2023-2024学年山东省青岛市莱西市高二上册11月期中数学模拟试题（附解析）

2023-2024学年山东省青岛市莱西市高二上学期11月期中数学模拟试题考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．椭圆的焦点坐标为（

）A． B． C． D．2．过点且方向向量为的直线方程为（

）A． B． C． D．3．已知直线与平行，则实数a的值为A．－1或2 B．0或2 C．2 D．－14．过点作圆的两条切线，，则四边形的面积为（

）A． B． C． D．5．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点在棱上，且满足，若，，，则（

）A． B．C． D．6．把正方形沿对角线折起，当以，，，四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成角的大小为（

）A． B．C． D．7．已知圆，直线l：，若圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1，则b的取值范围为A． B． C． D．8．已知椭圆，，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则（

）A． B． C． D．1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列关于空间向量的命题中，正确的有（

）A．已知向量，则、与任意向量都不能构成空间的一个基底B．若，，，四点共面，则C．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底D．在四面体，，，中，若，，则10．已知曲线．下列结论正确的有（

）A．若，则是椭圆，其焦点在轴上B．若，则是椭圆，其焦点在轴上C．若，则是圆，其半径为D．若，，则是两条直线11．已知圆，圆，则下列说法正确的是（

）A．点在圆内B．圆上的点到直线的最小距离为1C．圆和圆的公切线长为2D．圆和圆的公共弦所在的直线方程为12．通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆，，分别为左、右顶点，，分别为上、下顶点，，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（

）A． B．C．四边形的内切圆过焦点， D．轴，且三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为．14．若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆过点，且长轴长是短轴长的2倍，则其标准方程为．15．如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则.

16．若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知直线过定点．(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；(2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，．(1)求异面直线与所成角的大小．(2)求直线到平面的距离．19．已知直线和圆．(1)若直线交圆于两点，求弦的长；(2)求过点且与圆相切的直线方程．20．已知定圆，动圆过点，且和圆相切．(1)求动圆圆心的轨迹方程；(2)若直线与圆心的轨迹交于，两点，，且，求的值．21．如图，直三棱柱的底面边长和侧棱长都为2，点在棱上运动（不包括端点）．

(1)若为的中点，证明：．(2)设平面与平面的夹角为，求的取值范围．22．已知椭圆的离心率为，上下顶点分别为，，．过点，且斜率为的直线与轴相交于点，与椭圆相交于两点．(1)求椭圆的方程．(2)若，求的值．(3)是否存在实数，使直线平行于直线？证明你的结论．1．A先将椭圆方程化为标准形式，即可求出焦点坐标.【详解】由可得，因此，且焦点在轴上，所以焦点坐标为.故选：A.2．D【分析】根据方向向量确定出直线的斜率，然后可得到直线的点斜式方程，将其转化为一般式方程即可.【详解】因为直线的方向向量为，所以，所以直线方程为，即为，故选：D.3．D【分析】根据两直线平行，列方程，求的a的值.【详解】已知两直线平行，可得a•a-（a+2）=0，即a2-a-2=0，解得a=2或-1．经过验证可得：a=2时两条直线重合，舍去．∴a=-1．故选D对于直线若直线4．C【分析】根据点点距离公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面积公式即可求解.【详解】由可得，所以,进而可得，故，所以四边形的面积为，故选：C

5．C【分析】运用空间向量的加减法和题设条件，将所求向量用空间的基向量表示即得.【详解】如图，连接因点，分别是，的中点，点在棱上，且满足则即：故选：C.6．C【分析】当平面平面时，三棱锥体积最大，由此能求出结果．【详解】解：如图，当平面平面时，三棱锥体积最大取的中点，则平面，故直线和平面所成的角为，．故选：．本题考查直线与平面所成角的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，属于中档题．7．D【分析】圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1，所以圆心到直线l：的距离小于1，利用点到直线距离求出b的取值范围.【详解】因为圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1，所以圆心到直线l：的距离小于1，因此有，故本题选D.本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了数形结合思想.8．B【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出的值，利用，根据向量模的计算即可求得答案.【详解】由题意椭圆，为两个焦点，可得，

