2023版 大一轮 数学 人教A版 新教材（京津琼鲁鄂渝湘闽粤冀浙）第8节　二项分布与正态分布

第8节二项分布与正态分布

知识分类落实回扣知识•夯实基础

知识梳理

1.事件的相互独立性

(1)定义

对任意两个事件A与8,如果P(AB)=PC4)P(B)成立,则称事件A与事件8相互

独立，简称为独立.

(2计生质

如果事件A与B相互独立，那么A与B,A与B,A与8也相互独立.

2.〃重伯努利试验

(1)只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进

行n次所组成的随机试验称为〃重伯努利试验.

(2)〃重伯努利试验具有如下共同特征

①同一个伯努利试验重复做〃次；

②各次试验的结果相互独立.

3.二项分布

一般地，在〃重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(O<p<l),用

X表示事件A发生的次数，则X的分布列为：

P(X=Q=C£//(1一k=0,1,2,…，n.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作

X〜B(n,〃).

4.正态分布

(1)正态曲线

函数代)=司焉e—,xGR,其中〃GR,。>0为参数.

显然对于任意xdR,40〉0,它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的

区域的面积为1.我们称/U)为正态密度函数,称它的图象为正态分布密度曲线，

简称正态曲线.

若随机变量X的概率密度函数为7U)，则称随机变量X服从正态分布，记为X〜

N"/)，特别地，当〃=0,。=1时,称随机变量X服从标准正态分布.

(2)由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点

①曲线是单峰的，它关于直线丘区对称;

②曲线在x=fi处达到峰值短乐;

③当|x|无限增大时，曲线无限接近X轴.

(3)正态分布的期望与方差

若X〜Na,o2),则E(X)=W，D(X)=^.

(4)正态变量在三个特殊区间内取值的概率

①P(//一(7WXW/Z+(7)^0.6827；

②PQi-2cW+2a)=0.9545；

③P(〃一3°WXWZ/+3(7KO9973

在实际应用中，通常认为服从于正态分布N@,『)的随机变量X只取口一3°,〃

+3㈤中的值，这在统计学中称为3。原则.

•—常用结论与微点提醒一

1.相互独立事件与互斥事件的区别

相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为尸(AB)=P(A)P(B),

互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(AU8)=P(A)

+P(3).

2.若X服从正态分布，即X〜NQ,片)，要充分利用正态曲线关于直线对称

和曲线与x轴之间的面积为1解题.

诊断自测

►•思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“J”或“X”)

(1)对于任意两个事件，公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.()

(2)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式尸(X=k)=ap&l—p)"r,k=0,1,

2,〃表示的概率分布列，它表示了〃次独立重复试验中事件A发生的次数的

概率分布.()

(3)/7次独立重复试验要满足：①每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称

为“成功”和“失败”；②每次试验“成功”的概率为p,“失败”的概率为1

一p;③各次试验是相互独立的.()

(4)正态分布中的参数〃和6完全确定了正态分布，参数〃是正态分布的期望,(7

是正态分布的标准差.()

答案(l)x(2)V(3)V(4)7

解析对于(1),只有当A,8为相互独立事件时，公式尸(AB)=P(A)P(B)才成立.

〉教材衍化

2.从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为小视力合格的概

率为幺其他几项标准合格的概率为卷，从中任选一名学生，则该生三项均合格的

概率为(假设三项标准互不影响)()

A5

D,9

C-LD4

J为5

答案C

解析P=|X|X|=90-

3.已知随机变量X服从正态分布N(3,1),旦尸(X>2c—1)=尸(X<c+3),则c=

答案|4

解析...X〜N(3,1),.•.正态曲线关于尤=3对称，

且P(X>2c—1)=尸(X<c+3),

4

/.2c—1+c+3=2X3,

>考题体验

4.(2020.广州调研)某公司生产了一批新产品，这种产品的综合质量指标值x服从

正态分布N(100,f)，且P(x<80)=0.2.现从中随机抽取该产品1000件，估计其

综合质量指标值在［100，120］内的产品件数为()

A.200B.300

C.400D.600

答案B

解析由题意，这种产品的综合质量指标值X服从正态分布M100,『)，则正态

分布曲线的对称轴为x=100,根据正态分布曲线的对称性，得尸(100WxW120)=

P(80WxW100)=0.5—0.2=0.3,所以从中随机抽取该产品1000件，估计其综合

质量指标值在［100,120］内的产品件数为1000X0.3=300,故选B.

