2023-2024学年北京市海淀区高二上册期中数学学情调研模拟试题（附解析）

2023-2024学年北京市海淀区高二上学期期中数学质量监测模拟试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．复数z＝i（1－i）的模|z|＝（

）A． B．2 C．1 D．32．椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，焦距为4，则该椭圆的方程为（）A． B．=1 C．=1 D．=13．已知数列的前n项和为，若，则（

）A． B． C． D．4．直线的倾斜角为（

）A．30° B．45° C．120° D．150°5．过点且与直线平行的直线方程是（

）A． B． C． D．6．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（

）A．2 B．6 C．4 D．127．设数列是等比数列，则“”是“为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．椭圆的两焦点为、，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两边，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．9．直线与圆的位置关系为（）A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相交10．如图，已知正方体，则下列结论中正确的是（

）A．与三条直线所成的角都相等的直线有且仅有一条B．与三条直线所成的角都相等的平面有且仅有一个C．到三条直线的距离都相等的点恰有两个D．到三条直线的距离都相等的点有无数个二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知直线圆C:则直线被圆C所截得的线段的长为.12．在平面直角坐标系中，经过，，三点的圆的标准方程为.13．在正四面体O－ABC中，，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝(用表示)．14．圆：和圆：的位置关系是.15．已知数列满足下面说法正确的有.①当时，数列为递减数列；②当时，数列为递减数列；③当时，数列为递减数列；④当为正整数时，数列必有两项相等的最大项.三、解答题：本大题共6小题，共85分.16．如图.在正方体中，E为的中点．(1)求证：平面ACE；(2)求直线AD与平面ACE所成角的正弦值．17．已知数列是等比数列，满足，，数列满足，，设，且是等差数列.(1)求数列和的通项公式；(2)求的通项公式和前项和.18．在中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)的值；(2)角的大小和的面积.条件①：；条件②.19．如图,四棱锥中,平面,,.,,,是的中点.(Ⅰ)证明:⊥平面;(Ⅱ)若二面角的余弦值是,求的值;(Ⅲ)若,在线段上是否存在一点,使得⊥.若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由.20．已知椭圆：的一个顶点为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过点定点作斜率为的直线与椭圆交于，，直线，的斜率分别记为，.求的值21．设，如果函数：的值域也是，则称之为一个泛函数，并定义其迭代函数列：，.(1)请用列表法补全如下函数列；12345678910217534910(2)求证：对任意一个，存在正整数（是与有关的一个数），使得；(3)类比排序不等式：，，把中的10个元素按顺序排成一列记为，使得10项数列：，，，…，的所有项和最小，并计算出最小值及此时对应的.1．A【分析】直接计算模即可【详解】，故选：A2．C【分析】利用长轴长及焦距求出，结合可得答案.【详解】由题意可设所求椭圆方程为，又因为长轴长为和焦距为4，所以，，即，，再由，故所求椭圆方程为，故选：C．3．A令得，令得可解得.【详解】因为，所以，因为，所以.故选：A4．A【分析】将直线的一般式改写成斜截式，再由斜率公式可求得结果.【详解】∵∴∴又∵∴故选：A.5．A【分析】由题意，设所求直线为，代入A点坐标，求得m值，即可得答案.【详解】因为所求直线与直线l平行，所以设所求直线方程为：，又所求直线过点，代入可得，解得，所以所求直线为，即.故选：A6．C【分析】根据题设条件求出椭圆的长半轴，再借助椭圆定义即可作答.【详解】由椭圆＋y2＝1知，该椭圆的长半轴，A是椭圆的一个焦点，设另一焦点为，而点在BC边上，点B，C又在椭圆上，由椭圆定义得，所以的周长故选：C7．B【分析】当时，可得，但此时数列不单调，根据数列的单调性，结合充分、必要条件的判定方法，即可得答案.【详解】当时，，虽然有，但是数列为摆动数列，并不是递增数列，所以不充分；反之当数列是递增数列时，则必有，因此是必要条件，故选：B．本题考查充分、必要条件的判断，数列的单调性，着重考查推理分析的能力，属基础题.8．D【分析】利用题干可得，则，构建的等量关系即可求离心率.【详解】由题可知等边的边的中点为，所以可得，所以，由椭圆定义可得，即，则离心率.故选：D9．C【分析】利用几何法，判断圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系即可．