2mnzoxyrCCrimi设质点系内各质点对固定点O的矢径为ri，则结论：质点系的动量等于质点系的总质量与其质心速度的乘积。（3）若一个质点系由多个刚体组成，则该质点系动量可写为式中 mi、vCi

分别为第

i个刚体的质量和它的质心的速度。[例]求图示均质物体或物体系统的动量。vCOvCO

C

C例题1画椭圆的机构由匀质的曲柄OA，规尺BD以及滑块B和D组成(图a)，曲柄与规尺的中点A铰接。已知规尺长2l，质量是2m1；两滑块的质量都是m2；曲柄长l，质量是m1，并以角速度ω绕定轴O转动。试求当曲柄OA与水平成角φ时整个机构的动量。(a)xyOADφωB

整个机构的动量等于曲柄OA，规尺BD，滑块B和D的动量的矢量和，即解：p=pOA+pBD

+pB+pD其中曲柄OA的动量pOA=m1vE，大小是pOA=m1vE=m1lω/2其方向与vE一致，即垂直于OA并顺着ω的转向(图

b)。xyOADφωBvDvBvEExyOADφωBEpOA(b)因为规尺和两个滑块的公共质心在点A，它们的动量表示成p´=

pBD+pB+pD=2(m1+m2)vA由于动量pOA

的方向也是与vA

的方向一致，所以整个椭圆机构的动量方向与vA

相同，而大小等于xyOADφωBEpBD+pB+pDpOAxyOADφωBvDvAvBvEE思考：1、皮带轮传动系统由均质轮和均质皮带组成，该系统的动量等于多少？ω2O2O1m2ω1m1mCCCvmm1m1dRRvv2、两均质轮质量均为m1，半径均为R，两轮间距离为d，履带质量为m，长为

L，求(1)系统的动量；(2)除去与地面接触的履带以外的履带的动量。解：(1)系统的动量为各部分动量的矢量和p=p轮1

+p轮2

+p带

=(2m1+m)v

p轮1

=p轮2

=m1

v；p带=m

v

(2)p带==mv=p带二、冲量力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。1、常力的冲量······常力矢量与其作用时间的乘积。2、变力的冲量力的元冲量力在微小时间间隔dt内的冲量。力在有限时间内（瞬时t1至瞬时t2）的冲量与动量的量纲相同则冲量计算的投影式为若3、力系的冲量作用于质点系中力系的各力冲量的矢量和称为力系的冲量，即结论：力系的冲量等于力系的主矢在同一时间内的冲量。一、质点的动量定理若质量m恒定，则牛顿第二定律可写为即：质点的动量对时间的导数等于作用于其上的力。在t1至t2时间内积分，得即：质点在t1至t2时间内动量的改变量等于作用于其上的力在同一时间内的冲量。或

§11-2动量定理质点动量定理的微分形式质点动量定理的积分形式二、质点系的动量定理设质点系有n个质点，第i个质点的质量为mi，速度为vi；受力Fi(e)········外力，Fi(i)········内力，对于整个质点系质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和。其中：或质点系的动量对时间的一阶导数等于作用于质点系的外力的矢量和在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和。在瞬时t1至t2段时间内积分，有动量定理的投影式：质点系动量定理的微分形式质点系动量定理的积分形式v1v2xyθIxIyI例题1质量为1kg的小球，以v1=4m/s的速度与一固定水平面相碰撞，α＝30o，小球弹起的速度为v2=2m/s，β＝60o。求：作用于小球的冲量的大小和方向。解：以小球为研究对象，并取如图所示的坐标系。带入数值得H=1.5mPN*x例题2重30kN的重锤自高H＝1.5m自由落下并打在工件上，工件在锻锤的打击下发生变形，变形所经历的时间τ＝0.01s。求：锻锤对工件的平均压力。解：以锻锤为研究对象。工件的反力与工件的变形有关，工件变形是在时间τ内的变化，所以工件的反力也是变化的，现取平均值N*。由质点动量定理得0－0＝N*τ－P(t＋τ)ωC2C1φe例题3已知定子m1，转子m2；角速度ω；偏心距为e。求基础对电机的反力。研究定子与转子组成的系统，受力如图，解：系统的动量为p

=p

1+p

2设t=0时，C1C2铅直，则φ=ωt时，px=m2ωecosωt

p

y=m2ωesinωt由质点系动量定理：xyp2FyFxm1gm2g∴p=p2=m2ωeA三.质点系的动量守恒定律★当作用于质点系上的外力主矢恒等于零时，则质点系的动量保持不变。★当作用于质点系上的外力主矢在某轴（如x轴）上投影恒等于零时，则质点系的动量在该轴上的投影保持不变。当=常矢量当=常量质点系动量守恒的实例炮身与炮弹水平飞行时的火箭人与小船结论：只有外力才能改变质点系的动量；内力不能改变质点系的动量，但能改变其中各部分的动量。动量守恒方程中的速度必须是绝对速度；应确定一个正方向，严格按照动量投影的正负号去计算；动量守恒定理常用来求速度。C实例分析—太空拔河宇航员A、B的质量分别为mA、mB。开始时二人在太空保持静止。若A的力气大于B，则拔河胜负如何？∴二人拔河不分胜负！例题4火炮（包括炮车与炮筒）的质量是m1，炮弹的质量是m2，炮弹相对炮车的发射速度是vr

，炮筒对水平面的仰角是

（图a）。设火炮放在光滑水平面上，且炮筒与炮车相固连，试求火炮的后坐速度和炮弹的发射速度。ABFAFBm1gm2gvm1xyvrα解:炸药（其质量略去不计）的爆炸力是内力，作用在系统上的外力在水平轴x