5.(2021•郑州模拟)甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，5局3胜制，每局甲赢的概率

是不乙赢的概率是本则甲以3：1获胜的概率是()

8「16

A-27B27

「16八32

C8lD8T

答案A

解析甲以3：1获胜是指前3局比赛中甲2胜1负，第4局比赛甲胜，.•.甲以3：1

获胜的概率是P=c3义0xgx|=捺故选A.

6.(2021.济南模拟)某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过三次射击，此人至少

有两次击中目标的概率为.

答案0.648

解析设击中目标的次数为X,则X〜8(3,0.6).

故P(X22)=P(X=2)+P(X=3)

=CsO.62(l-0.6)+C^0.63=0.648.

考点分层突破考点聚焦•题型剖析

考点一相互独立事件同时发生的概率师生共研

【例1】(2020•全国I卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：

累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛

的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人

被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛

结束.

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为去

(1)求甲连胜四场的概率；

⑵求需要进行第五场比赛的概率；

(3)求丙最终获胜的概率.

解⑴甲连胜四场的概率为；义夫京尹七

(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.

比赛四场结束，共有三种情况：

甲连胜四场的概率为七；乙连胜四场的概率为春

丙上场后连胜三场的概率为！

O

1113

所以需要进行第五场比赛的概率为1—七一七一/=生

loloo4

(3)丙最终获胜，有两种情况：

比赛四场结束且丙最终获胜的概率为《；

比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空

结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为七I.

因此丙最终获胜的概率为:+白+!+:=焉.

OloOO1O

感悟升华求相互独立事件同时发生的概率的主栗方法

(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.

(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立

事件入手计算.

【训练1](多选题)(2021.威海模拟)如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣分

别为A,B,C,D,E.箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论

正确的是()

AAB所在线路畅通的概率为看

B.ABC的所在线路畅通的概率为需

C.DE所在线路畅通的概率为表

D.当开关合上时，整个电路畅通的概率为石

答案BD

解析A,8所在线路畅通的概率为^X（l—；）=/因此A错误；

11129

D,E所在线路畅通的概率为1——记=就因此C错误；

jo3U3U

115

-确

-正

A,B,。所在线路畅通的概率为1—1一3乂-1---^B

4160

7Q590

根据上述分析可知，当开关合上时，电路畅通的概率为韬x1=今,D正确.

JUO30

考点二n重伯努利试验与二项分布师生共研

【例2】（2021.东北三省三校联考）某市旅游局为了进一步开发旅游资源，需要了

解游客的情况，以便制定相应的策略.在某月中随机抽取甲、乙两个景点各10天

的游客数，画出茎叶图如图所示，若景点甲的数据的中位数是126,景点乙的数

据的平均数是124.

甲乙

8109

3211y58

47x12456

861333

65141

⑴求x,y的值；

⑵若将图中景点甲的数据作为该景点较长一段时间内的样本数据（视样本频率为

概率），则从这段时间内任取4天,记其中游客数不低于125的天数为。，求PQW2）；

（3）现从图中的20个数据中任取2个数据（甲、乙两景点的数据各取1个），记其中

游客数不低于115且不高于135的个数为〃，求〃的分布列.

解（1）由题意知x>4,则120+；+127=]26,解得尤=5.

白109+110X3+120X3+130X2+141+1'+5+8+4+5+6+3+5

=124,解得y=4.

⑵由题意知，景点甲一天的游客数不低于125的概率为亲=|,

从这段时间内任取4天，即进行4重伯努利试验，其中有。次发生，所以随机变

量〃艮从二项分布，则P（£2）=C图图+cj（|）图+喏）2图2=急

⑶从茎叶图中可以看出，景点甲的数据中符合条件的有3个，景点乙的数据中符

3

合条件的有7个，所以在景点甲的数据中符合条件的数据被选出的概率为行，在

景点乙的数据中符合条件的数据被选出的概率为吉7.

由题意知，〃的所有可能取值为0,1,2.

732133772937

则产（〃=0）=正义行=而，^=i）=f5xTo+ToxTo=5（j'^=2）=wxio=

21

WO-

所以〃的分布列为

11012

212921

PToo50loo

感悟升华利用及重伯努利试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检

查该概率模型是否满足公式P（X=Z）=C£pk（］-p），E的三个条件：（1）在一次试验

中某事件A发生的概率是一个常数p;（2）〃次试验不仅是在完全相同的情况下进

行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；（3）该公式表示〃次试验中事

件A恰好发生了％次的概率.

【训练2】（2019•天津卷改编）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校

的概率均为（假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况

相互独立.

⑴用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分

布列；

（2）设M为事件”上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在

7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.

解（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校

的概率为东2

故X〜B（3,I）,从而尸（X=z）=c《|）（；）

k=0,192,3.