则①，即，由余弦定理得，即，整理得，②联立①②，解得：，则，又因为，则，使用.故选：B9．ACD【分析】对于A，直接由空间基底的定义即可判断；对于B，直接举出反例即可判断；对于C，设，结合是空间的一个基底，判断是否均为0即可；对于D，画出图形，选取基底向量，将，，进行转换，从而即可证得.【详解】对于A，若，所以共线，即与空间中其他任何向量一定共面，从而、与任意向量都不能构成空间的一个基底，故A正确；对于B，设点，点，点三点重合，且不与点重合，从而，故B选项错误；对于C，不妨设，整理得，又是空间的一个基底，所以当且仅当，解得，从而也是空间的一个基底，故C正确；对于D，如图所示：选作为空间的一组基底向量，若，，则，，即，从而，故D正确.故选：ACD.10．AD【分析】将方程，转化为，判断选项ABC，再根据，判断选项D.【详解】方程，化为，表示椭圆，且其焦点在轴上，则，即，故A正确；若，表示椭圆，且其焦点在x轴上，则，即，故B错误；，表示圆，即，其半径为故C错误；当，时，，则是两条直线，故D正确，故选：AD11．BCD【分析】根据点与圆的关系即可求解A,根据圆心到直线的距离即可求解B，根据相交弦的定义即可求解D，根据相交时两圆的外公切线的求解即可判定C.【详解】圆的圆心和半径分别为,圆的圆心和半径为，对于A，由于，故点在圆外，故A错误，对于B，到的距离为，所以圆上的点到直线的最小距离为，B正确，对于D,由于,故两圆相交，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为：，故D正确，对于C，由于两圆相交，所以外公切线的长度为，C正确，故选：BCD12．BC【分析】先求出椭圆的顶点和焦点坐标，根据椭圆的基本性质求出离心率判断A；根据向量数量积判断B；由四边形的内切圆过焦点，，结合面积公式求出判断C；由轴求出的坐标，结合斜率公式计算离心率判断D.【详解】由可知：，，，，，，对于A，若，则，所以，即，所以，与已知不符，故A错误；对于B，，，所以，因为，所以，所以，所以，所以，故B正确；对于C，四边形的内切圆过焦点，，所以，所以，整理得，所以，解得（舍去）或所以，故C正确；对于D，当轴，时，则，，，所以，所以，整理得，所以，所以，与已知不符，故D错误.故选：BC13．【分析】先求解出在方向上的投影，然后求解出同方向的单位向量，根据二者的乘积即可求得结果.【详解】在方向上的投影为，因为，所以同方向的单位向量为，所以在方向上的投影向量的坐标为，故答案为.14．或【分析】分焦点在轴上和焦点在轴上两种情况讨论即可求.【详解】当椭圆焦点在轴，设椭圆方程为，因为椭圆过点，所以，又因为长轴长是短轴长的2倍，所以，所以椭圆方程为；当椭圆焦点在轴，设椭圆方程为，因为椭圆过点，所以，又因为长轴长是短轴长的2倍，所以，所以椭圆方程为.综上，椭圆的方程为或.故或15．【分析】根据式子，根据空间向量数量积的运算律即可求出的长.【详解】由条件知，，，又二面角的平面角为，则，所以，所以.故16．【分析】转化为半圆与直线的交点个数问题，利用数形结合法求解.【详解】解：方程，即为，令，即表示以为圆心，以2为半径的半圆，直线过定点P，圆心到直线的距离等于半径为：，解得，关于的方程有且只有两个不同的实数根，即半圆于直线有且只有两个不同的交点，由图象知：则实数k的取值范围是.故17．(1)；(2)或【分析】（1）求出直线的斜率可得l的斜率，再借助直线点斜式方程即可得解；（2）按直线l是否过原点分类讨论计算作答.【详解】（1），所以直线的斜率为，因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为2．又因为直线过点，所以直线的方程为，即．（2）直线过原点时，设直线的方程为，因为直线过点，所以，所以直线的方程为，即；当直线不过原点时，因为直线l在两坐标轴截距相等，所以设直线的方程为，即，因为直线过点，所以，所以直线的方程为．综上，直线的方程为或．18．(1)(2)【分析】（1）利用空间向量的坐标运算，求异面直线所成的角；（2）利用空间向量的坐标运算，求点到平面的距离即可.【详解】（1）以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，因为底面为直角梯形，，，，所以，则，，，，，，设异面直线与所成角为，则，所以异面直线与所成角大小为．（2），平面，平面，平面，直线到平面的距离即为点到平面的距离．设平面的法向量为，，，则，取，得．，点到平面的距离．19．(1)(2)或【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程求得圆心及半径，再由点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，再由弦长公式得（2）分两种情况讨论，过点的直线斜率存在与不存在两种，求得斜率不存在时直线为；设斜率存在时直线为，再由点斜式设直线方程为，再由点到直线的距离等于圆的半径，求得，即可求得直线方程.【详解】（1）将圆，化成标准方程：，圆的圆心，半径，圆到直线的距离，．（2）当直线的斜率不存在时，过点的直线为，是圆的一条切线；当直线的斜率存在时，设圆的切线方程为，即，圆心到直线的距离，解得．切线方程为，即，综上所述，所求的直线方程为：或．20．(1)(2)【分析】（1）由，圆内切与圆，得到，利用椭圆的定义求解；（2）联立，求得的中点，根据，由求解；【详解】（1）解：，半径，设动圆的半径为，由题意知，，点在圆内，圆内切与圆．，即，动点的轨迹是以、为焦点，长轴长为4的椭圆，设方程为，则，，．圆心的轨迹方程为．（2）设，，联立，消去得：，，．的中点，由得，．，，．解得，符合，．21．(1)证明见解析(2)【分析】（1）分别取，的中点，，连接，则可建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出的坐标，计算其数量积，即可证明结论；（2）求出平面的法向量，确定平面的法向量，根据空间角的向量求法，可求得的值，结合二次函数性质，即可确定的取值范围.【详解】（1）证明：分别取，的中点，，连接由直三棱柱的底面边长和侧棱长都为2，可知，且平面平面，故;以为坐标原点，以所在直线为周，建立空间直角坐标系如图所示，

因为直三棱柱的底边长和侧棱长都为2，为的中点，所以，，，，，故，，则，所以，即．（2）设，则点，所以，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，故，又平面的一个法向量为，所以，因为，则，所以，故的取值范围为．22．(1)(2)(3)不存在，证明见解析【分析】（1）根据离心率和短轴长度得到满足的关系式，求解出的值即可求得椭圆的方程；（2）联立直线与椭圆方程得到对应韦达定理形式，将向量共线表示为坐标关系，结合韦达定理求解出的值