河北省邯郸市八校联考2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题【含答案解析】

2023~2024学年第一学期高一期中联考数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：必修第一册第一章一第四章4.2.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题知，对集合M，N进行转化，根据补集的概念求出，结合交集的运算求出.【详解】由题意知，，所以.故选：B.2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先分别把、的充要条件找出来，然后按照充分不必要条件的定义判断即可.【详解】因，或，而“”是“或”的充分不必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.若，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指数幂的运算性质可求得结果.【详解】.故选：C.4.已知函数，若，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】由内向外，先求，则，代入式子即可求得a.【详解】，，解得，故选：B.5.已知函数在上的值域为，则在上的值域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，则，，再根据奇函数的性质，即可求解.【详解】令，则，因为函数在上的值域为，所以在上的值域为，又为奇函数，所以在上的值域为，又，则在上的值域为.故选：D6.已知关于x的不等式的解集为，函数（且）为指数函数，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】由不等式的解集为，可得，再由为指数函数可得，代入运算可得解.【详解】因为不等式的解集为，所以，即，又为指数函数，，所以，，且，.故选：A.7.已知是定又在上的偶函数，且在上单调递增，又，则的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性，可知和的解，再将转化为，或，求解即可.【详解】由题意可得当时，有，当或时，有，所以当时，有或，即或，当时，有，即，由，可得，或，所以或，所以的解集是.故选：D8.若，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先利用条件等式将表达式变形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等条件是否成立.【详解】因为，所以由题意，因为，所以，所以由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，即当且仅当或时等号成立，综上所述，的最小值为.故选：D.【点睛】关键点点睛，解决本题的关键是要利用条件等式对已知表达式变形，利用基本不等式后要注意到取等条件的成立与否.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则【答案】BCD【解析】【分析】通过反例可知A错误；利用不等式性质可知BCD正确.【详解】对于A，当时，，A错误；对于B，，，又，，B正确；对于C，，，又，，C正确；对于D，，，，D正确.故选：BCD.10.下列各组函数中，两个函数相同的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】AD【解析】【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A.，的定义域均为，且对应关系相同，故两个函数相同，A正确，对于B.，，两个函数的对应关系不相同，故两个函数不相同，B错误，对于C.的定义域为，而的定义域为，两个函数的定义域不相同，故不是相同的函数，C错误，对于D.，定义域均为，且对应关系相同，故两个函数相同，D正确，故选：AD11.若函数且的图象过第一、三、四象限，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】作出函数大致图象，结合指数函数性质可构造不等式求得结果.【详解】由题意可知：函数大致图象如下图所示，结合图象可知：，解得：.故选：BC.12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.若，则下列说法正确的是（）A.当时， B.C.函数是增函数 D.函数的值域为【答案】AD【解析】【分析】对于A，直接由高斯函数定义来验证即可；对于B，注意到，使得，即可运算判断；对于C，由B选项分析即可判断；对于D，由B选项可得的周期，故只需讨论在上的值域即可.【详解】对于A，当时，，故A正确；对于B，因为，使得，此时，从而，故B选项错误；对于C，由B可知对于，有，故C选项错误；对于D，由B选项分析可知，函数是以1为周期的周期函数，故只需讨论在上的值域即可，当时，，即函数的值域为，故D正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：对于A选项的判断比较常规，本题的关键是注意到，使得，从而即可判断BCD三个选项.