2023-2024学年山东德州禹城市综合实验高中高三10月月考数学试题及答案

高三10月份月考数学试题（满分150分时间120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.只有一项是符合题目要求的.3x4Axx2BxZ0x2ðABR1.设集合，，则（）12A.B.C.D.2.如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，E为AD的中点，F为CO的中点，若，则x2y（）5332A1B.2C.D.的公比为，则是为单调递增数列的（）aq1a3.设等比数列qnnA.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量a，b2，向量a在向量b上的投影向量的坐标为（）211,21552A2B.C.D.,,22225.八卦是中国古老文化的深奥概念，如图示意太极八卦图．现将一副八卦简化为正八边形ABCDEFGH，设其边长为a，中心为O，则下列选项中不正确的是（）A.ABABB.0CDaD.C.和HD是一对相反向量6.阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”，由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（单位；cm）和时间t（单位：s）的函数关系式为13π2sAsintA0,，若振幅是2，图像上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则和的值分别为（）2ππππ,2π,π,2π,D.A.B.C.63637.已知定义在R上的函数满足f1xf1x，且fx是偶函数，当1x3时，fx1fx2xf40，则（）2452911A.B.C.D.344ππππtan，tan是方程x233x40的两根，且，，则的值为8.已知2222（）π2ππ2ππ2πD.A.B.C.或或333333二、多项选择题：f(x)sinxx9.已知函数则（）πA.f(x)的最小正周期为π2B.f(x)在上单调递增πC.直线x是f(x)图象的一条对称轴4πD.f(x)的图象可由y10.已知定义在R上的奇函数则（2sinx的图象向左平移个单位长度得到4f(xx,y)f，，且当fxfyx1时，fx0，）f10A.B.有2个零点fxC.在fx上为减函数,0(x02D.不等式的解集是11.已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c10，bcosCcosB2，若点P所在平面内一点，0，则下列说法是边BC上一点，Q是AC的中点，点O是正确的是（）ABAC6ABACBC0A.若，则B.若CA在104方向上的投影向量为，则PQ的最小值为CBCBC.若点P为BC的中点，则0ABAC为定值18BC0APABAC，则D.若ABAC12.已知函数fxxxax1，则（）1A.当a0时，函数fx的最小值为1eB.当a1时，函数的极大值点为fxx1在定义域上单调递增fxaC.存在实数使得函数xaa10恒成立，则实数的取值范围为D.若f三.填空题（共4小题）13.已知向量a3),|b|2,|a2b|25，则a与b夹角的大小为_____________．1014.已知ab1，若ba，abba，则ab=．ab3π2π315.已知函数fxsin2xfxf，则______．16.已知cos0，3sincos21，则tan2四.解答题（共6小题）______.17.如图，平行四边形ABCDAC和BD交于点ME在BCBE:EC1:2DE与AB的延长线交于点F，记ABa，b．（1）试用a，b表示、；（2）试用a，b表示．cb1．18.已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且abac（1）求角A的大小；BACa=3，求ABC的面积．（2）若AD平分并交BC于D，且AD=2，Sn的前项和为，已知成等差数列，且2an1，n，Sn4S319.设数列n.（1）求的通项公式；an1bnbT的前n项和为n，若对任意正整数n，不等式恒成立，求n（2）若，log2a2n1log2a2n3n的最小值.SnnSn1n1的前项和为2n2anS,a20.已知数列nn1（1）求数列的通项公式；ana（2）令n的前项和b，求数列．nnn2nnafxxaxx,x.1221.已知函数存在两个极值点xa的取值范围；（1）求fxfxa的最小值.（2）求12x3lnx2f(x)ax22ax,g(x)2ax,aR．x22.设函数exxe（1）讨论f(x)的单调性;a[0)g(x)4a3．（2）若，求证：高三10月份月考数学试题（满分150分时间120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.只有一项是符合题目要求的.3x4Axx2BxZ0x2ðABR1.设集合，，则（）12A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合A，根据集合的特征求出集合B，然后利用集合的运算即可求解.A{x|x23x4{x|x1或x，【详解】集合BxZ0x22集合所以，ðA{x|4xR)B，则，RC.