专题05椭圆及其性质（原卷版）

专题05椭圆及其性质TOC\o"1-3"\h\u题型1椭圆的定义及应用 3◆类型1椭圆的概念的理解 3◆类型2椭圆定义的应用 6题型2椭圆的标准方程 8◆类型1定义法的应用 8◆类型2一般式的应用 10题型3焦点三角形 10◆类型1周长问题 10◆类型2面积问题 11◆类型3角度问题 15◆类型4焦点三角形中的其他问题 17题型4离心率问题 23◆类型1离心率取值问题 23◆类型2离心率取值范围问题 28题型5与椭圆性质有关的问题 30题型6轨迹方程问题 35题型7和差最值问题 42知识点一．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．(2)焦点：两个定点F1，F2.(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|.(4)半焦距：焦距的一半．知识点二．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴长为2b，长轴长为2a焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点离心率e＝eq\f(c,a)(0＜e＜1)a，b，c的关系a2＝b2＋c2知识点三.椭圆的常用性质1.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则①b≤|OP|≤a；②a－c≤|PF|≤a＋c.2．焦半径：椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上的点P(x0，y0)与左焦点F1或右焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.(1)r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；(2)焦半径最大值和最小值分别为a＋c，a－c.3．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中：①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；②S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；③△PF1F2的周长为2(a＋c)．4．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝eq\f(2b2,a).5.与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)有共焦点的椭圆方程为eq\f(x2,a2＋λ)＋eq\f(y2,b2＋λ)＝1(λ>－b2)．6．弦长公式：AB为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB斜率为k，则弦长|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.7．设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为定值－eq\f(b2,a2).8.若M(x0，y0)是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kAB·kOM＝－eq\f(b2,a2).注意：1．若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a<|F1F2|，则动点的轨迹不存在．2．关于离心率的取值范围问题，一定不要忘记椭圆离心率的取值范围为(0，1)．3．判断椭圆的两种标准方程的方法为比较标准方程形式中x2和y2的分母大小．4．讨论直线与椭圆的位置关系时不要忽略直线斜率不存在的情形．题型1椭圆的定义及应用【方法总结】椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．◆类型1椭圆的概念的理解【例题1-1】下列说法中正确的是()A．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆D．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆【变式1-1】(多选)(2022·湖南省衡阳八中月考)对于曲线C：eq\f(x2,4－k)＋eq\f(y2,k－1)＝1，下面四个说法正确的是()A．曲线C不可能是椭圆B．“1＜k＜4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1＜k＜2.5”的充要条件【例题1-2】如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是()A．椭圆B.双曲线C．抛物线 D.圆【变式1-2】1．（2022·江西·高二阶段练习）（多选）历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线．如图，在圆锥中，母线与旋转轴的夹角为π6，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点O到圆锥顶点的距离为4，关于所得截口曲线，下列选项正确的是（

A．曲线形状为圆 B．曲线形状为椭圆C．点O为该曲线上距离最长的两点确定的线段的三等分点 D．该曲线上任意两点间的最长距离为6【变式1-2】2．（2022·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上异于左、右顶点的任意一点，F1,F2A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线◆类型2椭圆定义的应用【例题1-3】已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为()A．(－3，0)B．(－4，0)C．(－10，0)D．(－5，0)【变式1-3】1．（2022·重庆巴蜀中学高二阶段练习）点F是椭圆x216+y29=1的一个焦点，点P在椭圆上，线段PF的中点为N，且ONA．2 B．4 C．5 D．6【变式1-3】2．设F1，F2为椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则eq\f(|PF2|,|PF1|)的值为()A.eq\f(5,14)B.eq\f(5,9)C.eq\f(4,9)D.eq\f(5,13)【变式1-3】3．(2021·新高考卷Ⅰ)已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为()A．13B.12C．9D.6【变式1-3】4.(多选)椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1上的一点P到椭圆焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标不可能为()A．(4，0)B．(0，5)C．(－4，0)D．(0，－5)题型2椭圆的标准方程【方法总结】(1)用定义法求椭圆的标准方程先根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有：①b2＝a2－c2；②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a.(2)用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤注意：当椭圆焦点位置不明确时，可设为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m>0，n>0，m≠n)，也可设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)．◆类型1定义法的应用【例题2-1】已知动点M到两个定点A(－2，0)，B(2，0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为()A.eq\f(x2,9)＋y2＝1B.eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,5)＝1C.eq\f(y2,9)＋x2＝1D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1【变式2-1】1.过点(eq\r(3)，－eq\r(5))，且与椭圆eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为()A.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,4)＝1B.eq\f(x2,2\r(5))＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2\r(5))＝1【变式2-1】2．设椭圆eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的右焦点为(2，0)，离心率为eq\f(\r(2),2)，则此椭圆的方程为________．【变式2-1】3.(多选)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为eq\f(\r(6),3)，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是()A．椭圆C的方程为eq\f(y2,3)＋x2＝1B．椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1C．|PQ|＝eq\f(2\r(3),3)D．△PF2Q的周长为4eq\r(3)【变式2-1】4．