【详解】由已知得，圆的圆心为（0，0），半径为，所以圆心到直线的距离为.因为，所以所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交或相切；故选：C．10．D【分析】所成的角都相等的直线有无数条，A错误，成的角相等的平面有无数个，B错误，距离相等的点有无数个，C错误，D正确，得到答案.【详解】对选项A：根据对称性知与三条直线的夹角相等，则与平行的直线都满足条件，有无数条，错误；对选项B：根据对称性知平面与三条直线所成的角相等，则与平面平行的平面都满足条件，有无数个，错误；对选项C：如图所示建立空间直角坐标系，设正方体边长为，，，上一点，则，，，点到直线的距离为，同理可得到直线和的距离为，故上的点到三条直线的距离都相等，故有无数个，错误；对选项D：上的点到三条直线的距离都相等，故有无数个，正确；故选：D11．【分析】先求得圆心到直线的距离为，再利用圆的弦长公式，即可求解．【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，由圆的弦长公式，可得，即直线被圆C所截得的线段的长为．故答案为．本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记圆的弦长公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．【分析】设所求圆的标准方程为，代入各点坐标求出的值即可.【详解】由题意设所求圆的标准方程为，代入各点坐标得，，解得，故所求圆的标准方程为.故答案为.13．【详解】因为在四面体中，为的中点，为的中点，，故答案为.14．外离【分析】根据圆的位置关系直接得出.【详解】根据两圆的方程可知，得，，，所以，所以两圆外离.故外离.15．②③④【分析】通过求出数列的递推式，找出之间的关系，即可得出结论.【详解】由题意，在数列中，，∴，∵，∴当时，,即当时，，即.当时，，故数列不是递减数列，故①不正确.当时，，，故数列是递减数列，故②正确.当时，，所以数列是递减数列，故③正确.当为正数时，令,所以.时，,数列从第二项起递减，所以此时数列有两项相等的最大值；时，数列从第一项到第项递增，从第项起递减，，所以，,所以,所以此时数列有两项相等的最大值，故④正确.选②③④.关键点点睛：本题考查数列的递推式，递增递减数列的判断，考查学生数学思维和理解题意的能力，计算的能力，具有很强的综合性.16．(1)证明见详解(2)【分析】（1）连连接BD与AC交于点O，根据中位线定理可知，然后根据线面平行的判定定理可得.（2）建立空间直角坐标系，计算，平面的一个法向量，然后根据空间向量的夹角公式计算即可.【详解】（1）如图所示：，连接BD与AC交于点O，因为O，E为中点，所以,又平面，平面，所以平面；（2）建立如图所示的空间直角坐标系令，所以设平面的一个法向量为所以，令所以，所以直线AD与平面ACE所成角的正弦值17．(1)，(2)，【分析】（1）根据等差数列、等比数列定义求解；（2）先写出数列的通项公式，再分组求和即可求解.【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，，所以，即，设等差数列公差为，因为，，所以，即.（2）因为，所以,由（1）可得，设前项和为，.18．(1)(2)，【分析】（1）若选①，则直接利用余弦定理可求得，若选②，先由同角三角函数的关系求出，然后由正弦定理可求出，（2）若选①，先求出，再利用正弦定理可求出角，利用面积公式可求出其面积，若选②，由于，利用两角和的余弦公式展开计算可求出角，利用面积公式可求出其面积，【详解】（1）选择条件①因为，，，由余弦定理，得，化简得，解得或（舍）.所以；选择条件②因为，，所以，因为，，所以，由正弦定理得，得，解得；（2）选择条件①因为，，所以.由正弦定理，得，所以，因为，所以，所以为锐角，所以，所以，选择条件②由（1）知，，又因为，，在中，，所以因为所以，所以19．(Ⅰ)见解析(Ⅱ).(Ⅲ)不存在，见解析【分析】（I）通过证明，证得平面.（II）建立空间直角坐标系，利用二面角的余弦值列方程，解方程求得的值.（III）设出点的坐标，利用列方程，推出矛盾，由此判断满足条件的点不存在.【详解】(Ⅰ)证明:因为平面,,所以平面.又因为平面,所以.

在中,,是的中点,所以.又因为,所以平面.(Ⅱ)解:因为平面,所以,.又因为

,所以如图建立空间直角坐标系.则,,,,,,,.

设平面的法向量为.则即

令,则,,于是.因为平面,所以.又,所以平面.又因为,所以取平面的法向量为.所以,即,解得.又因为,所以.(Ⅲ)结论:不存在.理由如下:证明:设.当时,.,.由知,,,.这与矛盾.所以,在线段上不存在点,使得.本小题主要考查线面垂直的证明，考查根据二面角的余弦值求参数，考查存在性问题的求解，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．(1)(2)【分析】（1）根据题意，列出关于的标准方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，设直线：，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）得，所以椭圆的方程为.（2）

设直线：，则，消得：，，所以，设，，所以，，因为，所以，，21．(1)列表见解析(2)证明见解析(3)答案见解析【分析】（1）根据函数的定义以及定义域与值域的定义，