故选：2.如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，E为AD的中点，F为CO的中点，若，则x2y（）5332A.1B.2C.D.【答案】B【解析】1EFOCODx,y的值，进一步计算即可.【分析】利用平面向量的线性运算法则，求得【详解】如图：,进而求得21121212EFCDOC)因为21,21xy,x2y所以2故选：3.设等比数列的公比为，则是为单调递增数列的（）aq1aqnnA.充分不必要条件C.充要条件【答案】DB.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】通过做差，结合充分条件、必要条件的定义判断即可an1n1qn1qn11qn1(q【详解】q10an1n0,则为单调递减数列an若,则为单调递增数列的不充分条件anq1所以是若为单调递增数列,则an0aqn1(q0,则n11anq10q110为单调递增数列的不必要条件an,q1是即故或所以故10是为单调递增数列既不充分也不必要条件q1an的故选：D4.已知向量a，A.2b2，向量a在向量b上的投影向量的坐标为（）211,212,,B.C.D.225522【答案】B【解析】【分析】根据投影向量的定义计算即可.b222222，211【详解】由题意易知ab22212，babbaa,bb,.而a在b上的投影向量为：822bbb故选：B5.八卦是中国古老文化的深奥概念，如图示意太极八卦图．现将一副八卦简化为正八边形ABCDEFGH，设其边长为a，中心为O，则下列选项中不正确的是（）A.ABABB.0CDaD.C.和HD是一对相反向量【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.【详解】对于A中，由正八边形ABCDEFGH中，可得ABCBCD135，KCB45，所以BKC90ABCD，即，则KBC所以ABACABADAB(ACAD)AB0，所以A正确；135，对于B中，由正八边形ABCDEFGH中，可得45，则aa45aacos1350，所以B正确；对于C中，由和HD方向相反，但长度不等，因此不是一对相反向量，所以C错误；ABBCCDEFFGCDa对于D中，由ABEFBCFG0，可得，所以D正确.故选：C.6.阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”，由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（单位；cm）和时间t（单位：s）的函数关系式为13π2sAsintA0,，若振幅是2，图像上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则和的值分别为（）2ππππ,2π,π,2π,D.A.B.C.6363【答案】A【解析】π，【分析】先由振幅得到A2，再由最高点和最低点的距离为结合勾股定理可得5T6，从而求得π再将代入即可求得，问题得解.B26【详解】根据题意，由振幅是2易知A2，1st13是B1,2st的最高点，故，则3BC，过C作CDyBDCD不妨记B相邻的最低点为C，连接轴，过B作，交点为D，如图，2TT则CD，BD224，，故22，得T6，545222πT12π2πππ3，得πs2sint13又因为，故，所以，3T63π3πππ3是B2s2sint2，得2π，即因为的点，故2sin32π2πkZ，6ππ，所以因为，26π故π，故选：A..6.7.已知定义在R上的函数满足f1xf1x，且fx是偶函数，当1x3时，fx1fx2xf40，则（）2452911A.B.C.D.344【答案】C【解析】fx1f1xf1xfx的一个周期，然后利用周期性求函数值【分析】根据即可.是偶函数和得到是4fxfx，则fx3fx，fx1【详解】因为是偶函数，所以，所以f1xf1xfx3f1xfx的一个周期，因为因为，则是43240645log2406，1log24042，，所以2221440111f4042log2404f40.221644故选：C.ππππtan，tan是方程x233x40的两根，且，，则的值为8.已知2222（）π2ππ2ππ2πD.A.B.C.或或333333【答案】B【解析】tan33,tantan4，即tantan0π0，得，【分析】由韦达定理得tan再根据两角和的正切公式解决即可.tan，tan是方程x233x40的两根，【详解】由题知，所以tantan33,tantan4，即tantan0，ππππ因为所以所以，，2π22π200，，22π0，tantan1tantan333因为)2π30，所以，3故选：B二、多项选择题：f(x)sinxx9.已知函数则（）πA.f(x)的最小正周期为π2B.f(x)在上单调递增πC.直线x是f(x)图象的一条对称轴4πD.f(x)的图象可由y2sinx的图象向左平移个单位长度得到4【答案】BC【解析】【分析】化简函数解析式，根据正弦型函数的性质判断ABC，结合函数图象变换判断D.