的投影都是零，即有Fx

=0；可见，系统的动量在轴x上的投影守恒。ABFAFBm1gm2gvm1xyvrαvm1vrα

v取火炮和炮弹（包括炸药）这个系统作为研究对象。设火炮的反座速度是vm1，炮弹的发射速度是

v，对水平面的仰角是

（图b）。（b）（a）px=m2vcos

m1vm1=0对于炮弹应用速度合成定理，可得v=ve+vr考虑到ve

=vm1，并将上式投影到轴x和y上，就得到vcos

=vrcos

vm1

vsin

=vrsin

联立求解上列三个方程，即得考虑到初始瞬时系统处于平衡，即有pox=0，于是有（b）vm1vrα

v§11-3质心运动定理一、质心（质量中心）m1m2mnzoxyrCCrimixCyCzC投影得到质心的位置坐标：质心和重心是两个不同的概念

重心是与重力场相联系的，离开了重力场就没有意义。而质心是质点系的质量分布情况的一个几何点，它是客观存在的，与作用力无关。即质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和（外力主矢）。二、质心运动定理质心运动定理的投影式质心运动定理质心运动定理描述的是质点系随同质心的平行移动。三、几点说明（1）质系质心的运动，可以视为一质点的运动，如将质系的质量集中在质心上，同时将作用在质系上所有外力都平移到质心上，则质心运动的加速度与所受外力的关系符合牛顿第二定律。如在定向爆破中，爆破时质系中各质点的运动轨迹不同，但质心的运动轨迹近似一抛物线，由此可初步估计出大部分物块堆落的地方。Pv定向爆破宜宾一楼定向爆破不成，炸楼炸成“比萨斜塔”跳高运动员的过杆姿势h3=254~305mmh3=51~102mm跳高运动员的过杆姿势（2）质系的内力不能改变质心的运动，只有外力才能改变质心的运动。N2驱动汽车行驶的力N1F2F1FrMaCW汽车行驶是靠车轮与路面的摩擦力。发动机内气体的爆炸力，对汽车来说是内力。当F1＞F2＋Fr时，aC＞0（3）若质点系是由n个刚体组成的系统，则刚体系内各刚体的质量与其质心加速度乘积的矢量和，等于作用于刚体系的外力的主矢。即在直角坐标上投影形式

若，则常矢量，质心作匀速直线运动；若开始时系统静止，即则常矢量,质心位置守恒。若则常量，质心沿x方向速度不变；若存在则常量，质心在x轴的位置坐标保持不变。四、质心运动守恒定律质心运动定理的投影式例题5电动机的外壳用螺栓固定在水平基础上，定子的质量是m1，转子的质量是m2，转子的轴线通过定子的质心O1。制造和安装的误差，使转子的质心O2对它的轴线有一个很小的偏心距b（图中有意夸张）。试求电动机转子以匀角速度

转动时，电动机所受的总水平力和铅直力。bωtW1W2O1O2ωxyFyFx解:

取整个电动机（包括定子和转子）作为研究对象。选坐标系如图所示。质心C的坐标为质心C的运动微分方程为bωtW1W2O1O2ωxyFyFx从而求得质心加速度在坐标系上的投影把上式代入式(1)和(2)，即可求得Fx=

m2bω2cosωtFy=(m1+m2)g

m2bω2sinωt解法二：分析系统中各刚体的运动bωtW1W2O1O2ωxyFyFx当ω>

时，有<0，如果电动机未用螺栓固定，将会离地跳起来。砸夯机例题6如图所示，在静止的小船上，一人自船头走到船尾，设人质量为m2，船的质量为m1

，船长l，水的阻力不计。求船的位移。Olsabxxym1gm2gm1gm2g取人与船组成质点系。因不计水的阻力，故外力在水平轴上的投影等于零，因此质心在水平轴上保持不变。

人走到船尾时，船移动的距离为s，则质心的坐标为解：取坐标轴如图所示。在人走动前，质心的坐标为由于质心在轴上的坐标不变，解得Olsabxxym1gm2gm1gm2g例题7图示水平面上放一均质三棱柱A，在其斜面上又放一均质三棱柱Ｂ．两三棱柱的截面均为直角三角形．三棱柱Ａ的质量ma为三棱柱Ｂ的质量mb

的三倍，其尺寸如图示.设各处摩擦不计,初始时系统静止.求当三棱柱B沿三棱柱A滑下接触到水平面时,三棱柱A移动的距离，三棱柱A的加速度和地面的约束反力αaAbB解：（1）以整体为研究对象，水平向质心运动守恒θaAbBmAgmBgFNaAaAar（2）以整体为研究对象，由质心运动定理

单独考虑B块，经求解可得A、B块的加速度为（3）确定地面的反力,根据质心运动定理mBgFNBaAar

xtB沿xt方向运动微分方程为：牛顿第二定律动量定理动量守恒定理工程力学中的动量定理和动量守恒定理比物理学中的相应的定理更加具有一般性，应用的领域更加广泛，主要研究以地球为惯性参考系的宏观动力学问题，特别是非自由质点系的动力学问题。这些问题的一般运动中的动量往往是不守恒的。结论与讨论1、牛顿第二定律与动量守恒2、质点动量定理的微分形式质点动量定理的积分形式I－质点系统的冲量质点系统动量在一段时间内的改变量等于系统中所有质点冲量的矢量和。3、质点系的动量定理建立了动量与外力主矢之间的关系，涉及力、速度和时间的动力学问题。对于大锤，；对