所以，随机变量X的分布列为

X0123

1248

P

279927

⑵设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为匕则y〜8（3,|）,且M

=｛x=3,y=i｝u｛x=2,y=oj.

由题意知事件｛x=3,y=i｝与｛x=2,y=0｝互斥，且事件｛x=3｝与｛y=i｝,事件

｛x=2｝与｛丫=0｝均相互独立，

从而由（1）知

P（M）=P（｛X=3,y=i）u｛x=2,y=oj）

=p（x=3,Y=I）+P（X=2,r=o）

824120

=P（X=3）P（Y=1）+P（X=2）尸（y=0）=万Xg+gX3=诟.

考点三正态分布师生共研

【例3】⑴（2020•南宁、柳州联考）甲、乙两类水果的质量（单位:kg）分别服从正

态分布Nai,*），Ng段），其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法错误的

是（）

A.甲类水果的平均质量为0.4kg

B.甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右

C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小

D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数6=1.99

（2）设X〜N（0，1），其正态分布密度曲线如图所示，点A（l,0）,点8（2,0）,点

C（2,1）,点0（1,1）,向正方形A8CO内任意投掷一粒黄豆，则该黄豆落入阴影

部分的概率是()

(注：X〜NWf)，则P(//—aWXW〃+<7)=0.6827,P(/z-2aWXW〃+2Q=0.9545,

Pa—3aWXW，+3a)=0.9973)

y

i

0.5

-2-1O

-0.5

A.0.8641B.0.6587

C.0.5228D.0.9785

(3)(多选题)(2021.青岛质检)近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用

精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.

若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N"3()2)和N(280,

402),则下列选项正确的是()

附：若随机变量X服从正态分布N3,片)，则P(〃-(7)20.6827.

A.若红玫瑰日销售量范围在a一30,280)的概率是0.6827,则红玫瑰日销售量的

平均数约为250

B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中

C.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中

D.白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率约为0.34135

答案(1)D(2)A(3)ABD

解析(1)由图象可知甲的正态曲线关于直线x=0.4对称，乙的正态曲线关于直线

x=0.8对称，所以〃1=0.4,偿=0.8,A项正确，C项正确.

由图可知甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右，B项

正确.

因为乙的正态曲线的最大值为1.99,即日=199,所以"1.99,D项错误.

故选D.

(2)由题意可得正态分布密度曲线的对称轴是直线x=0,〃=0,标准差是。=1,

0.9545-0.6827

而2]=(U+(T,〃司,，

(1,+2P(]<XW2)=2=0.1359,

.•.题中阴影部分的面积为1-0.1359=0.8641.

记“黄豆落入阴影部分”为事件A,

阴影部分的面积

则=0.8641,故选A.

P(A)=正方形的面积

(3)对于选项A：“+30=280,"=250,正确；

对于选项BC：利用。越小越集中，30小于40,B正确，C不正确;

对于选项D：P(280<%<320)=P(JLI<X<］LI+<7)

^0.6827X^0.34135,正确.

感悟升华(1)利用3"原则求概率问题时，栗注意把给出的区间或范围与正态变

量的〃，(7进行对比联系，确定它们属于。，一(7,〃+(7),〃+2<7),(//—3(7,

〃+3㈤中的哪一个.

(2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲

线关于直线X="对称，及曲线与X轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用：

①P(XVa)=l-P(X2a);②P(XV〃-b)=P(XN〃+(7).

【训练3】某生物研究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律，据统计该地区

蜻蜓有A,B两种，且这两种的个体数量大致相等.记A种蜻蜓和8种蜻蜓的翼长

(单位：mm)分别为随机变量X,Y,其中X服从正态分布M45,25),丫服从正态

分布N(55,25).

(1)从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只，求这只蜻蜓的翼长在区间［45,55］的概率；

(2)记该地区蜻蜓的翼长为随机变量Z,若用正态分布N〃o,而)来近似描述Z的分

布，请你根据(1)中的结果，求参数〃。和回的值(精确到0.1).

注：若X〜N3,/)，则P〃-0.64aWXW"+0.64a)y0.4773,尸@一

。)=0.6827,P(〃-2(TWXW〃+2。)20.9545.

解(1)记这只蜻蜓的翼长为

因为A种蜻蜓和B种蜻蜓的个体数量大致相等，所以这只蜻蜓是A种还是B种的

可能性是相等的.

所以P(45WrW55)=；X尸(45WXW55)+；XP(45WYW55)

=；XP(45WXW45+2X5)+；XP(55—2X5WYW55)

10.95450.9545

=2X-^—2=0.47725.