πf(x)sinxxf(x)2sinx【详解】可化为，4π4f(x)2sinx2π函数的最小正周期为，A错误；ππππ0xx当时，，2444ππ44ysinx,因为在上单调递增，π2所以函数f(x)在上单调递增，正确；Bπππ当x时，x，442π所以直线x是f(x)图象的一条对称轴，C正确；4ππ42sinx的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)2sinx函数y的图象，D错误.4故选：BC.f(xx,y)f，，且当fxfy时，x1fx0，10.已知定义在R上的奇函数则（）f10A.B.有2个零点fxC.在fx上为减函数,0(x02的解集是D.不等式【答案】AD【解析】【分析】根据赋值法可判断A，根据奇函数的性质可判断CB,结合的性质得fx的图象，数形结fx合即可判断D.ffxf(y)【详解】在xy1，得ffff，故正确；0中，令A又为R上的奇函数，fx，，至少有三个零点，故错误；∴Bf10f00fxxxx2xx21f20，设x1，，且，则，121x1x2x12x1fx，fxfxfxf2xfxff01211111f(x)f(xf(x)(0,)上是增函数，由于fx∴在上也是增函数，故fx,0∴在12C错误：fx1由题意，画出的图象如图，x0x0等价于x1，0或0fx10fx1由图可知不等式的解集为x|1x,故D正确.故选:AD11.已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c10，bcosCcosB2，若点P是边BC上一点，Q是AC的中点，点O是所在平面内一点，0，则下列说法正确的是（）ABAC6ABACBC0A.若，则B.若CA在，则PQ的最小值为10方向上的投影向量为CBCB4C.若点P为BC中点，则0的ABAC为定值18BC0APABAC，则D.若ABAC【答案】ACD【解析】PQBC【分析】对于A，根据向量加法的运算法则及三角函数的诱导公式化简计算；对于B，易知当PQ取得最小值，计算可得；对于，根据向量加法结合律律及平行四边形法则计算可得；对于D，C时，根据向量数量积运算律计算即可.【详解】解：如图，设BC的中点为E，连接QE，∵bcosCcosB2，由余弦定理可得：a2b2ab2c2a2c2b22a2bc2，∴2，∴a2，2ac2aOQOE，OA22又0，∴，∴，∴ABACBC0对A选项，∵，∴2AEBC0，∴，又E为中点，11BEBCa1ABc10∴，又，∴AEABBE221013，22ABAC2AE6∴，故A选项正确；对B选项，∵CA在方向上的投影向量为，∴，又Q是AC的中点，在BC上，∴当PCBCB110PQBC时，PQ最小，此时PQAB，故B选项错误；22对C选项，若点P为BC的中点，即P与E点重合，∵OQOE，∴OQOP，∴0，故C选项正确；ABACBC0，∴对D选项，∵的平分线与BC垂直，ABACAAE3，∴是以BC为底边的等腰三角形，∴，又由选项分析知2∴根据向量数量积的几何意义知9，APABACAP2AE2APAE2918∴，故D选项正确．故选：ACD．12.已知函数fxxxax1，则（）1A.当a0时，函数fx最小值为1eB.当a1时，函数的极大值点为fxx1在定义域上单调递增fxaC.存在实数使得函数xaa10恒成立，则实数的取值范围为D.若f【答案】AD【解析】ABx在上恒成立即可判断fx01gxxC，分离参数，构造函数求得其最小值，即可判断D.x【详解】因为函数fxxxax1fxx1ax，其中，，则1e当a0时，则fxx1，令，fx0，可得x1exfx0，则函数fx单调递减，当当时，1x,f(x)>0，则函数单调递增，fx时，e111e有极小值，即最小值fx时，xf1e，故A正确；当e当a1时，则，令fxxfx0，可得x1，x时，fx0，则函数fx单调递减，当当当x时，f(x)>0单调递增，fx，则函数有极小值，则x1时，函数fxx1为极小值点，故B错误；在定义域上单调递增，fxa假设存在实数使得函数则在x上恒成立，即x1a0x在上恒成立，yx的值域为R，fx0ax在x上恒成立，因为所以yx1所以函数无最小值，在定义域上单调递增，故C错误；fxa故不存在实数使得函数x在x0恒成立，即xxax10若f上恒成立，1axx即在上恒成立，x111x1，则，gxxgxgx0x1令当当当，则，令xxx2x2x时，gxgx，则函数单调递减，0x时，gx0，则函数gx单调递增，有极小值，即最小值，所以a1，故D正确；x1时，gxgxg11故选：AD三.填空题（共4小题）13.已知向量a3),|b|2,|a2b|25，则a与b夹角的大小为_____________．π【答案】【解析】42(ab)20，结合平面向量数量积的定义计算即可求解.【分析】根据题意可得a2【详解】由a3)，得，2ab25由，得(ab)20，224422a,b4220，即a4abb20，得2a,bπ，所以a,b，又2ππa,b所以，即a与b的夹角为.44π故答案为：.410314.已知ab1，若baab，abba，则=．ab【答案】43【解析】103【详解】因为ab1，所以a1ba，又ab，b1103103logba10a3，整理得ba)2,logbab1解得logba3或logba（舍去）3因此ab3，因为,bb3,a33，ab43abba，所以b3bbb3，bb3ππ315.已知函数fxsin2xfxf，则______．2312【答案】【解析】2π2π3ff【分析】先求导函数，解出的值，代入函数即可求得.