(2022·泉州模拟)已知椭圆的两个焦点为F1(－eq\r(5)，0)，F2(eq\r(5)，0)，M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，则该椭圆的方程是()A.eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,2)＝1B.eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,7)＝1C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1◆类型2一般式的应用【例题2-2】经过两点(2，－eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))的椭圆的标准方程为________．【变式2-2】已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))，(eq\r(3)，eq\r(5))，则椭圆方程为___．题型3焦点三角形【方法总结】焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中：①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；②S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝c|y0|=b2tanθ2，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc③△PF1F2的周长为2(a＋c)．◆类型1周长问题【例题3-1】如图，△ABC的顶点B，C在椭圆eq\f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是________．【变式3-1】1．(2022·林芝市第二高级中学月考)已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,4)＋y2＝1的两个焦点，若点P是椭圆C上的一个动点，则△PF1F2的周长是()A．4＋2eq\r(3)B.4＋2eq\r(5)C．8 D.10【变式3-1】2．(2020·山西大同开学考)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq\f(\r(2),2).过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,18)＝1B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,10)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1◆类型2面积问题【例题3-2】已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→)).若△PF1F2的面积为9，则b＝________．【变式3-2】1．已知点F1，F2分别为椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2＝60°，则S△F1PF2＝________．【变式3-2】2.如图，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1(a＞2)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，若∠F1PF2＝60°，那么△PF1F2的面积为()A.eq\f(2\r(3),3)B.eq\f(3\r(3),2)C.eq\f(3\r(3),4)D.eq\f(4\r(3),3)【变式3-2】3．（2022·湖南·邵东市第一中学高二阶段练习）已知点F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1A．3 B．33 C．63 D【变式3-2】4．(2021·高考全国卷甲)已知F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．【变式3-2】5．（2022·辽宁·沈阳二中高二阶段练习）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上.由椭圆的一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BF(1)试建立适当的坐标系，求截口BAC所在的椭圆的方程；(2)如图，若透明窗DE所在的直线与截口BAC所在的椭圆交于一点P，且∠F1PF【变式3-2】6．(多选)(2020·山东潍坊期末)已知P是椭圆E：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1上一点，F1，F2为其左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是()A．P点的纵坐标为3B．∠F1PF2>eq\f(π,2)C．△F1PF2的周长为4(eq\r(2)＋1)D．△F1PF2的内切圆半径为eq\f(3,2)(eq\r(2)－1)◆类型3角度问题【例题3-3】(2021·普通高等学校招生全国统一考试模拟)椭圆eq\f(x2,m2＋1)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝eq\f(π,3)，则m＝()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2【变式3-3】1．（2022·陕西·西乡县教学研究室一模（文））如图，己知F1、F2是椭圆C:x2a2+y2【变式3-3】2．（2022·全国·高三专题练习）若P是椭圆x24+y23=1上任意一点，F【变式3-3】3．（2022·重庆八中高二阶段练习）已知椭圆C：x24+y2=1，P◆类型4焦点三角形中的其他问题【例题3-4】（2022·江苏·金陵中学高二阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为FA．33 B．63 C．32【变式3-4】1．（2022·全国·高三专题练习）椭圆：x2a2+y2b2=1(a>b>0)有一特殊性质，从一个焦点射出的光线到达椭圆上的一点P反射后，经过另一个焦点.A．1 B．6+24C．6+2【变式3-4】2．（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高二阶段练习）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>1的左、右焦点分别是F1A．33 B．3 C．22 D【变式3-4】3．（2022·河南·巩义二中高二阶段练习）已知椭圆C:x28+y24=1上有一点P，F1、①若S=2，则满足题意的点P有4个②若θ=60∘③θ的最大值为90∘④若△F1PF2其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式3-4】4．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二阶段练习）已知F1，F2分别为椭圆C：x27+y23=1的左、右两焦点，PA．4 B．6 C．8 D．10【变式3-4】5．（2023·全国·高三专题练习）（多选）设F1，F为椭圆x220+y24=1的左、右焦点，P为椭圆上的动点，且椭圆上至少有17个不同的点Pi(i=1,2,3⋯)，A．FP的最大值为2B．△F1C．d的取值范围为0,D．椭圆上存在点P，使∠【变式3-4】6．（2022·湖南·高三阶段练习）（多选）已知F1，F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(aA．M，F2，N三点共线 B．C．△MF1N为直角三角形 D【变式3-4】7．（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y215A．x221+C．x236+题型4离心率问题◆类型1离心率取值问题【方法总结】求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝eq\f(c,a)求解．(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝eq\r(1－\f(b2,a2))求解．(3)构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系式，从而求得e.【例题4-1】(2020·河北唐山一中月考)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,3)＝1的一个焦点为点(1，0)，则椭圆C的离心率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(2\r(2),3)【变式4-1】1．(2022·重庆质检)已知椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦距为2c，直线l：y＝eq\f(\r(2),4)x与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)【变式4-1】2．(2020·昆明市三诊一模)已知椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为A，O为坐标原点，B，C两点在M上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝45°，则椭圆M的离心率为________．【变式4-1】3.