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，则的单调递减区间为___________.【答案】【解析】【分析】根据复合函数的单调性法则，结合指数函数以及二次函数的单调性即可求解.【详解】可由复合而成，由于函数在定义域内单调递增，而函数在单调递增，在单调递减，所以的单调递减区间为，故答案为：14.已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________.【答案】【解析】【分析】先由的定义域求出的定义域，然后再求出的定义域即可.【详解】因为的定义域为，所以的定义域满足，解得，即的定义域为，所以函数的定义域满足，解得或，所以函数的定义域为.故答案为：.15.已知命题：，使得，若是真命题，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】分离变量可得，结合能成立的思想和二次函数最值的求法可求得结果.【详解】由得：；，使得，；为开口方向向上，对称轴为的抛物线，当时，，的取值范围为.故答案为：.16.若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“阶依附函数”，已知函数与是区间上的“阶依附函数”，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】采用分离常数法、二次函数性质可求得和在上的值域，结合“阶依附函数”定义可得恒成立，可得，由此可构造不等式求得结果.【详解】，在上单调递减，当时，；令，则当时，，，当时，，即当时，；由“阶依附函数”定义可知：对于任意恒成立，，恒成立，即，，即，的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.已知集合，.（1）若，求；（2）若，求a的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据分式不等式以及一元二次不等式化简集合，即可由并集的运算求解，（2）根据交集的结果，结合集合，即可判断是方程的一个根，代入即可求解.【小问1详解】由可得，当时，，所以【小问2详解】，，所以是方程的一个根，故，故，18.已知幂函数在上单调递增.（1）求的解析式；（2）判断的奇偶性，并证明.【答案】（1）（2）详见解析【解析】【分析】(1)由幂函数的概念可得，再结合幂函数在单调递增可确定a的值，则解析式可求；(2)首先判断定义域是否关于原点对称，再看与的关系即可判断.【小问1详解】由幂函数的概念可知，解得或，又因为幂函数在单调递增，故，即；小问2详解】为偶函数，证明如下：定义域为R，，故为偶函数.19.已知一次函数满足，且.（1）求的函数关系式；（2）求关于的不等式的解集.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）采用配凑法，结合和一次函数定义可解方程求得结果；（2）将已知不等式化为，通过讨论一元二次方程两根大小关系可得不等式的解集.【小问1详解】，，，解得：或，又为一次函数，，则，.【小问2详解】由（1）知：；令，解得：或；当，即时，的解集为；当，即时，的解集为；当，即时，的解集为；综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.20.已知函数.（1）若，求在区间上的最大值和最小值；（2）若在上恒成立，求a的取值范围.【答案】20.最大值3，最小值为221.【解析】【分析】（1）当时，，令，将问题转化为二次函数求最值问题得解；（2）令，原不等式可化为，对任意的成立，分离参数结合基本不等式可得解.【小问1详解】当时，，，令，则，，开口向上，对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当，即时，函数也就是取得最小值，，当，即时，函数取得最大值，.【小问2详解】在上恒成立，即，令，原不等式可化为，对任意的成立，可转化为，对任意的成立，因为，当且仅当，即时等号成立，所以即可，所以实数的取值范围为.21.如图，某物业需要在一块矩形空地（记为矩形ABCD）上修建两个绿化带，矩形ABCD的面积为800m2，这两个绿化带是两个形状、大小完全相同的直角梯形，这两个梯形上下对齐，且中心对称放置，梯形与空地的顶部、底部和两边都留有宽度为5m的人行道，且这两个梯形之间也留有5m的人行道.设m.（1）用x表示绿化带的面积；（2）求绿化带面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）两个形状、大小完全相同的直角梯形可合并成一个小矩形，再结合题干的数据可求绿化带面积；（2）利用基本不等式求最大值即可.【小问1详解】因为矩形ABCD的面积为，，所以，两个形状、大小完全相同直角梯形可合并成一个小矩形，则，解得，则绿化带面积为；【小问2详解】由（1）知，当且仅当，即时等号成立，所以绿化带面积的最大值为.22.已知函数.（1）若a=0，求的值城；（2）求的最大值.【答案】22.23.【解析】【分析】(1)先求定义域，再令，则，结合定义域可求的值域；(2)先由题意求出函数定义域，结合(1)将原函数化为，分别讨论，，三种情况，根据二次函数的单调性，即可求出结果.【小问1详解】当a=0时，由题意可得：，解得，即定义域为；令，则，因为，所