福建省夏泉五校2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题【含答案解析】

厦泉五校2023-2024学年高一年级第一学期期中联考数学科试卷（考试时间：120分钟满分：150分）试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则集合（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由并集运算的定义可得.【详解】，，根据并集运算的定义可得，故选：A.2.已知：“”，：“”，则是的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先求得中对应的范围，然后根据充分、必要条件的知识确定正确答案.【详解】对于，令，可得，即，故或，解得或，故是的必要不充分条件.故选：A3.函数的定义域为，值域为，则图像可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意和函数的概念，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为，值域为，对于A中，函数的定义域为，不符合题意；对于B中，函数的定义域为，值域为，符合题意；对于C中，根据函数的概念，一对一对应和多多对一对应是函数，而C项中出现一对多对应，所以不是函数，不符合题意；对于D中，函数的定义域为，但值域为，不符合题意.故选：B4.已知函数，则的解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据换元法求函数解析式.【详解】令，可得.所以，因此的解析式为.故选：D.5.已知函数，则其图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用函数的奇偶性，排除选项，再取特殊值，可得答案.【详解】，是奇函数，排除A、C，当时，，排除D．故选：B.6.已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（）A.2 B. C.4 D.2或【答案】B【解析】【分析】利用幂函数的定义求出m值，再由单调性验证即得.【详解】因函数是幂函数，则，即，解得或，当时，函数在上递增，则，当时，函数在上递减，不符合要求，实数.故选：B7.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用均值不等式求出最小值，根据题意列不等式求解即可.【详解】，要使得不等式有解，只需有解即可，解得或者，故选：D8.已知数学符号表示取a和b中最大的数，若对任意，函数，则的最小值为（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】D【解析】【分析】根据的定义可得函数的图象，根据图象即可求解最小值.【详解】在同一直角坐标系中，画出函数的图象，根据的定义，可得的图象（实线部分），由的图象可知，当时，最小，且最小值，故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设，则下列不等式中恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】利用作差比较逐一判断即可.【详解】A：因为，所以，因此本选项正确；B：因为，所以，因此本选项正确；C：因为，所以，因此本选项不正确；D：因为，所以，因此本选项不正确，故选：AB10.下列各组函数是同一组函数的是（）A.与 B.与C.与 D.与【答案】BCD【解析】【分析】由同一函数的定义域、对应法则都相同，即可判断选项中的函数是否为同一函数.【详解】A：，，定义域相同，但对应法则不同，不同函数；B：，，定义域和对应法则都相同，同一函数；C：与，定义域和对应法则都相同，同一函数；D：，，，定义域和对应法则都相同，同一函数；故选：BCD.11.已知函数关于函数的结论正确的是（）A.的定义域为R B.的值域为C.若，则x的值是 D.的解集为【答案】BC【解析】【分析】求出分段函数的定义域可判断A；求出分段函数的值域可判断B；分、两种情况令求出可判断C；分、两种情况解不等式可判断D.【详解】函数的定义域是，故A错误；当时，，值域为，当时，，值域为，故的值域为，故B正确；当时，令，无解，当时，令，得到，故C正确；当时，令，解得，当时，令，解得，故解集为，故D错误．故选：BC．12.已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③．则下列选项成立的是（）A. B.若，则C.若，则 D.，，使得【答案】ACD【解析】【分析】由条件可得是偶函数且在上单调递增，然后逐一判断每个选项即可.【详解】由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递增，所以，故A对，若，则，得，故B错，若，则或，因为，所以或，故C正确，因为定义在上函数的图象是连续不断的，且在上单调递增，所以，所以对，只需即可，故D正确.故选：ACD.第Ⅱ卷（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数的定义域为________．【答案】【解析】【分析】由具体函数的定义域即可得出答案.【详解】函数的定义域为,解得：且.所以的定义域为.故答案为：14.集合，，且，则实数可取值组成的集合为_________【答案】【解析】【分析】确定，，考虑和两种情况，计算得到答案.【详解】，，则，当时，，满足条件；当时，，，则或，解得或.综上所述：.故答案：.15.若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式解集为______．【答案】【解析】【分析】结合函数的奇偶性和函数的单调性求解即可；【详解】因为是偶函数，所以所以，又因为在上单调递增，所以，解得：，故答案为：.16.已知函数，若的最小值为，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】分别讨论和时，结合基本不等式和二次函数的单调性可得的最小值，解不等式可得所求范围.【详解】函数，可得时，，当且仅当时，取得最小值，由时，，若时，在递减，可得，由于的最小值为，所以，解得；若时，在处取得最小值与题意矛盾，故舍去；综上得实数a的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题主要考查分段函数的最值求法，考查二次函数的单调性和运用，以及不等式的解法，属于中档题.四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知，.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）当时，得，根据集合的交集运算，直接得出结果.（2）先由补集的运算得出或，由于，根据集合间的包含关系，分类讨论当和两种情况，可列出关于的不等式，从而可求出实数的取值范围.【小问1详解】解：当时，得，则.【小问2详解】解：由，得或，由于，，当时，则，解得：，满足；当时，要使成立，则或，解得：，综上，实数的取值范围是或.18.已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.（1）求实数的取值集合；（2）设不等式的解集为，若是的充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分析可知在时恒成立，利用二次函数的基本性质可求得实数的取值集合；（2）分析可知，分、两种情况讨论，求出集合，结合可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.【小问1详解】解：由，都有不等式成立，得在时恒成立，所以，因为二次函数在上单调递减，在上单调递增，且，，所以，当时，，，所以，.【小问2详解】解：由可得.①当时，可得或，因为是的充分条件，则，则，此时，；②当时，可得或，因为是的充分条件，则，则，解得，此时.综上所述，实数的取值范围是.19.已知函数的图像过点．（1）求实数m的值；（2）判断在区间上的单调性，并用定义证明；【答案】（1）（2）在区间上单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）将代入解析式，得到m的值；（2）利用定义法证明函数单调性步骤：取值，作差，判号，下结论.【小问1详解】将点代入函数中，可得，解得．小问2详解】单调递增，证明如下．由（1）可得，任取，则，因为，则，，，即，所以，即，所以在区间上单调递增．20.为响应国家“乡村振兴”号召，小李决定返乡创业，承包老家的土地发展生态农业．小李承包的土地需要投入固定成本万元，且后续的其他成本总额（单位：万元）与前年的关系式近似满足．已知小李第一年的其他成本为万元，前两年的其他成本总额为万元，每年的总收入均为万元．（1）小李承包的土地到第几年开始盈利？（2）求小李承包的土地的年平均利润的最大值．【答案】（1）第年（2）最大为万元【解析】【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，设小李承包的土地到第年的利润为万元，求出函数的解析式，然后解不等式，可得出结论；（2）设年平均利润为万元，可得出，利用基本不等式求出的最大值及其对应的值，即可得出结论.【小问1详解】由题意得，解得，所以．设小李承包的土地到第年的利润为万元，则，由，得，解得．故小李承包的土地到第年开始盈利．【小问2详解】设年平均利润为万元，则，当且仅当时，等号成立．故当小李承包的土地到第年时，年平均利润最大，最大为万元．21.已知定义在上的函数满足：．（1）求函数的表达式；（2）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用方程组法求函数解析式即可；（2）要使在上恒成立，分离参数结合基本不等式求解即可.【小问1详解】将的替换为得，联立解得【小问2详解】不等式为，化简得，要使其在上恒成立，则，，当且仅当取等，所以．22.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，若函数在上既有最大值又有最小值，且恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调减区间为（2）或【解析】【分析】（1）代入