(2020·四川资阳二诊)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，且|OA|＝eq\r(3)|OB|(O为坐标原点)，则该椭圆的离心率为()A.eq\f(2\r(3),3)B.eq\f(\r(6),3)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),3)【变式4-1】4．(2020·福建龙岩质量检查)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若△AFB是直角三角形，则椭圆C的离心率为()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3)－1,2)D.eq\f(\r(5)－1,2)【变式4-1】5.(2022·济南质检)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为()A.eq\r(2)－1B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\r(2)＋1【变式4-1】6．（2021·北京中学高二期中）已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2bA．2-1 B．3-1 C．22【变式4-1】7．(2022·晋中新一双语学校模拟)设F1，F2同时为椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与双曲线C2：eq\f(x2,aeq\o\al(2,1))－eq\f(y2,beq\o\al(2,1))＝1eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(a1>0，b1>0)))的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为坐标原点，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MO))，则eq\f(1,eeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,eeq\o\al(2,2))＝()A．2eq\r(2)B.eq\r(2)C.eq\f(3,2) D.2【变式4-1】8．(2022·江西省南昌市二模)通过研究发现：点光源P斜照射球，在底面上形成的投影是椭圆，且球与底面相切于椭圆的一个焦点F1(如图所示)，如图是底面边长为2、高为3的正四棱柱，一实心小球与正四棱柱的下底面及四个侧面均相切，若点光源P位于AD的中点处时，则在平面A1B1C1D1上的投影形成的椭圆的离心率是________．【变式4-1】9．(2020·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝eq\f(4,3)|AB|.(1)求C1的离心率；(2)若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．【变式4-1】10．(综合型)设椭圆：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,5)◆类型2离心率取值范围问题【例题4-2】(2021·高考全国卷乙)设B是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))【变式4-2】1.在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线ON的倾斜角，若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))，则椭圆C的离心率的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(6),3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(\r(3),2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(2\r(2),3)))【变式4-2】2.(2020·东北三校第一次联考)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(c，0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝eq\f(a2,c)上存在一点P满足(eq\o(FP,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0，则椭圆的离心率的取值范围为()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，1))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))【变式4-2】3．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在一点P，使eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)，该椭圆的离心率的取值范围为________．【变式4-2】4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)A．13,1C．13,1 D题型5与椭圆性质有关的问题【方法总结】利用椭圆几何性质求值或范围的思路(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解．【例题5-1】(2021·高考全国卷乙)设B是椭圆C：eq\f(x2,5)＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为()A.eq\f(5,2)B.eq\r(6)C.eq\r(5)D.2【变式5-1】1．已知点P(0，1)，椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝m(m＞1)上两点A，B满足eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大．【变式5-1】2.已知点F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点，点M是该椭圆上的一个动点，那么|eq\o(MF1,\s\up6(→))＋eq\o(MF2,\s\up6(→))|的最小值是()A．4B.6C．8D.10【变式5-1】3．(2022·浙江台州月考改编)已知P为椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1上一个动点，直线l过圆(x－1)2＋y2＝1的圆心与圆相交于A，B两点，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最大值为________，最小值为________．【变式5-1】4．（2022·全国·高二课时练习）椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程x216+y29=1，点F1、F2是它的两个焦点，当静止的小球放在点F【变式5-1】5．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1的短轴长为2，焦距为2【变式5-1】6.设A，B是椭圆C：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,m)＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是()A．(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，eq\r(3)]∪[9，＋∞)C．(0，1]∪[4，＋∞) D.(0，eq\r(3)]∪[4，＋∞)【变式5-1】7．已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．【例题5-2】曲线eq\f(x2,169)＋eq\f(y2,144)＝1与曲线eq\f(x2,169－k)＋eq\f(y2,144－k)＝1(k<144)的()A．长轴长相等 B．短轴长相等C．离心率相等 D．焦距相等【变式5-2】1．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则()A．a－c＝m＋R B．a＋c＝n＋RC．2a＝m＋n D．b＝eq\r(（m＋R）（n＋R）)【变式5-2】2.(多选)(2022·山东德州模拟)1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，则下列结论正确的是()A．卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小题型6轨迹方程问题【例题6】（2022·全国·高二课时练习）如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式x2+y+32【变式6-1】1．（2022·全国·高二课时练习）若动点P的坐标x,y满足方程x+【变式6-1】2．（2022·全国·高三专题练习）已知P是圆A:(x-1)2+y2=16上的动点，M是线段AP【变式6-1】3．（2022·江西省临川第二中学高二阶段练习）已知O为坐标原点，定点F1,0，M是圆O:x2+y2=4【变式6-1】.4(2022·西安市长安区质量检测)已知M(－2，0)，P是圆N：x2－4x＋y2－32＝0上一动点，线段MP的垂直平分线交NP于点Q，则动点Q的轨迹方程为()A.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)