(2)由于两种蜻蜓的个体数量相等，x,丫的方差也相等，

根据正态曲线的对称性，可知*)=带&=50。

/.0.47725心0.4773,

.,.由(1)可知45=偿)-0.64如，55=^i/o+0.64<7(),得。()=万工心7.8.

拓展视野/

二项分布与超几何分布的辨别

教材和考题中常涉及二项分布与超几何分布，学生对这两种模型的定义不能很好

地理解，一遇到“取”或“摸”的题型，就认为是超几何分布，不加分析，滥用

公式，运算对象不明晰，事实上，超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，

但也有明显的区别.

【例11写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪

些？服从超几何分布的是哪些？

(1)X1表示〃次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数.

(2)X2表示连续抛掷2枚骰子，所得的2枚骰子的点数之和.

(3)有一批产品共有N件，其中次品有M件采用有放回抽取方法抽取

〃次抽出的次品件数为X3.

⑷有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽〃件，出现

次品的件数为X4(N—M>〃>0).

解(1)%的分布列为

Xi012・・・n

2•・・

P<(r弟)"

Xi服从二项分布，即Xi〜8",

(2)X2的分布列为

X223456789101112

12345654321

r

3636363636363636363636

(3)X3的分布列为

X3012・・・n

C联1-都

崎(一旷

PG-耨・・・第

n—1

X3服从二项分布，即X3〜4〃，骼

(4)X4的分布列为

・・・・・・

X401kn

C处Cl/C仁CC依X。C物

P・・・・・・

C5VC仲5百

X4服从超几何分布.

【例2】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线

上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克),质量的分组区间为(490,495],

(495,500],(510,515].由此得到样本的频率分布直方图(如下图).

(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；

(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求

X的分布列；

(3)从该流水线上任取2件产品，设丫为质量超过505克的产品数量，求丫的分布

歹IL

解(1)质量超过505克的产品的频率为5X0.05+5X0.01=0.3,

所以质量超过505克的产品数量为40X0.3=12(件).

⑵重量超过505的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，

X的取值为0,1,2,

X服从超几何分布.

“0、_鱼_g_ofy-n-C12C18_28

P(X-O)-ci()-13O,P(X—1)—c加一65

。。=2）=落苗,

.••X的分布列为

X012

632811

r

13065130

（3）根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为前

_3

=而

从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505

克的件数y的可能取值为0,1,2,且y〜8（2,制

p（y=z）=c4i-需琳1

所以P（y=0）=C9.阖2=焉

3721

p（y=i）=a.俞正=帝

p（y=2）=c%（%=磊・

的分布列为

Y012

49219

P

10050100

思维升华超几何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不独立，二项分布的抽取

是有放回抽取，各次抽取相互独立.当超几何分布所对应的总体数量很大时可以近

似地看作二项分布.

课后巩固作业分层训练•提升能力

A级基础巩固

一、选择题

1.打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击

一个目标，则他们同时中靶的概率是（）

J4c12

A-25B25

33

C4D5

答案A

4

解析因为甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，所以P（甲）=亍

7,.4714

P（乙）=而，所以他们都中靶的概率是彳*正=诋.

LV/JLvz/J

2.（2020.西安质检）若随机变量X〜8（5,；）,则P（X=3）等于（）

140八103

A-3B-243C-27D5

答案B

解析随机变量X〜B（5,1）,则尸（x=3）=c{?彳|）2=景，故选B.

3.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的

概率为工，则该队员每次罚球的命中率为（）

A.1B.g

J

C.gD.Q

答案A

解析设“命中”的概率为P，则“两次罚球至多命中一次”的概率为1—p2=

H，解得p=|.

4.（多选题）（2021.武汉调研）为吸引顾客，某商场举办购物抽奖活动抽奖规则是：从

装有2个白球和3个红球（小球除颜色外，完全相同）的抽奖箱中，每次摸出一个

球，不放回地依次摸取两次，记为一次抽奖.若摸出的2个球颜色相同则为中奖，

否则为不中奖.下列随机事件的概率正确的是（）

A.某顾客抽奖一次中奖的概率是5

B.某顾客抽奖三次，至少有一次中奖的概率是卷

C.在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的概率是古3

D.在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的概率是g

答案ABD

1-1-39

解析顾客抽奖一次中奖的概率为滞二=一式=/故A选项正确.顾客抽奖三

次，至少有一次中奖的概率是1一(1一|)3=1—(|?=1一券=覆，故B选项正

确.对于CD选项，由于第一次抽出了红球，故剩余2个白球和2个红球，再抽一

个，抽到红球的概率是备=右故C选项错误，D选项正确.