ππ2πππ【详解】由已知，，则2ffx2cos2xfsinxf2cosfsin2222π21，fxsin2xxf所以，π3π3π312所以，fsin2.32312.故答案为：216.已知cos0，3sincos21，则tan2______.3【答案】0.754【解析】【分析】利用同角三角函数的平方关系及商数关系计算即可.【详解】由同角三角函数的平方关系及已知条件可知：221sin3sin2110sin26sin0，sin23sin2112当sin21cos，此时0，不合题意；234sin,cos2当，符合题意；5353sin2所以.4故答案为：4四.解答题（共6小题）17.如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点ME在BCBE:EC1:2DE与AB的延长线交于点F，记ABa，b．（1）试用a，b表示、；（2）试用a，b表示．1111abab，1）；22223DFab（2）.2【解析】1）利用向量加法的平行四边形法则求出，再利用向量减法法则求出作答.3（2）利用平行线的性质探求出【小问1详解】，再利用向量减法法则求解作答.2ABCDACBD交于点M，平行四边形的对角线和121111CACD)(ABAD)ab，21212211(ABAD)ab.2222【小问2详解】点E在BC上，且BE:EC1:2，BE//AD，则33BEFADF，1313AFABa于是所以，即BFAF，，223AFADab2cb1．18.已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且abac（1）求角A的大小；BACa=3，求ABC的面积．（2）若AD平分并交BC于D，且AD=2，A1）；333（2）.2【解析】1）变形给定的等式，再利用余弦定理求解作答.（2）根据给定条件，结合（1bc，进而求出bc计算作答.【小问1详解】cb1，则c(ac)b(ab)(ac)(ab)c22abc，因，整理得：b2abacb2c2a212在ABC中，由余弦定理得：A，而0A，bcA所以.3【小问2详解】在ABC中，AD平分并交BC于D，则CAD，而BACAD=2，61211SSScADsinBADbADsinCADbcsinBAC显然有，即，2213csinbsinbcsin，整理得：bc则bc，又a=3，662323bc)2a2bc，即有bc)2bc90，而bc0，解得6，由（1）知，41213332所以ABC的面积S.bcsinBAC622的前项和为，已知Sn成等差数列，且2a1，n，Sn4S319.设数列n.n（1）求的通项公式；an1bnbT的前n项和为n，若对任意正整数n，不等式恒成立，求n（2）若，log2a2n1log2a2n3n的最小值.1）an2n1（2）6【解析】1）根据a1anS2aaSanS与的关系求通项即可；n，，成等差数列，可得，再根据nn1n（2）利用裂项相消法求出T，从而可求得T的范围，即可求出的范围，即可得解.nn【小问1详解】a1anS，成等差数列，n解：因为，2aaSS2aa，1所以，即n1nnnaSS2n2n1，当n2时，nnn1a2a即由，n1naS2a0，n，得43所以数列是以2为公比的等比数列，anaS2aaa28aa2a4a2a2，所以，1则，即431231111an2n；所以【小问2详解】11111bn，解：2n12n322n12n3log22n1log22n31111123557111111Tn则，2n12n3232n361Tn因为恒成立，所以，61所以的最小值.6SnnSn1n1的前项和为2n2anS,a20.已知数列nn1（1）求数列的通项公式；ana（2）令n的前项和b，求数列．nnn2nna4n3n1）4n5T5n（2）2n【解析】SnnS是等差数列，从而求得，然后利用n【分析1）根据等差数列的定义可得数列1,n1ana；n求得SS,n2nn1（2）利用错位相减法求解即可.【小问1详解】SSn1n11111a1n2n21，因为，nSnn是首项为，公差为的等差数列，12所以数列Snn2n1，所以Sn2n2n，则aSS2n2n2nn4n3，2当n2时，nnn1当n1时，上式也成立，a4n3所以；n【小问2详解】an4n3n，2n12n594n32nn，2222311594n74n3n，22223242n2n11144442n4n3n两式相减得222223242n11112n14n3122n12154n5，n1224n5T5n所以.2nafxxaxx,x.1221.已知函数存在两个极值点xa（1）求的取值范围；fxfxa的最小值.（2）求121）（2）e2【解析】1）根据极值点的定义可知x2axa0有两个不等正根，由一元二fx0，即gxa次方程根的分布可构造不等式组求得的取值范围；xxxxa为aaa，令f1f2a（2）由（1）可知，由此化简1212ha，利用导数可求得，即为所求的最小值.haaaaa4【小问1详解】aaxxaxa2由题意知：定义域为，；fxfx1x2x2令gxx2axa有两个不等正根gx，则01,2，Δa24a0xxa0a，实数的取值范围为.a4，解得：12xxa012【小问2详解】由（1）知：a4，是2的两根，则gxx,x01212a；1aaf1f2a1a12a2a12