5.据统计，某脐橙的果实横径(单位：mm)服从正态分布M80,52),则果实横径在

［75,90］内的概率为()

附：若X〜N也,er),则P〃一0WXW〃+O)Q0.6827,P。/—2“WXW〃+2㈤=0.954

5.

A.0.6827B.0.8413

C.0.8186D.0.9545

答案C

解析由题意得。=5,贝ijP(80-5WXW80+5尸0.6827,所以

P(75WXW85)心0.6827；尸(80—10WXW80+10)p0.9545,所以

95456827

「(70或乂忘90)心0.9545.所以P(85^X^90)^°'2°'=0.1359,所以果实

横径在［75,90］内的概率为0.6827+0.1359=0.8186.

6.(2021・重庆诊断)已知随机变量X服从正态分布N(80,25),若P(75<XW〃z)=0.818

6,则机等于()

(附：P3—a<XW〃+a)=0.6827,P@—2<7<XW〃+2。)=0.9545)

A.89B.90C.91D.92

答案B

解析由题意得(7=5,〃=80,

产(80—5<XW80+5)=0.6827,即P(75<XW85)=0.6827；

P(80-10<X^80+10)=0.9545,即P(70<XW90)=0.9545.

0.9545-0.6827

所以

P(85<XW90)=2=0.1359.

因为尸(75<XW〃z)=0.8186,

而P(75<XW90)=P(75<XW85)+P(85<X<90)=0.6827+0.1359=0.8186,所以加

=90.

二、填空题

7.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答

出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是

0.8,且每个问题的回答结果相互独立.则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮

的概率等于.

答案0.128

解析记''该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为事件A,由题意，若该

选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个

回答正确，第一个问题可对可错，故P(A)=IX0.2X0.8X0.8=0.128.

8.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠.若该电梯在底层有

5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为;，用X表示这5位乘

客在第20层下电梯的人数，则P(X=4)=.

较案

u木243

解析考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，

故X〜8(5,g),

即有尸U=幻=a(£)"*停,k,k=0,1,2,3,4,5.

故P(X=4)=弟)”目=悬

9.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜,

决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设

甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，

则甲队以4：1获胜的概率是.

答案0.18

解析记事件M为甲队以4：1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，

前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)=0.6X(0.62X0.52X2+0,6X0.4X0.52X2)

=0.18.

三'解答题

10.(2021•北京东城区综合练习节选)某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人

数超过计划招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，下表记录了A,B,

C,。四个项目最终的招募情况，其中有两个数据模糊，记为a,b.

项目计划招募人数报名人数

A50100

B60a

C80b

D160200

甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记4为甲同学最终被招募的项目个数,

已知P4=0)=小，P(。=4)=告.

(1)求甲同学至多被三个项目招募的概率;

(2)求m(的值.

解因为尸(。=0)=表，

所以a>60,且。>80.

设事件A表示“甲同学被项目A招募”，由题意可知，P(A)=H)O=2;

设事件8表示“甲同学被项目8招募”，由题意可知，P(B)=管；

QA

设事件C表示“甲同学被项目。招募”，由题意可知，P(O=詈；

设事件。表示“甲同学被项目。招募”，由题意可知，P(D)=^55=1

(1)由于事件“甲同学至多被三个项目招募”与事件“。=4”是对立的，所以甲同

19

学至多被三个项目招募的概率是1一尸(。=4)=1—而=而.

(2)由题意可知,

P(^=O)=P(ABCD)=1

%=4)=P(”C。)=黑•黑=余

解得a=120,6=160.

11.(2020•湖南五市十校联考改编)为全面贯彻党的教育方针，坚持立德树人，适应

经济社会发展对多样化高素质人才的需要，按照国家统一部署，湖南省高考改革

方案从2018年秋季进入高一年级的学生开始正式实施.新高考改革中，明确高考

考试科目由语文、数学、英语3科，及考生在政治、历史、地理、物理、化学、

生物6个科目中自主选择的3科组成，不分文理科.假设6个自主选择的科目中每

科被选择的可能性相等，每位学生选择每个科目互不影响，甲、乙、丙为某中学

高一年级的3名学生.

(1)求这3名学生都选择物理的概率；

(2)设X为这3名学生中选择物理的人数，求X的分布列.

解(1)设“这3名学生都选择物理”为事件A,

依题意得每位学生选择物理的概率都为今

故PH)：!!?：*即这3名学生都选择物理的概率为出

(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,

由题意知X〜43,

P(X=O)=避I啰4

p(x=i)=c(i)2(iy=i，

P(X=2)=唱⑶24

P(X=3)=cW)°©$

所以X的分布列为

X0123

X3